404 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
Propagation et réflexion d'ondes
de translation abruptes en eau tranquille de profondeur régulièrement décroissante
P A R G.-D. KANSFOBD
B . A . ( H O N S ) , B . C . E . , I N G É N I E U R - D O C T E U R , I N G É N I E U R A I.A SOGREAH
( E n g l i s h t e x t , p . 4 1 0 )
Le problème de la propagation d'ondes de trans- lation dans un remous s'est posé à propos de deux importants aménagements hydroélectriques
français. Il s'est avéré important, en effet, de.
connaître la variation de pente d'ondes de trans- lation se propageant en eau tranquille de pro- fondeur décroissante ainsi que l'augmentation de leur amplitude pendant la propagation et
après réflexion. Il est possible de résoudre théoriquement le premier problème et la solu- tion en est indiquée dans le présent article;
par contre il n'existe pas de solution exacte pour le problème de l'amplitude, mais certains résultats expérimentaux sont analysés d'après une. théorie approchée.
I N T R O D U C T I O N L e L a b o r a t o i r e d ' H y d r a u l i q u e de la SOGREAH, à
G r e n o b l e , a e u p a r d e u x fois l ' o c c a s i o n d e t r a i t e r ce p r o b l è m e q u i s'est p o s é à p r o p o s de l ' é t u d e d e d e u x i m p o r t a n t s a m é n a g e m e n t s h y d r o é l e c t r i q u e s f r a n ç a i s .
Il s ' e s t a g i d e s c o n d i t i o n s de n a v i g a t i o n à c e r - t a i n s e n d r o i t s a t t e i n t s p a r les o n d e s d e d é b i t r é s u l t a n t d e s v a r i a t i o n s b r u s q u e s d u r é g i m e d e f o n c t i o n n e m e n t d e ces c e n t r a l e s . Ce s o n t d o n c ces c o n s i d é r a t i o n s p u r e m e n t p r a t i q u e s q u i o n t c o n d u i t à e n t r e p r e n d r e la p r é s e n t e é t u d e . D u p o i n t d e v u e t h é o r i q u e , la p r e m i è r e p a r t i e d e n o t r e é t u d e , q u i c o n c e r n e la v a r i a t i o n d e p e n t e de la p o i n t e d ' u n e o n d e d e t r a n s l a t i o n se p r o p a - g e a n t en e a u t r a n q u i l l e de p r o f o n d e u r d é c r o i s - s a n t e , et q u i e s t b a s é e s u r la t h é o r i e d e s c a r a c - t é r i s t i q u e s , n e c o n s t i t u e q u ' u n p e t i t c o m p l é m e n t à l ' o u v r a g e m o n u m e n t a l d e J . MASSAU (Mémoire sur l'intégration des équations aux dérivées par- tielles, U n i v e r s i t é d e G a n d ) . L e s r é s u l t a t s o b t e - n u s s o n t e x a c t s d a n s la m e s u r e o ù s o n t e x a c t e s les é q u a t i o n s q u e l ' o n u t i l i s e h a b i t u e l l e m e n t p o u r l ' é c o u l e m e n t n o n p e r m a n e n t e n c a n a u x , m a i s le fait de n é g l i g e r les c o m p o s a n t e s v e r t i c a l e s de la v i t e s s e ou d e l ' a c c é l é r a t i o n c o n d u i t à d e s r é s u l - t a t s n é c e s s a i r e m e n t i n e x a c t s d a n s u n e p h a s e a v a n c é e d e l ' é v o l u t i o n d e s o n d e s .
D a n s l a d e u x i è m e p a r t i e d e n o t r e é t u d e , q u i c o n c e r n e les a m p l i t u d e s d e s f r o n t s d e s o n d e s t r a n s m i s e s et réfléchies, la t h é o r i e n ' e s t p a s d ' u n g r a n d s e c o u r s , e t c'est p o u r q u o i o n d e v r a c o m p - t e r d a v a n t a g e s u r l ' a n a l y s e d e s r é s u l t a t s e x p é r i - m e n t a u x , q u i s o n t e u x - m ê m e s f r a g m e n t a i r e s . N é a n m o i n s , il s e m b l e q u e les c o n c l u s i o n s a u x - q u e l l e s on a b o u t i t s o n t s u f f i s a n t e s p o u r l a p r a t i - q u e où, d a n s la m a j o r i t é d e s c a s , o n n ' a b e s o i n , à v r a i d i r e , q u e d ' u n r é s u l t a t a p p r o x i m a t i f .
L e s é t u d e s t h é o r i q u e s et e x p é r i m e n t a l e s se r a p - p o r t e n t à d e s c a n a u x d e s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e à p e n t e c o n s t a n t e .
N O T A T I O N S
a = a m p l i t u d e d ' u n e p e t i t e o n d e de t r a n s l a t i o n a b r u p t e ;
3 a = a u g m e n t a t i o n de a l o r s q u e l ' o n d e f r a n c h i t u n « d é c r o c h e m e n t » ;
b = coefficient de f r o t t e m e n t , f o n c t i o n de s et z;
h = p r o f o n d e u r m o y e n n e de l ' é c o u l e m e n t ; c'est en g é n é r a l le r a p p o r t de la s e c t i o n m o u i l - lée à la l a r g e u r en s u r f a c e . D a n s u n ca- n a l r e c t a n g u l a i r e , p o u r l e q u e l i e s t c o n s - t a n t :
h = si + z
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956035
JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - N ° 3 l a h o u i l l e b l a n c h e 4 0 5
i = p e n t e d u f o n d , q u e l ' o n s u p p o s e r a c o n s t a n t ; i e s t p o s i t i f d a n s la figure 1;
/• = . a b s c i s s e d ' u n p o i n t d e r é f é r e n c e ;
s — a b s c i s s e : c'est la d i s t a n c e m e s u r é e le l o n g d e la s u r f a c e d e l ' e a u à p a r t i r d u p o i n t de p r o f o n d e u r z é r o (voir l a fig. 1 ) ;
FIG. 1
t = t e m p s ;
u = v i t e s s e m o y e n n e d e l ' é c o u l e m e n t (u = 0 a v a n t le p a s s a g e d e l ' o n d e ) ;
z — cote d e la s u r f a c e d e l ' e a u a u - d e s s u s d u n i v e a u i n i t i a l d e l ' e a u t r a n q u i l l e ; k = c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n ;
a = coefficient n u m é r i q u e t e n a n t c o m p t e d e la r é p a r t i t i o n n o n u n i f o r m e d e s v i t e s s e s d a n s les c a n a u x . D ' a p r è s BOULANGER, cité p a r M . M A S S É (« T h è s e s u r l ' a m o r t i s s e - m e n t d e s i n t u m e s c e n c e s q u i se p r o d u i - s e n t d a n s les e a u x c o u r a n t e s », H e r m a n e t Cie, P a r i s , 1935) : a = 1,095;
P = coefficient a n a l o g u e ; d ' a p r è s le m ê m e a u - t e u r : £ = 1,040;
Q = v i t e s s e d e l ' o n d e .
P R E M I È R E P A R T I E
V A R I A T I O N D E P E N T E D E L A P O I N T E D ' U N E O N D E D E T R A N S L A T I O N E N E A U T R A N Q U I L L E D E P R O F O N D E U R D É C R O I S S A N T E ( S O L U T I O N G É N É R A L E ) L a m é t h o d e q u e n o u s u t i l i s e r o n s e s t celle i n s -
t i t u é e p a r MASSAU (le l e c t e u r p o u r r a d ' a i l l e u r s se r é f é r e r à s o n o u v r a g e ) et p o u r n e p a s a l l o n g e r p a r t r o p le t e x t e , n o u s n o u s b o r n e r o n s à e n i n d i - q u e r l a l i g n e g é n é r a l e .
