D258 : Une collection de quadrilatères
Combien y a-t-il dans le plan de quadrilatères non superposables y compris par
retournement, dont les quatre côtés et la distance qui sépare les milieux des deux diagonales ont pour dimensions pas nécessairement prises dans cet ordre : 2,3,5,11 et 12 ?
Soit ABCD le quadrilatère, et E et F les milieux respectifs de AC et BD. La longueur de EF ne peut être 11 ou 12, car sinon, la longueur d’un coté serait supérieure à la somme de celles des trois autres. Ce qui laisse pour les cotés les possibilités (2,3,11,12), (2,5,11,12) (3,5,11,12) avec à chaque fois trois configurations possibles selon les paires de cotés opposés - par exemple (2,3,11,12), (2,3,12,11), (2,11,3,12).
On voit simplement qu’il est impossible d’avoir EF=5 si les cotés de longueurs 2 et 3 sont opposés; de même, il est impossible d’avoir EF=2 ou 3 si les cotés de longueurs 11 et 12 sont adjacents.
En examinant les cas restants, on trouve une disposition pour (3,2,11,12), deux (dont un quadrilatère croisé) pour (2,3,11,12), deux croisés pour (2,11,5,12), deux dont un croisé pour (3,11,5,12), soit 7 dispositions au total, à un déplacement ou un
retournement près
