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MT M T4 41 1
Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur
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UTBM le 18 Janvier 2013 Examen final S. Abboudi, F. Peyraut
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Résumé de cours autorisé
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I- Calcul des variations
Déterminer la forme de la courbe extrèmale de la fonctionnelle ( ( )) 1 ( ) 1 ' ( )
0
∫
+ 2= f y y x dx x
y
J ,
dans les cas f(y)= y puis f(y)= y.
II - Série de Fourier (SF)
1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π périodique : π
π ≤ ≤
= − - x )
(x e x
f .
et en déduire les sommes :
1 ) 1 (
0 k
∑
∞ 2= +
= − S k
k
Calculer l’intégrale : +
∫
− π − π
dx
e 2x et en déduire la somme :
1 1
0 k
∑
∞ 2= +
= k
S
2) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π périodique : x
) x (
f = , -π ≤x≤π
et en déduire la somme : ...
49 1 25
1 9 1 1
S = + + + +
III - Transformée de Fourier (TF)
1) Calculer Calculer la TF de la fonction Π(x)=1 si −1/2<x<1/2 et 0 si non et en déduire celle des fonctions : ∏(x-2) et ∏(3x-2)
En déduire l’intégrale : +∞
∫
0
x dx x sin
2) Calculer la TF de la fonction e−x
et en déduire celle des fonctions e−2πx et e−2πx−1 . En déduire l’intégrale : +∞
∫
+0
2 1
x dx .