L ' é q u a t i o n f o n d a m e n t a l e d e l ' é c o u l e m e n t n o n p e r m a n e n t d a n s u n c a n a l d e p e n t e faible p e u t s'écrire :
dz ds
A u du
9 7
+
ß du
dt = — bu2 g os • g
L ' é q u a t i o n d e c o n t i n u i t é p r e n d la f o r m e : dz , dz , , du
U u — 1- h ds
dt ds lu
(1)
(2) D ' a u t r e p a r t , o n a p a r définition :
dt dz
dt ds dz
ds = dz . . .
ds du
ds dt^~ = du.
dt
(3)
• (4) N o u s n o u s o c c u p e r o n s d ' a b o r d de la p r o p a g a - t i o n d ' o n d e s d e t r a n s l a t i o n p o u r l e s q u e l l e s z e t u p r é s e n t e n t d e s d i s c o n t i n u i t é s i n f i n i t é s i m a l e s et o n t d e s d é r i v é e s i n d é t e r m i n é e s ; n o u s e x c l u r o n s de n o t r e d i s c u s s i o n les o n d e s d ' a m p l i t u d e finie.
O n o b t i e n t l a c o n d i t i o n d ' i n d é t e r m i n a t i o n d e s d é r i v é e s e n é g a l a n t à z é r o les d é t e r m i n a n t s de la m a t r i c e f o r m é e p a r les coefficients d e s é q u a - t i o n s (1) à (4) :
0 1 <x U _ L — bu2
S 9
1 u h 0 — iu
dt ds 0 0 dz
0 0 ds dt du
i
(5)
E n c o n s i d é r a n t les q u a t r e p r e m i è r e s c o l o n n e s , o n t r o u v e l ' é q u a t i o n d e la v i t e s s e d ' o n d e :
ds dt
* + ß
2 ß V
/ gh U 2 f ^
V 2 ß (6)
P o u r la p o i n t e d ' u n e o n d e se p r o p a g e a n t en e a u t r a n q u i l l e , o n a :
ds
dt V7
gh (7)
L ' a u t r e « é q u a t i o n c a r a c t é r i s t i q u e » p o u r les o n d e s se p r o p a g e a n t e n e a u t r a n q u i l l e e s t o b t e - n u e e n c o n s i d é r a n t les d e u x p r e m i è r e s et l e s d e u x d e r n i è r e s c o l o n n e s , a v e c u = 0 :
dz M .
g
du = o (8)
C h e r c h o n s m a i n t e n a n t la v a r i a t i o n d e p e n t e d u « d i è d r e » c o n s t i t u a n t la p o i n t e d ' u n e o n d e de t r a n s l a t i o n . D a n s ce c a s , il y a d e s d i s c o n t i - n u i t é s d a n s les d é r i v é e s p r e m i è r e s , et les d é r i v é e s s e c o n d e s s o n t i n d é t e r m i n é e s . E n p r e n a n t les d é r i - vées p a r t i e l l e s d e (1) et (2) p a r r a p p o r t à s, on
t r o u v e q u e la m a t r i c e d o n t les d é t e r m i n a n t s d o i - v e n t ê t r e n u l s e s t :
( A / du V I O I 9 U . 0 db , „
0 1 A U g
±
g1
£1 h 0 dt ds 0 0 0 0 ds dt
du . du dz ds ds ds
dz
\ ds du
dh du_
ds ds +
dh dz
ds
4 0 6 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
P o u r la p o i n t e d ' u n e o n d e d e t r a n s l a t i o n se p r o p a g e a n t e n e a u t r a n q u i l l e , le d e r n i e r t e r m e d e la p r e m i è r e l i g n e se r é d u i t à :
« / Bu \ g \ 3.v J
et le d e r n i e r t e r m e d e la d e u x i è m e l i g n e d e v i e n t . du , dz du ~
ds ds
D a n s le c a s d ' u n c a n a l r e c t a n g u l a i r e : dh
et :
ds dh
dz = 1
(10)
( H ) A l o r s q u e la p r e m i è r e « é q u a t i o n c a r a c t é r i s t i - q u e » f o u r n i t c o m m e a u p a r a v a n t l ' é q u a t i o n (7) p o u r l a v i t e s s e de l a p e n t e de T o n d e , l a d e u x i è m e é q u a t i o n c a r a c t é r i s t i q u e [ q u i c o r r e s p o n d à ( 8 ) ] p e u t s ' é c r i r e :
/ dz a.
<7
du \ ds J du
ds ds — 2 . du .
l
- 9 7 +
dz du) ds ds
i
dt(12) E n u t i l i s a n t l ' é q u a t i o n (2) e n e a u t r a n q u i l l e , o n t r o u v e à l a p o i n t e d e l ' o n d e :
du ds P a r c o n s é q u e n t :
J_ dz_
h dt
du
ds ß ds
p u i s q u e , au f r o n t d e l ' o n d e : dz __ dz , dz ds dz
ds dt
dt dt dt
gh dz ß ds
(13)
= 0 D e l ' é q u a t i o n ( 1 2 ) , il r é s u l t e q u e :
2d dz ds
1 dz 2 h ds dz \2
dh
ß h \ds ds 2_
h
. dz .
l~dï +
dz
y
ds
j
ds (14) O r , p a r d é f i n i t i o n , dh/ds = i.L ' é q u a t i o n ( 1 4 ) , e x p r i m é e e n f o n c t i o n d e s d é r i - vées t o t a l e s p a r r a p p o r t à s, d e v i e n t d o n c :
 ds\ds J
i-Ì2
+ ^ -/ 1 ! ^ ß
dzy ds
3 i (dz\
2 h \ d s ) . . . (15)
P o u r s i m p l i f i e r les f o r m u l e s , o n p e u t a d m e t t r e , s a n s c o m m e t t r e d ' e r r e u r a p p r é c i a b l e , q u e :
Π1
L ' é q u a t i o n (15) d e v i e n t a l o r s : d ( dz\ 3 (dz y _3_i_
ds \ ds 2 h V 3s , 4 / 1 3z
3s (16)
Il e s t a i s é d ' i n t é g r e r c e t t e é q u a t i o n f o n d a m e n - t a l e q u i f o u r n i t la v a r i a t i o n de p e n t e d e la p o i n t e de l ' o n d e l o r s q u e c e t t e d e r n i è r e p r o g r e s s e . O n t r o u v e q u e :
dz ds
i/2
ksW — 1 (17)
c o m p t e t e n u de ce q u e h = si à la p o i n t e d e l ' o n d e .
Si l'on c a l c u l e k e n f o n c t i o n de (dz/ds)n p e n t e à l a p o i n t e de l ' o n d e a u p o i n t i n i t i a l r ( s u p p o s é e c o n n u e ) , l ' é q u a t i o n (17) p r e n d la f o r m e s u i v a n t e q u i e s t l ' é q u a t i o n g é n é r a l e c h e r c h é e :
\ds
(dz/ds)r
" + 4
(ds \(18) D a n s le c a s p a r t i c u l i e r d ' u n c a n a l à f o n d h o - r i z o n t a l , la s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n (16) e s t :
3z 3s
2h
3 s + Ar . . . (19)
o u b i e n , e n c h o i s i s s a n t c o n v e n a b l e m e n t l ' o r i - g i n e d e s :
dz \ 2 h
ds ) s ~~ 3 s . . . (20)
A p r o p o s d e l ' é q u a t i o n (18) o n p e u t f a i r e les r e m a r q u e s s u i v a n t e s :
1. L a p o i n t e d ' u n e o n d e de t r a n s l a t i o n p o s i - tive, de p e n t e i n i t i a l e finie, se p r o p a g e a n t d a n s u n c a n a l en e a u t r a n q u i l l e de p r o f o n d e u r d é c r o i s - s a n t e , finit t o u j o u r s p a r d é f e r l e r . E n effet, d ' a p r è s les c o n v e n t i o n s de s i g n e d e l a figure 1, ( 3 z / 3 s )r e s t positif m a i s le t e r m e [ ( s / r )3/ '1 — 1] e s t n é g a - tif; le d é n o m i n a t e u r e s t n u l p o u r :
s — r j3z/3sh.
i/2 + \dz/ds\r
4/3
(21) 2. P o u r les o n d e s d e t r a n s l a t i o n n é g a t i v e s , l ' é q u a t i o n (18) f o u r n i t la p e n t e t h é o r i q u e e n t o u t p o i n t . E n p a r t i c u l i e r :
£t
(M
Ns- » 0 V 3.9
(22)
JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 LA H O U I L L E B L A N C H E 407
Il r é s u l t e d u c a r a c t è r e m o n o t o n e de l a f o n c - tion r e p r é s e n t é e p a r l ' é q u a t i o n ( 1 8 ) q u e : a) L e s o n d e s d e t r a n s l a t i o n n é g a t i v e s p o u r l e s -
q u e l l e s | ( 3 z / 3 s ) , . | < i / 2 se r a i d i s s e n t l o r s - q u ' e l l e s s ' a p p r o c h e n t d e l ' o r i g i n e (voir fig. 2 ) .
