= + − soit un imaginaire pur.

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Janvier 2014

Déterminer tous les nombres complexes z = + x iy (x et y réels) tels que i z

Z z i

= + − soit un imaginaire pur.

Analyse

On peut transformer l’écriture de Z de façon à obtenir sa forme algébrique. On peut également obtenir directement la partie réelle de Z à l’aide de la conjugaison.

Résolution

En guise de préambule, notons que le complexe Z est défini si, et seulement si, z i+ ≠0, c'est- à-dire z≠ −i.

1

^ère

approche : forme algébrique de Z

Avec z= +x iy, il vient :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

1

1 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1

y ix x i y

i x iy

i z y ix y ix

Z z i x iy i x i y x i y x i y x i y

xy x y i x y y x y x y y

i

x y x y x y

+ ⎡ − + ⎤

− −

− − − + ⎣ ⎦

= = = = − = −

+ + + + + + + ⎡⎣ + + ⎤ ⎡⎦ ⎣ − + ⎤⎦

⎡ ⎤

+ + + ⎣ − + ⎦ + − +

= − = − +

+ + + + + +

On a alors :

( ) ( )

¹

Re 0 2 1 0 0 ou 2 1 0 0 ou

imaginaire pur Z x y x y x y 2

Z z i z i z i

z i

= + = ⎧

⎧ ⎧ ⎧ = + = = = −

⎪ ⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ ≠ − ⇔⎨⎪⎩ ≠ − ⇔⎨⎩ ≠ − ⇔⎨⎪ ≠ −⎩

Ainsi, Z sera un imaginaire pur si, et seulement si :

• Z est un imaginaire pur (cas x=0) différent de −i.

• Ou la partie imaginaire de z vaut 1

−2.

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Janvier 2014 2

^ème

approche : résolution directe

On a :

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

Re 0 1 0 0

imaginaire pur 2

0 0 0

0 0

Z Z Z Z Z

Z z i z i

z i

i z i z

i z i z i z i z

z i z i

z i z i z i z i

z i

z z i z z i

z z

z z i z z i z i z i

z i z i

= ⎧

⎧ + = ⎧ + =

⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ ≠ − ⇔⎨⎪ ≠ −⎩ ⇔⎨⎩ ≠ −

⎧− +⎛− ⎞= ⎧− +− = ⎧− + =

⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪

⇔⎨ + ⎝ + ⎠ ⇔⎨ + + ⇔⎨ + −

⎪ ≠ − ⎪⎩ ≠ − ⎪ ≠ −⎩

⎩

⎧− − + +

⎧ − + = = − − + +

⎪ ⎪

⇔⎨ + − ⇔⎨ + − ⇔

⎪ ≠ − ⎪

⎩ ⎩ ≠ −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

0 0

2 2 1 0 2 1 0

4 2 0

z i

z i z z iz x iy x iy i x iy i x iy

z i z i

x y x y

ixy ix

z i z i z i

⎧⎪ =

⎨ ≠ −

⎪⎩

⎧− + + + = ⎧⎪− − + + + − + + =

⇔⎨⎩ ≠ − ⇔⎨⎪⎩ ≠ −

+ = + =

⎧ ⎧

+ =

⎧ ⎪ ⎪

⇔⎨⎩ ≠ − ⇔⎨⎪⎩ ≠ − ⇔⎨⎪⎩ ≠ −

On retrouve les mêmes conditions que précédemment.

Résultat final

Le complexe i z

Z z i

= −

+ , avec z= +x iy (x et y réels) est un imaginaire pur si, et seulement si, on a : ^Re

( )

^z ^{= =}^x ⁰^et^Im

( )

^z ^{= ≠ −}^y ¹

ou ^Im

( )

¹

z = = −y 2.