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MT M T4 41 1
Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur
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UTBM le 25 Juin 2010 Examen final S. ABBOUDI
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Résumé de cours autorisé
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I- Calcul des variations
1) Déterminer la courbe y(x) dont la longueur est minimale et qui enferme avec l’axe ox, 1
x
0≤ ≤ , une surface S supposée connue.
2) Déterminer la courbe extrèmale de la fonctionnelle 1 y' (x)dx y
)) 1 x ( y ( J
1 0
∫
+ 2= ,
Déterminer, les constantes d’intégration en supposant y(0)=0 et y(1)=0.
II - Série de Fourier (SF)
1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π périodique :
≤
≤ +
≤
≤
= +
π π π π
x 0 si 4 ) x sin(
0 x - si 4 ) x cos(
) x (
f .
et en déduire la somme :
1 k 16
) 1 S (
1 k
2
∑
∞ k= −
= −
2) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π périodique : e x
) x (
f = π− , x∈
[
0,2π]
et en déduire la somme :
1 k
) 1 S (
2 k
2
∑
∞ k= +
= −
III - Transformée de Fourier (TF)
1) Calculer directement la TF de la fonction e−ax
2) En déduire la T.F. des fonctions xe−2πx , x2e−2πx et e−2iπν −e 2πx 3) En déduire les intégrales +∞
∫
+0
2 1
x
dx , +∞
∫
− +0
2 2x 2
x
dx et +∞
∫
+0
2 dx
1 x
x