/;) L e s o n d e s d e t r a n s l a t i o n n é g a t i v e s p o u r les- q u e l l e s | ( 3 z / 3 s )r| == i / 2 c o n s e r v e n t c e t t e p e n t e à l a p o i n t e .
c) L e s o n d e s de t r a n s l a t i o n n é g a t i v e s p o u r l e s - q u e l l e s | C 3 z / 3 s )r| > i / 2 s ' a p l a t i s s e n t à l a p o i n t e .
F r o . 2
E n e a u t r a n q u i l l e de p r o f o n d e u r c o i n ç a n t e , u n e o n d e d e t r a n s l a t i o n p o s i t i v e d e p e n t e i n i t i a l e finie finira t o u j o u r s , d ' a p r è s l a t h é o r i e , p a r d é f e r - ler a l o r s q u e l e f r o n t d ' u n e o n d e n é g a t i v e s ' a p l a - t i r a i n d é f i n i m e n t : c'est ce q u e l ' o n p e u t d é d u i r e de l ' é q u a t i o n ( 2 0 ) .
L a s e u l e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r q u e ces c o n c l u s i o n s s o i e n t v a l a b l e s e s t q u e la p e n t e d e la p o i n t e d e l ' o n d e s o i t finie a u p o i n t de d é p a r t . Cela signifie, si l ' o n s ' e x p r i m e e n f o n c t i o n d u débit, q u e l ' o n d e i n i t i a l e d o i t ê t r e p r o v o q u é e p a r u n e v a r i a t i o n finie de d é b i t , d i s o n s (dQ/dt), en u n p o i n t q u e l c o n q u e de l ' e n s e m b l e c a n a l - r e m o u s .
L a d i s c o n t i n u i t é d o i t s e t r o u v e r d a n s la d é r i v é e p r e m i è r e ; p a r u n e m é t h o d e s e m b l a b l e à celle q u e n o u s a v o n s e x p o s é e , o n p o u r r a i t é v i d e m - m e n t é t u d i e r a u s s i u n e d i s c o n t i n u i t é se p r é s e n - t a n t s e u l e m e n t d a n s les d é r i v é e s s e c o n d e o u d ' o r - d r e s u p é r i e u r , c o m m e ce s e r a i t le c a s p o u r u n e loi d e d é b i t d u t y p e :
Q = Qo p o u r t < f0 Q = Qo + at2 p o u r t ^ tQ
Il c o n v i e n t é g a l e m e n t d e f a i r e m e n t i o n d e c e r - t a i n e s r e m a r q u e s f o r m u l é e s à cet é g a r d p a r M . le D i r e c t e u r d e s E t u d e s à l a C o m p a g n i e N a t i o n a l e
d u R h ô n e , M . H E N R Y , q u i a f a i t e x é c u t e r d e s m e s u r e s s u r le r a i d i s s e m e n t d e s o n d e s à l ' a v a l d u b a r r a g e d e G é n i s s i a t l o r s d ' u n l â c h e r s u b i t de d é b i t s u r ce t r o n ç o n d u fleuve : il a p u c o n s t a - t e r q u e l a t h é o r i e n ' é l a i t p a s s u i v i e p o u r d e s v a - r i a t i o n s i n i t i a l e s f a i b l e s d u r é g i m e d ' é c o u l e m e n t , le r a i d i s s e m e n t p r é v u n ' e x i s t a n t p a s . Il e s t p o s - sible, b i e n e n t e n d u , q u e c e t t e a n o m a l i e s o i t d u e , e n p a r t i e t o u t a u m o i n s , à la d i f f r a c t i o n i n i t i a l e d e l ' o n d e , le l â c h e r s ' é t a n t p r o d u i t s u r l a r i v e g a u c h e d u fleuve u n p e u e n a v a l d e s o u v r a g e s , a u d é b o u c h é d e l a g a l e r i e d e d é r i v a t i o n p r o v i - s o i r e .
Dernière remarque : l o r s d ' u n b r u s q u e c h a n - g e m e n t d e p e n t e d u f o n d , c o m m e c ' e s t le c a s p a r e x e m p l e q u a n d u n e o n d e d e t r a n s l a t i o n f o r - m é e d a n s u n e e a u d e p r o f o n d e u r c o n s t a n t e p é - n è t r e d a n s u n c a n a l i n c l i n é , il y a u r a u n e v a r i a - t i o n b r u s q u e de la pente de l a p o i n t e d e l ' o n d e , t o u t c o m m e il se p r o d u i t u n e v a r i a t i o n d'ampli- tude a u d r o i t d ' u n d é c r o c h e m e n t d u f o n d d u c a n a l , a i n s i q u e n o u s le v e r r o n s p l u s l o i n . Ce p r o b l è m e a é t é é t u d i é p a r le s a v a n t h o l l a n d a i s ,
D r . J . C. S C H Ô N F E L D .
D E U X I È M E P A R T I E
V A R I A T I O N D ' A M P L I T U D E D E L A P A R T I E F R O N T A L E D ' U N E O N D E D E T R A N S L A T I O N S E P R O P A G E A N T E N E A U T R A N Q U I L L E D E P R O F O N D E U R D É C R O I S S A N T E
Le s e u l r é s u l t a t t h é o r i q u e q u e l'on p u i s s e u t i l i - ser p o u r c e t t e é t u d e c o n c e r n e la v a r i a t i o n d ' a m - p l i t u d e d ' u n e o n d e a b r u p t e d ' a m p l i t u d e « infini- t é s i m a l e » se p r o p a g e a n t d a n s u n e e a u d e p r o - f o n d e u r v a r i a b l e ; A . CRAYA l'a d o n n é , p a r e x e m - ple, d a n s s o n a r t i c l e : « Calcul d e s r é g i m e s v a - r i a b l e s d a n s les c a n a u x », la Houille Blanche,
№S 1 e t 2 , 1 9 4 5 .
O n p e u t o b t e n i r t r è s s i m p l e m e n t le m ê m e r é - s u l t a t e n o p é r a n t d e la m a n i è r e c i - a p r è s e x p o s é e . N o u s a l l o n s c h e r c h e r l ' a u g m e n t a t i o n d ' a m p l i t u d e
d ' u n e o n d e de t r a n s l a t i o n a b r u p t e d e h a u t e u r a l o r s q u ' e l l e f r a n c h i t le d é c r o c h e m e n t d ' u n c a n a l d o n t l ' e a u e s t i n i t i a l e m e n t t r a n q u i l l e (fig. 3 ) .
