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Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur
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UTBM le 27 juin 2008 Examen final S. Abboudi, F. Peyraut
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Résumé de cours autorisé
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I- Calcul des variations
Déterminer la courbe extrémale de la fonctionnelle : J(x(t)) 1 x (t) 1 x' (t)dt
2
1
t
t
2
∫
+ 2 += , t1 =−1, t2 =1, x(t1)=1 et x(t2 )=1
II- Distribution δ(x) : Dirac, Π(x) : Porte, H(x) : Heaviside, φ(x) : fonction test.
1) Calculer le résultat du test des distributions suivantes sur une fonction testφ(x) : 4)
- (3x 1) x 2 (
T(x)= + δ
1) - (x ' 1) x (x
S(x)= 2 + + δ
En déduire une égalité au sens des distributions.
2) Calculer la dérivée première des distributions : x)
- H(-1 - x) - (3 H ) x (
T =
) x 2 sin(
)) x ( H ) x ( T ( ) x (
S = −
) 1 x ( H ) x ( T ) x (
P = + −
Déterminer a et b pour que P(x)=Π(ax+b)
III- Produit de convolution
1) Vérifier que la distribution H(x) 2
(x) x R
2
= est la réponse impulsionnelle d’un système décrit par l’équation différentielle : y'''(x)=e(x), x∈R
2) En déduire ensuite la solution y(x)de cette équation dans les cas où e(x)=H(x)sinx et )
1 x ( H ) x (
e = − et enfin e(x)=H(3−x).
