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Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur
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UTBM le 26 Juin 2009 Examen final S. ABBOUDI
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Résumé de cours autorisé
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I- Calcul des variations
Déterminer les courbes extrémales (min ou max) des fonctionnelles : ( ( )) 1( ' ( ) ( ))
0
∫
2 += y x y x dx
x y J
( ( )) 1( ' ( ) ( ))
0
2
∫
2 += y x ay x dx
x y
J , étudier en fonction du réel a
( ( )) 1( ' ( ) ( ) 2 ( ) )
0
2
∫
2 + += y x y x y x e dx
x y
J x ,
Déterminer, les constantes d’intégration en supposant y(0)=0 et y(1)=1.
II – Série de Fourier
On considère la fonction f(x)=π −2x , 0≤ x≤π , paire et périodique de période 2π . 1) Tracer le graphe de f(x) sur le domaine
[
−3π,3π]
, vérifier qu’elle est bien paire.2) Calculer les coefficients de Fourier de f(x). 3) En déduire la somme des séries :
) 1 k 2 ( S 1
1 k 1
∑
∞ 2= +
= et
m S 1
1 m 2
∑
∞ 2=
=
puis celle des séries :
) 1 k 2 ( S 1
0 k 3
∑
∞ 4= +
= et
m S 1
1 m 4
∑
∞ 4=
=
III – Transformée de Fourier
1) Calculer la transformée de Fourier de la fonction :
<
<
+
<
<
−
=
non si 0
0 x - si x
x 0 si x )
x (
f π π
π π
2) On suppose connue la transformée de Fourier de la fonction e−ax . En déduire la T.F. de la fonction e−2x , e−x−3 puis de celle de xe−x−3 .