" ô a - j ^ ^
F I G . 3
408 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 G
Soit — oh la d i m i n u t i o n d e p r o f o n d e u r o u h a u t e u r d u d é c r o c h e m e n t d a n s le c a s c o n s i d é r é . P r e n o n s p o u r l a v i t e s s e d e l ' o n d e l a f o r m u l e d e H . F A V R E p a r e x e m p l e ( c o n s u l t e r « E t u d e t h é o - r i q u e e t e x p é r i m e n t a l e d e s o n d e s d e t r a n s l a t i o n d a n s l e s c a n a u x d é c o u v e r t s », D u n o d , P a r i s , 1 9 3 5 ) . P o u r u n c a n a l r e c t a n g u l a i r e d e l a r g e u r c o n s t a n t e , o n a :
v I 1 4 h \ • (23)
L e f r o n t d e l ' o n d e e s t a c c o m p a g n é d ' u n d é b i t q p a r u n i t é d e l a r g e u r égal à :
a Q = a J~gh ! 1 + 3 a I
ih » . . (24) E c r i v o n s m a i n t e n a n t l ' é q u a t i o n d e c o n t i n u i t é l o r s q u e l ' o n d e p a s s e a u d r o i t d u d é c r o c h e m e n t où elle d o n n e n a i s s a n c e à u n e o n d e réfléchie d ' a m p l i t u d e Sa et à u n e o n d e t r a n s m i s e d ' a m p l i - t u d e (a - f Sa) :
a .[ah 1 4 - ——-
V * i 1 4 /? )
+ 8 a ^ № 1 1 + 4 (h + a) 3 S a h + a
. . . (25 Si l ' o n a d m e t q u e a e s t u n e q u a n t i t é p e t i t e d u
p r e m i e r o r d r e et Sa u n e q u a n t i t é d u d e u x i è m e o r d r e , o n t i r e :
Sa S/i = Q
a 4h ~~
E n i n t é g r a n t , o n t r o u v e d o n c q u e d a n s u n c a n a l à f o n d i n c l i n é :
a4 h = C o n s t . (26) Cette r e l a t i o n n ' e s t v a l a b l e q u e p o u r l e s p e t i t e s v a l e u r s d e a/h et d a n s l a p r a t i q u e elle n e p r é - s e n t e p a s u n g r a n d i n t é r ê t ; o n c o n s t a t e n é a n - m o i n s q u e la p r o p a g a t i o n d ' u n e o n d e d e t r a n s - l a t i o n d u g e n r e m a s c a r e t , d a n s u n c h e n a l i n c l i n é , p e u t ê t r e c a r a c t é r i s é e p a r u n e n e t t e a u g m e n t a - tion d ' a m p l i t u d e d e l ' o n d e t r a n s m i s e e t d e l ' o n d e réfléchie.
D ' a u t r e p a r t , o n p e u t é t u d i e r la réflexion d ' u n e o n d e d e t r a n s l a t i o n d a n s le c a s l i m i t e d ' u n e p a r o i v e r t i c a l e b a r r a n t u n c a n a l d e p r o f o n d e u r c o n s - t a n t e e n u t i l i s a n t l ' é q u a t i o n (25) : le p r e m i e r t e r m e d u d e u x i è m e m e m b r e d i s p a r a î t e t l e s q u a n -
tités a e t Sa s o n t t o u t e s d e u x d u p r e m i e r o r d r e . O n t r o u v e :
Sa = a ( 1 +
2 / i . . . 27)
de s o r t e q u e l ' é l é v a t i o n t o t a l e d u n i v e a u a p r è s le r e t o u r d e l ' o n d e réfléchie e s t d o n n é e p a r :
a + Sa = 2 a - f
2 h (28)
T R O I S I È M E P A R T I E . — É T U D E E X P É R I M E N T A L E L e s e x p é r i e n c e s o n t é t é effectuées d a n s le c a -
n a l r e p r é s e n t é s u r la l i g u r e 4 . L e m o d e o p é r a - t o i r e é t a i t le s u i v a n t : o n é t a b l i s s a i t d ' a b o r d le
/onne **
Gâte g
B B C D E I l - I - i - I {/) = L - , J - - — H
7-7/J /////
F I G . 4
n i v e a u d u b a s s i n à n i v e a u c o n s t a n t p a r r e m p l i s - s a g e a u s e a u ( o u s i p h o n a g e ) ; p u i s o n l e v a i t r a p i - d e m e n t la v a n n e s i t u é e à u n e e x t r é m i t é d u c a n a l e t le m o u v e m e n t a i n s i p r o v o q u é é t a i t e n r e g i s t r é à c i n q p o i n t s p a r d e s e n r e g i s t r e u r s é l e c t r o n i q u e s d ' o n d e d u t y p e i n v e n t é p a r M . BOUDAN e t q u e ce d e r n i e r a d é c r i t d a n s « A p p a r e i l s p o u r la m e -
s u r e d e s n i v e a u x r a p i d e m e n t v a r i a b l e s s u r m o - dèle r é d u i t ». La Houille Blanche, n ° 4, a o û t - s e p t e m b r e 1 9 5 3 .
D a n s u n e p r e m i è r e s é r i e d ' e s s a i s , l e s p a r o i s et le f o n d d u c a n a l é t a i e n t l i s s e s (coefficient d e C h é z y égal à 60 e t 70 d a n s le s y s t è m e m é t r i q u e p o u r u n r a y o n h y d r a u l i q u e r e s p e c t i v e m e n t égal à 0,02 m et 0,10 m ) , a l o r s q u e d a n s la d e u x i è m e s é r i e d ' e s s a i s i l y a v a i t u n e r u g o s i t é s u p p l é m e n - t a i r e . D u p o i n t d e v u e d e l a t h é o r i e c l a s s i q u e d e s o n d e s d e t r a n s l a t i o n , ce d e u x i è m e c a s é q u i v a u t à d i m i n u e r l a p e n t e d u f o n d s a n s m o d i f i e r l a r u - gosité, l a t r a n s m i s s i o n e t l a r é f l e x i o n d e s o n d e s s ' e f f e c t u a n t e x a c t e m e n t c o m m e si, t o u t e n c o n - s e r v a n t le m ê m e é t a t d e s p a r o i s , l a p e n t e é t a i t d ' e n v i r o n d i x fois p l u s faible q u e d a n s le p r e m i e r cas, c ' e s t - à - d i r e c o m m e si elle é t a i t d ' e n v i r o n 0,95 % a u lieu d e 9,5 % .
Il s'est a v é r é difficile d e s u i v r e la v a r i a t i o n de h a u t e u r d e l ' o n d e i n i t i a l e . C e p e n d a n t , p o u r u n e o n d e d e 20 m m se p r o p a g e a n t d a n s u n e e a u d o n t
JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - N " 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 4 0 9
la p r o f o n d e u r i n i t i a l e d a n s la s e c t i o n A est d ' e n - viron 300 m m ( p o u r les o n d e s p o s i t i v e s ) ou 340 m ( p o u r les o n d e s n é g a t i v e s ) , la m o n t é e ou l ' a b a i s s e m e n t m a x i m u m d u n i v e a u de l ' e a u n e d é p a s s e p a s 2 a (soit 4 0 m m ) d e p l u s d e 10 % s u r les 85 % ( o n d e s p o s i t i v e s ) o u 60 % ( o n d e s n é g a t i v e s ) d u p a r c o u r s c o m p t é s u r la l o n g u e u r i n i t i a l e d e la s u r f a c e l i b r e a u - d e s s u s d u f o n d incliné, soit 85 % d e 3,15 m et 60 % de 3,60 m . Ces chiffres se r a p p o r t e n t a u c a n a l l i s s e ; avec- u n e r u g o s i t é artificielle, l a différence m a x i m u m de n i v e a u é t a i t , grosso modo, i n f é r i e u r e d e 10 % , de s o r t e q u ' e n fait la différence de n i v e a u n ' a t t e i - g n a i t j a m a i s 40 m m s u r les d i s t a n c e s p r é c i t é e s . Il n ' é t a i t p a s p o s s i b l e d e m e s u r e r d i r e c t e m e n t la différence m a x i m u m d e n i v e a u à l ' e x t r é m i t é du c a n a l où le f r o n t d e l ' o n d e d é f e r l e ( m ê m e lo- c a l e m e n t p o u r les o n d e s n é g a t i v e s , p e n d a n t la réflexion) n i d e m a i n t e n i r e n p e r m a n e n c e la t i g e é l e c t r i q u e s o u s l ' e a u ; n é a n m o i n s , on p o u v a i t e s t i - m e r c e t t e d i f f é r e n c e m a x i m u m d e n i v e a u à e n v i - r o n 55 m m a u - d e s s u s d u n i v e a u i n i t i a l (soit u n e a u g m e n t a t i o n d e 35 à 4 0 % a u - d e s s u s de
2 a = 40 m m ) p o u r les o n d e s p o s i t i v e s et là p e n t e f o r t e , et à e n v i r o n 55 m m a u - d e s s o u s d u n i v e a u i n i t i a l p o u r les o n d e s n é g a t i v e s ; a v e c la r u g o s i t é artificielle, o n p o u v a i t s ' a t t e n d r e à u n e a u g m e n - t a t i o n d e 25 à 30 %, d e s o r t e q u ' u n e fois e n c o r e le c h o i x d ' u n e p e n t e d i x fois m o i n s f o r t e , s a n s m o d i f i e r l a r u g o s i t é , é q u i v a u d r a i t à d i m i n u e r d ' e n v i r o n 10 % le p o u r c e n t a g e d e v a n t ê t r e a j o u t é à d e u x fois l ' a m p l i t u d e i n i t i a l e p o u r d é t e r m i n e r la d é n i v e l l a t i o n e x t r ê m e .
L e s e n r e g i s t r e m e n t s n ' o n t p a s p e r m i s d ' é t u d i e r a v e c p r é c i s i o n la v a r i a t i o n d e p e n t e d u f r o n t d e l ' o n d e .
Ces r é s u l t a t s m o n t r e n t q u e la r é f l e x i o n s u r u n f o n d lisse e n p e n t e p e u t ê t r e p l u s d é f a v o r a b l e q u e s u r u n e p a r o i v e r t i c a l e ( é q u a t i o n 28) d a n s le c a s d e f o r t e s p e n t e s , m a i s a u s s i q u e la z o n e s o u m i s e à l ' a u g m e n t a t i o n l a p l u s n o t a b l e e s t celle d e s t r è s faibles p r o f o n d e u r s . P o u r d e s c a - n a u x à p e n t e p l u s f a i b l e (1 % ou m o i n s ) , l ' a m - p l i t u d e d e l ' o n d e n e p o u r r a d é p a s s e r n e t t e m e n t le d o u b l e d e s a v a l e u r , si t a n t e s t q u e c e l a a r r i v e , q u e d a n s les p r o f o n d e u r s t r è s f a i b l e s .
C O N C L U S I O N S P R A T I Q U E S L a p r i n c i p a l e c o n c l u s i o n q u e l'on p e u t t i r e r
est la s u i v a n t e : les d i f f i c u l t é s r e n c o n t r é e s p a r les p é n i c h e s d u fait de l a p r o p a g a t i o n d ' o n d e s de t r a n s l a t i o n e n e a u p e u p r o f o n d e s o n t v r a i s e m - b l a b l e m e n t liées a u r a i d i s s e m e n t et a u d é f e r l e - m e n t i n é v i t a b l e s d e s o n d e s p o s i t i v e s ; voir la p r e m i è r e p a r t i e d e l ' a r t i c l e .
R a r e m e n t , en p r a t i q u e , la m o n t é e et l ' a b a i s s e - m e n t d u n i v e a u de l ' e a u s e r o n t t r è s différents des v a l e u r s o b t e n u e s d a n s le c a s de la réflexion
s u r u n e p a r o i v e r t i c a l e q u e n o u s a v o n s é t u d i é e d a n s l a d e u x i è m e p a r t i e ; c e t t e a s s e r t i o n e s t f o n - dée s u r l e s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e x p o s é s d a n s la t r o i s i è m e p a r t i e .
L e l e c t e u r q u i d é s i r e r a i t r a p p r o c h e r le s u j e t t r a i t é ici d ' a u t r e s p a r t i e s d e l a m é c a n i q u e d e s fluides p o u r r a u t i l e m e n t c o n s u l t e r l ' a r t i c l e d e J. J . STOKER s u r la « F o r m a t i o n of b r e a k e r s a n d b o r e s » p a r u d a n s les Communications on A pplied Mathematics, vol. 1, n ° 1, 1 9 4 8 .
410 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
The propagation and the reflection of abrupt translation waves in still water
of steadily decreasing depth
B Y G.-D. E A N S F O E D
M.A. ( H O N S ) , H.C.E., I N G É N I E U R D O C T E U R , I N G É N I E U R A LA SOGREAH
( T e x t e f r a n ç a i s , p . 4 0 4 )
The problem of the propagation of translation waves in a shelving backwater has arisen in connection with two large French power schemes. It has proved important to know both the change in slope of translation waves moving in still water of decreasing depth, and also the increase of amplitude occurring during
propagation and after reflection. The first problem can be treated theoretically, and the solution is given in this article; no exact solution exists for the amplitude problem, but certain experimental results will be analysed on an approximate theoretical basis.
I N T R O D U C T I O N T h e p r o b l e m t r e a t e d i n t h e p r e s e n t a r t i c l e h a s
b e e n s t u d i e d b y t h e staff of t h e SOGREAH H y d r a u - lic L a b o r a t o r y a t G r e n o b l e for t w o l a r g e F r e n c h h y d r o e l e c t r i c p r o j e c t s w h e r e n a v i g a t i o n p r o b l e m s a r o s e .
T h e s t i m u l u s for t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n a r o s e t h e r e f o r e f r o m s t r i c t l y p r a c t i c a l c o n s i d e r a - t i o n s . F r o m a t h e o r e t i c a l s t a n d p o i n t , t h e first p a r t of o u r s t u d y , w h i c h c o n c e r n s t h e c h a n g e i n slope of t h e t i p of a t r a n s l a t i o n w a v e m o v i n g i n t o still w a t e r of d e c r e a s i n g d e p t h , f o r m s a s m a l l a d d e n d u m t o t h e m o n u m e n t a l w o r k of J . MASSAU (Mémoire sur l'intégration des équa- tions aux dérivées partielles, U n i v e r s i t y of G h e n t ) , b e i n g b a s e d o n t h e t h e o r y of c h a r a c - t e r i s t i c s . T h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e e x a c t t o t h e e x t e n t t h a t t h e u s u a l l y a c c e p t e d e q u a t i o n s for n o n - p e r m a n e n t flow i n o p e n c h a n n e l s a r e e x a c t , b u t t h e n e g l e c t of v e r t i c a l c o m p o n e n t s of v e l o c i t y o r of a c c e l e r a t i o n l e a d s t o n e c e s s a r i l y i n e x a c t r e s u l t s a t a n a d v a n c e d s t a g e of t h e m o t i o n .
I n t h e s e c o n d p a r t of t h e s t u d y , c o n c e r n i n g t h e a m p l i t u d e s of t h e " o n c o m i n g " a n d " reflect- e d " w a v e f r o n t s a l o n g t h e c a n a l , t h e o r y is of l i t t l e a i d ; r e l i a n c e w i l l t h e r e f o r e b e p l a c e d on a n a n a l y s i s of t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w h i c h t h e m - s e l v e s a r e f r a g m e n t a r y . N e v e r t h e l e s s , i t i s felt t h a t t h e c o n c l u s i o n s r e a c h e d a r e sufficient for p r a c t i c a l p u r p o s e s , w h e r e a n a p p r o x i m a t e r e s u l t is all t h a t is r e a l l y r e q u i r e d i n t h e m a j o r i t y of c a s e s .
B o t h t h e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l s t u d i e s c o n c e r n c a n a l s of r e c t a n g u l a r c r o s s - s e c t i o n a n d of c o n s t a n t s l o p e .
S Y M B O L S
a = a m p l i t u d e of a s m a l l , a b r u p t t r a n s l a t i o n w a v e s ;
8 a = i n c r e a s e i n a a s w a v e m o v e s o v e r a " s t e p " ; b = f r i c t i o n f a c t o r , f u n c t i o n of s a n d z ; h — m e a n d e p t h of flow; i n g e n e r a l , t h e r a t i o
of t h e w e t t e d c r o s s - s e c t i o n t o t h e s u r f a c e w i d t h . I n a r e c t a n g u l a r c h a n n e l , w i t h c o n s t a n t i,
h — si -f- z
i — b o t t o m s l o p e , h e r e s u p p o s e d c o n s t a n t ; p o - sitive i n figure 1 (French text);
r = a b s c i s s a of a r e f e r e n c e p o i n t ;
s = a b s c i s s a ; d i s t a n c e m e a s u r e d a l o n g t h e w a t e r s u r f a c e f r o m t h e p o i n t of z e r o d e p t h (see fig. 1 ) ;
f = t i m e ;
u — m e a n v e l o c i t y of flow (u = 0 p r i o r t o t h e p a s s a g e of t h e w a v e ) ;
z = a l t i t u d e of w a t e r s u r f a c e a b o v e o r i g i n a l still w a t e r l e v e l ;
k = c o n s t a n t of i n t e g r a t i o n ;
JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 411
a — a n u m e r i c a l f a c t o r t a k i n g a c c o u n t of t h e n o n - u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n o p e n c h a n n e l flow. A c c o r d i n g to BOULANGER, cited b y M r . M A S S É , « . = 1,096;
£ = a s i m i l a r f a c t o r ; p = 1.040 a c c o r d i n g t o t h e s a m e a u t h o r i t i e s ;
Q = w a v e v e l o c i t y .
P A R T 1
A G E N E R A L S O L U T I O N F O R T H E C H A N G E I N S L O P E O F T H E T I P O F A T R A N S L A T I O N W A V E M O V I N G I N T O S T I L L W A T E R O F D E C R E A S I N G D E P T H
g i v e n b y T h e m e t h o d to b e u s e d i s t h a t
MASSAU, a n d t h e i n t e r e s t e d r e a d e r s h o u l d c o n s u l t his w o r k ; i n o r d e r i o a v o i d u n d u e l e n g t h i n t h e text, o n l y t h e b a r e s t o u t l i n e w i l l b e g i v e n h e r e . T h e b a s i c e q u a t i o n of n o n - p e r m a n e n t flow i n a c a n a l of s m a l l s l o p e m a y be w r i t t e n :
dz , au du . 8 du , „
_ _ 0U2
os g os g at
( 1 )
T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n t a k e s t h e f o r m :
dz . dz , , du . / m
+ u — — - f h - 5 — = — - ui (2)
dt ds ds
On the o t h e r h a n d , it f o l l o w s b y definition t h a t :
dt dz
dt + ds dz ds
ds du ds
,, du --dz
du
. (3)
• ( 4 )
F o r t h e t i p of a w a v e m o v i n g i n t o still w a t e r , w e find :
ds^
dt
V
• Us)T h e o t h e r " c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n " for w a v e s m o v i n g i n t o still w a t e r , is o b t a i n e d f r o m t h e first t w o a n d t h e l a s t t w o c o l u m s , w i t h u — 0 :
dz = t 4 ' —— du = 0 V 9
( 8 )
(it) W e s h a l l n o w f o c u s o u r a t t e n t i o n o n t h e c h a n g e i n s l o p e of t h e t i p of a t r a n s l a t i o n w a v e . I n t h i s c a s e , t h e r e a r e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e first d e r i v a t i v e s , a n d t h e i n d e t e r m i n a c y affects t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s . T a k i n g t h e p a r t i a l d e r i v a - tives w i t h r e s p e c t t o s of (1) a n d (2), w e find t h a t t h e m a t r i c e of w h i c h t h e d e t e r m i n a n t s s h o u l d be z e r o is :
( 0 O u r i n t e r e s t lies i n t h e p r o p a g a t i o n of t r a n s l a t i o n w a v e s g i v i n g r i s e i n t h e first i n s t a n c e to i n f i n i t e s i m a l d i s c o n t i n u i t i e s i n z a n d u, a n d to i n d e t e r m i n a c y i n t h e i r d e r i v a t i v e s ; finite a m - p l i t u d e w a v e s w i l l be e x c l u d e d f r o m t h e p r e s e n t d i s c u s s i o n .
T h e c o n d i t i o n of i n d e t e r m i n a c y of t h e d e r i - v a t i v e s is o b t a i n e d b y e q u a t i n g t o z e r o t h e d e t e r - m i n a n t s of t h e m a t r i c e f o r m e d b y t h e coefficients of e q u a t i o n s (1) t o (4) :
0 1 oc U
J- - bu~
9 9
1 a h 0 - in
dt ds 0 0 dz
0 0 ds dt du
T a k i n g t h e first f o u r c o l u m n s w e
(5)
find t h e w a v e v e l o c i t y e q u a t i o n
ds_
dt 2 ß V 2 ß
(6)
0 1
dt ds 0 0
au (du
9 9 ~\g [ds h 0 - \i-i
du ds
0 0
"(
ds dt
"(
V
du ds
bu dz ds
du ds
•> db . „
-L. dji ds
du ds
dh dz
db dz dz ds
dz ds du ds _ 9 £
ds du_
ds
C o n s i d e r i n g n o w t h e c a s e of t h e t i p of a t r a n s l a t i o n w a v e m o v i n g i n t o still w a t e r , t h e u p p e r r i g h t h a n d b r a c k e t r e d u c e s t o :
du ds a n d t h e b r a c k e t b e l o w it t o :
du ds
dz ds'
du ds
4 1 2 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
T a k i n g t h e c a s e of a r e c t a n g u l a r c h a n n e l 9/?
a n d
9 s
m
dz
= i
= 1
(10)
(11) T h e first " c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n " gives t h e w a v e - t i p v e l o c i t y f o r m u l a (7), a s b e f o r e , w h i l e t h e s e c o n d c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , c o r r e s p o n d i n g t o (8), m a y b e w r i t t e n :
d dz ds
/ & h , ( du
V s
/ du ds
ds 2 \ i du
ds
dz du • dt g yds J " ° " ( * ds ^ ds ds
. . . (12) U s i n g (2) i n still w a t e r , w e find a t t h e t i p of t h e w a v e :
du ds H e n c e
du
~ds~
1 dz h dt
1 g dz
V h p ~di (13) s i n c e a t t h e f r o n t of t h e w a v e :
dz
dt dt + ds dt ~~~ dt y ß 9 s
F r o m (12) it f o l l o w s t h a t 2d dz_
ds
dz 2 h ds dz
dh
N o w
ß / i V 9 s dh
ds h 11 9 s dz
ds
j
ds(14) ds i, b y d e f i n i t i o n .
I n t e r m s of t o t a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o s, (14) b e c o m e s :
2 Ts\-di)-~~h\2 + T
dz_\- 9 s
3 í ( dz \ 2 h \ ds J
. . . (15) W i t h o u t a p p r e c i a b l e e r r o r , w e m a y , i n o r d e r to s i m p l i f y t h e f o r m u l a e s u p p o s e t h a t :
a
J
= 1 E q u a t i o n (15) b e c o m e s : _d_fjte \ = 3 _ ( d z y 3 i
ds V 9 s J 2 h \ ds J (16)
4 h \ ds _
T h i s b a s i c e q u a t i o n g i v i n g t h e c h a n g e i n s l o p e
of t h e w a v e tip a s t h e w a v e a d v a n c e s m a y be r e a d i l y i n t e g r a t e d ; w e find t h a t :
• j £ \ _ ' / 2
{ ds J. ' ' ksv± — 1 . . . (17) r e m e m b e r i n g t h a t h=si a t t h e w a v e t i p . E v a l u a t - i n g k i n t e r m s of ( 3 z / 9 s ) , . , t h e w a v e t i p s l o p e ( s u p p o s e d k n o w n ) a t a n i n i t i a l p o i n t r, w e find t h a t (17) t r a n s f o r m s i n t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n , w h i c h is t h e g e n e r a l s o l u t i o n s o u g h t :
(dz/ds), dz ^
ds Js
. . . (18) I n t h e s p e c i a l c a s e of a h o r i z o n t a l b o t t o m , t h e s o l u t i o n of (16) is :
r - ,
(
s sI + i \ 9 s ) r
f dz ' V 9 s
2 h
3 s + k
or, if t h e o r i g i n of s is s u i t a b l y c h o s e n : 9z \ 2 h
• • (19)
3 s . . . (20)
T h e f o l l o w i n g r e m a r k s c a n b e m a d e c o n c e r n - i n g (18) :
(i) A p o s i t i v e t r a n s l a t i o n w a v e t i p of finite i n i t i a l s l o p e m o v i n g i n t o a s t i l l - w a t e r c h a n n e l of d e c r e a s i n g d e p t h w i l l finally a l w a y s b r e a k . I n effect, w i t h t h e s i g n c o n v e n t i o n s of fig 1, ( 9 z / 9 s )r is p o s i t i v e b u t t h e f a c t o r [ ( s / r )3^ — 1]
is n e g a t i v e ; for : s = r
\dz/ds\,.
i/2 + \dz/ds\r _
4/3
(21) t h e d e n o m i n a t o r of (18) is z e r o .
(ff) F o r n e g a t i v e t r a n s l a t i o n w a v e s , (18) gives t h e t h e o r e t i c a l s l o p e a t a n y p o i n t . I n p a r t i c u l a r :
£t
s- > 0
dz_
ds (22)
It follows f r o m t h e m o n o t o n i e c h a r a c t e r of ( 1 8 ) t h a t :
a) N e g a t i v e t r a n s l a t i o n w a v e s for w h i c h | ( 9 z / 9 s ) , . | < i / 2 s t e e p e n u p a s t h e y a p p r o a c h t h e o r i g i n
(see fig. 2 in the french text) ;
b) N e g a t i v e t r a n s l a t i o n w a v e s for w h i c h \(dz/ds)r\=i/2 r e t a i n t h i s slope a t t h e t i p ;
c) N e g a t i v e t r a n s l a t i o n w a v e s for w h i c h ! 9 z / 9 s ) , . j > ( / 2 f l a t t e n o u t a t t h e t i p .
I n t h e c a s e of still w a t e r of c o n s t a n t d e p t h , a p o s i t i v e t r a n s l a t i o n w i t h finite i n i t i a l s l o p e w i l l , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r y , a l w a y s f i n i s h u p b y b r e a k i n g w h e r e a s a n e g a t i v e w a v e t i p w i l l f l a t t e n o u t i n d e f i n i t e l y . T h e s e c o n c l u s i o n s a r e d e d u c e d f r o m e q u a t i o n (20).
T h e o n l y r e q u i r e m e n t for t h e v a l i d i t y of t h e s e
JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 4 1 3
c o n c l u s i o n s c o n c e r n s t h e finite s l o p e of t h e w a v e tip a t t h e p o i n t of d e p a r t u r e . I n t e r m s of d i s c h a r g e , t h i s m e a n s t h a t t h e o r i g i n a l w a v e m u s t r e s u l t f r o m a finite r a t e of c h a n g e of flow, (dQ/dt) s a y , a t s o m e p o i n t i n t h e c a n a l s y s t e m c o n n e c t i n g w i t h t h e b a c k w a t e r . T h e d i s c o n t i n u i t y m u s t b e i n t h e first d e r i v a t i v e ; a d i s c o n t i n u i t y i n t h e s e c o n d or h i g h e r d e r i v a t i v e s o n l y , s u c h a s w o u l d b e o c c a s i o n e d b y a laAv of d i s c h a r g e :
Q = Qo f o r t < *0 Q = Qo + at* for t > f0
c o u l d of c o u r s e a l s o be s t u d i e d b y a m e t h o d s i m i l a r t o t h a t o u t l i n e d h e r e .
M e n t i o n s h o u l d a l s o b e m a d e of c e r t a i n r e m a r k s of M. H E N R Y , t h e D i r e c t o r of D e s i g n s of t h e C o m p a g n i e N a t i o n a l e d u R h o n e . T e s t s o n t h e
s t e e p e n i n g of a flood w a v e c a u s e d b y t h e s u d d e n i n c r e a s e of d i s c h a r g e t h r o u g h d a m o u t l e t s t r u c t u r e s s h o w e d t h a t t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s w e r e n o t a c c u r a t e ; t h e e x p e c t e d s t e e p e n i n g u p d i d n o t o c c u r . T h i s a n o m a l y m a y b e p a r t l y e x p l a i n e d a t l e a s t b y t h e i n i t i a l d i f f r a c t i o n of t h e flood w a v e , a s t h e o u t l e t w a s o n t h e left b a n k of t h e R h o n e s o m e d i s t a n c e d o w n s t r e a m f r o m t h e d a m .
F i n a l l y , i t s h o u l d be o b s e r v e d t h a t , i n t h e e v e n t of a n a b r u p t c h a n g e i n b o t t o m s l o p e , a s i s f o r e x a m p l e t h e c a s e w h e n a t r a n s l a t i o n w a v e f o r m e d i n w a t e r of c o n s t a n t d e p t h e n t e r s a s h e l v i n g c a n a l , a n a b r u p t c h a n g e i n t h e slope of t h e w a v e t i p w i l l o c c u r , a n a l o g o u s l y t o t h e c h a n g e i n am
plitude o c c u r r i n g o v e r a " s t e p " i n t h e c a n a l b o t t o m , a s i n v e s t i g a t e d b e l o w . T h i s p r o b l e m has1 b e e n s t u d i e d by D r . J . C . SCHONFELD i n H o l l a n d .
P A R T 2
T H E C H A N G E I N A M P L I T U D E O F T H E F R O N T A L P A R T O F A T R A N S L A T I O N M O V I N G I N T O S T I L L W A T E R O F D E C R E A S I N G D E P T H
W A V E
T h e o n l y t h e o r e t i c a l r e s u l t w h i c h , c a n b e u s e d i n t h i s s t u d y c o n c e r n s t h e c h a n g e i n a m p l i t u d e of a n a b r u p t w a v e of " i n f i n i t e s i m a l " a m p l i t u d e t r a v e l l i n g i n w a t e r of v a r i a b l e d e p t h , a n d h a s b e e n g i v e n for e x a m p l e b y A. CRAYA i n h i s a r ticle « C a l c u l d e s r é g i m e s v a r i a b l e s d a n s les c a n a u x », la Houille Blanche, N0 6 1 e t 2, 1945.
T h e s a m e r e s u l t c a n b e o b t a i n e d v e r y s i m p l y i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r :
R e f e r r i n g t o fig. 3, w e s h a l l s t u d y t h e i n c r e a s e in a m p l i t u d e of a n a b r u p t t r a n s l a t i o n w a v e of h e i g h t a a s it m o v e s o v e r a " s t e p " i n a c a n a l i n i t i a l l y c o n t a i n i n g still w a t e r .
L e t —Sft b e t h e d e c r e a s e i n d e p t h , or h e i g h t of t h e s t e p i n t h e c a s e c o n s i d e r e d . T a k i n g t h e f o r m u l a f o r w a v e v e l o c i t y a s g i v e n b y H . F A V R E , for e x a m p l e (see t h e b o o k « E t u d e t h é o r i q u e e t e x p é r i m e n t a l e d e s o n d e s d e t r a n s l a t i o n d a n s les c a n a u x d é c o u v e r t s », D u n o d , P a r i s , 1 9 3 5 ) ; wTe h a v e :
+
3 a
47? (23-)
i n a c o n s t a n t - w i d t h , r e c t a n g u l a r c a n a l . T h e w a v e f r o n t i s a c c o m p a n i e d b y a d i s c h a r g e q p e r u n i t w i d t h e q u a l t o :
aQ = a ,Jgh~\l + (24)
W r i t i n g n o w t h e e q u a t i o n of c o n t i n u i t y for t h e w a v e a s i t p a s s e s o v e r t h e s t e p , w h e r e i t gives r i s e t o a reflected w a v e of a m p l i t u d e Sa a n d a t r a n s m i t t e d wrave of a m p l i t u d e (a + 8a) w e h a v e :
3 a )
~4~h~\
(a + 3a) t/gVi — m ' 1 + 3 (a - f - S a ) } + 8 a
4 (ft — s ft) ) 3 S a ) q
4 (ft - f a) h + a
. . . (25 If it b e s u p p o s e d t h a t a is a first-order s m a l l q u a n t i t y , a n d Sa a s e c o n d o r d e r o n e , it f o l l o w s t h a t :
Sa
a
+
4 f t Sft = 0B y i n t e g r a t i o n , it is t h u s f o u n d t h a t , i n t h e c a s e of a c a n a l w i t h a s l o p i n g b o t t o m :
a4 ft = C o n s t . (26)
T h i s r e l a t i o n s h i p h o l d s o n l y for s m a l l v a l u e s of a/h a n d i n p r a c t i c e , is w i h o u t g r e a t v a l u e ; h o w e ver, it is s e e n t h a t o n e f e a t u r e of t h e p r o p a g a t i o n of a b o r e - l i k e t r a n s l a t i o n w a v e i n t o a s h e l v i n g c h a n n e l m a y b e a m a r k e d i n c r e a s e i n a m p l i t u d e of t h e o n c o m i n g , a s a l s o of t h e r e f l e c t e d w a v e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e f l e c t i o n of a t r a n s l a t i o n c a n be s t u d i e d i n t h e l i m i t i n g c a s e of a v e r tical w a l l b l o c k i n g off a c o n s t a n t - d e p t h c a n a l b y a p p l y i n g e q u a t i o n ( 2 5 ) ; t h e first t e r m o n t h e r i g h t - h a n d s i d e d r o p s o u t , a n d a a n d Sa a r e b o t h first-order s m a l l q u a n t i t i e s .
4 1 4 LA H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 Ü
W e find so t h a t t h e t o t a l r i s e i n level a f t e r t h e r e t u r n of
t h e reflected w a v e is g i v e n b y :
8a 2 / i 27) a -)- 5a = 2 a
2 h (28)
P A R T 3. — E X P E R I M E N T A L S T U D Y
E x p e r i m e n t s h a v e b e e n c o n d u c t e d i n t h e f l u m e s h o w n i n fig. 4 (French text). T h e m o d u s o p e r - a n d i w a s a s f o l l o w s : :
T h e w a t e r level i n s i d e t h e f l u m e w a s s e t a t a k n o w n level a b o v e (or b e l o w ) t h e w a t e r level i n t h e c o n s t a n t - l e v e l b a s i n b y b u c k e t i n g (or s i p h o n - i n g ) . T h e lift g a t e a t o n e e n d of t h e c a n a l w a s t h e n o p e n e d r a p i d l y a n d t h e e n s u i n g m o t i o n r e c o r d e d a t p o i n t s A, B, C, D, E, b y e l e c t r o n i c w a v e r e c o r d e r s of t h e t y p e i n v e n t e d b y M. B o u - DAN a n d d e s c r i b e d i n h i s a r t i c l e « A p p a r e i l s p o u r la m e s u r e d e s n i v e a u x r a p i d e m e n t v a r i a b l e s ' s u r m o d è l e r é d u i t ». La Houille Blanche, № 4, A u g u s t - S e p t e m b e r , 1 9 5 3 .
A first s e r i e s of t e s t s w a s c a r r i e d o u t w i t h t h e flume s i d e s a n d b o t t o m s m o o t h (coefficient de Chézy = 60 a n d 70 i n m e t r i c u n i t s for a h y d r a u lic r a d i u s — 0.02 m a n d 0.10 m r e s p e c t i v e l y ) , a n d
a s e c o n d s e r i e s of t e s t s w i t h a d d i t i o n a l r o u g h n e s s . T h i s is e q u i v a l e n t , a s f a r a s t h e o r d i n a r y t r a n s l a t i o n w a v e t h e o r y goes, t o a f l a t t e n i n g of t h e c a n a l b o t t o m w i t h o u t a c h a n g e i n r o u g h n e s s ; t h e t r a n s m i s s i o n a n d reflection of w a v e s t a k e s p l a c e j u s t a s t h o u g h , k e e p i n g t h e s a m e s m o o t h n e s s , t h e s l o p e w e r e a b o u t 10 t i m e s flatter t h a n i n t h e first c a s e , i.e. a s if i t w e r e a b o u t 0.95 % i n s t e a d of 9.5 % .
It p r o v e d difficult to f o l l o w t h e c h a n g e i n h e i g h t of t h e i n i t i a l w a v e . H o w e v e r , t h e m a x i m u m r i s e or fall i n w a t e r level for a 20 m m w a v e p r o c e e d i n g i n w a t e r of a b o u t 300 m m (for t h e p o s i t i v e w a v e s ) o r 340 m m (for t h e n e g a t i v e w a v e s ) i n i t i a l d e p t h a t s e c t i o n A did n o t exceed 2 a, i.e., 40 m m , b y m o r e t h a n 10 % over 85 % ( p o s i t i v e ) a n d 60 % ( n e g a t i v e ) of t h e t r a v e l b a s e d
o n t h e i n i t i a l l e n g t h of t h e w a t e r s u r f a c e over t h e s l o p i n g b o t t o m , i.e. 85 % of 3.15 m a n d 60 % of 3.60 m r e s p e c t i v e l y . T h e s e figures a p p l y to t h e s m o o t h flume; w i t h a r t i f i c i a l r u g o s i t y , t h e m a x i m u m difference i n level w a s r o u g h l y 10 % s m a l l e r , so t h a t a 40 m m level d i f f e r e n c e w a s a c t u a l l y n o t a t t a i n e d o v e r t h e d i s t a n c e s s t a t e d . T h e m a x i m u m difference i n level c o u l d n o t be d i r e c t l y m e a s u r e d a t t h e t o p e n d of t h e f l u m e , w h e r e b r e a k i n g of t h e w a v e f r o n t o c c u r r e d (even l o c a l l y w i t h n e g a t i v e w a v e s , d u r i n g t h e reflec
t i o n ) , a n d t h e e l e c t r i c a l p r o b e c o u l d n o t be m a i n t a i n e d c o n t i n u o u s l y u n d e r w a t e r . H o w e v e r , for p o s i t i v e w a v e s a n d t h e s t e e p s l o p e , t h i s c o u l d be e s t i m a t e d a t a b o u t 55 m m a b o v e t h e i n i t i a l level (i.e. f r o m . 35 % t o 4 0 % i n c r e a s e o v e r 2 a = 40 m m ) a n d a t a b o u t 55 m m u n d e r t h e i n i t i a l level for n e g a t i v e w a v e s : for t h e e x p e r i m e n t s w i t h artificial r o u g h n e s s , figures of a b o u t 25 % t o 30 % i n c r e a s e c o u l d be e x p e c t e d , so t h a t o n c e a g a i n a t e n - f o l d i n c r e a s e i n s l o p e w i t h o u t c h a n g e i n r o u g h n e s s ' w o u l d be e q u i v a l e n t t o a b o u t
a 10 % r e d u c t i o n i n t h e e x c e s s a m p l i t u d e p e r c e n t a g e s .
T h e r e c o r d i n g s d i d n o t p e r m i t of a n a c c u r a t e s t u d y of t h e c h a n g e i n s l o p e of t h e w a v e f r o n t . T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t r e f l e c t i o n f r o m a s m o o t h , s l o p i n g b o t t o m m a y be m o r e u n f a v o u r a b l e t h a n t h a t o c c u r r i n g f r o m a v e r t i c a l w a l l ( e q n . 28) i n t h e c a s e of s t e e n s l o p e s , b u t s h o w s t h a t t h e t r o u b l e is localized n e a r t h e o r i g i n a l s h o r e l i n e . F o r flatter c a n a l s (1 % s l o p e o r l e s s ) , a d o u b l i n g of t h e w a v e a m p l i t u d e w i l l b e e x c e e d ed m a r k e d l y , if a t all, o n l y i n q u i t e s h a l l o w d e p t h s .
C O N C L U S I O N
T h e p r i n c i p a l c o n c l u s i o n is t h a t , a s f a r a s b a r g e s a r e c o n c e r n e d , t h e m a i n difficulties a r i s i n g f r o m t h e p r o p a g a t i o n of t r a n s l a t i o n w a v e s i n s h a l l o w d e p t h w a t e r a r e l i k e l y t o b e c o n n e c t e d w i t h t h e i n e v i t a b l e s t e e p e n i n g u p a n d b r e a k i n g
(of p o s i t i v e w a v e s ) ; see P a r t 1 of t h e a r t i c l e . T h e r i s e a n d fall i n w a t e r level w i l l r a r e l y be m a r k e d l y d i f f e r e n t i n p r a c t i c e f r o m t h a t o c c u r r i n g w i t h r e f l e c t i o n f r o m a v e r t i c a l w a l l ,
a s d i s c u s s e d i n P a r t 2 ; t h i s a s s e r t i o n is b a s e d on t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s g i v e n i n P a r t 3 .
T h e a r t i c l e b y J . J . STOKER o n t h e " F o r m a tion of B r e a k e r s a n d B o r e s ", i n Communications on Applied Mathematics, vol. 1, N'° 1, 1948, m a y be r e f e r r e d t o b y t h e r e a d e r w i s h i n g t o i n t e r r e l a t e t h e s u b j e c t t r e a t e d h e r e w i t h o t h e r p h a s e s of F l u i d M e c h a n i c s .
