L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Recueil d’exercices d’alg` ebre lin´ eaire
Exercice 1 (puissances d’une matrice, binˆome de Newton)
SoitN =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
etA=
−1 1 0
0 −1 1
0 0 −1
.
1. CalculerNn pour toutn∈N. 2. CalculerAn pour toutn∈N∗.
Exercice 2 (matrice solution d’une ´equation polynomiale, inversibilit´e et inverse)
Soitn∈N∗. SoitA∈ Mn(R) telle que :
A3+A2−3A+In= 0.
Montrer queAest inversible et exprimerA−1 en fonction deA.
Exercice 3 (dimension d’un sous-espace vectoriel de R3) SoitF un sous-espace vectoriel de R3.
1. Que dire de la dimension deF? 2. Que dire deF si dim(F) = 3 ?
Exercice 4 (propri´et´e fondamentale des sous-espaces vectoriels engendr´es)
SoitEunR-espace vectoriel. SoitF un sous-espace vectoriel de dimension 2. Soitu1 etu2deux vecteurs deE tels que :
u1∈F ; u2∈F ; la famille (u1, u2) est libre.
Montrer que la famille (u1, u2) est une base deF.
Exercice 5 (sous-espaces vectoriels et somme directe)
SoientF etGles sous-ensembles deR3d´efinis par :
F=
a
1 2
−1
+b
0 3 1
: a, b∈R
et G=
x y z
∈R3 : x=y=−z
.
1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR3. En donner une base.
2. Montrer queGest un sous-espace vectoriel deR3. En donner une base.
3. Montrer queF⊕G=R3.
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Exercice 6 (noyau et image d’une application lin´eaire, th´eor`eme du rang)
SoitA=
1 1 0 3 1 4 1 0 2
.Soitϕl’endomorphisme de R3canoniquement associ´e `aA.
1. D´eterminer une base de Ker(ϕ).
2. En d´eduire le rang deϕ.
3. D´eterminer une base de Im(ϕ).
Exercice 7 (il n’existe pas d’application lin´eaire injective deR3 dans R2, th´eor`eme du rang) D´emontrer qu’il n’existe pas d’application lin´eaire injective deR3dansR2. On pourra raisonner par l’absurde.
Exercice 8 (rang d’une application lin´eaire, rang d’une matrice, th´eor`eme du rang) Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:R3→R5;
x y z
7→
x+y x−z y+z 2x+y−z 3x+y−2z
.
1. Justifier queϕest lin´eaire.
2. Calculer le rang deϕ.
3. En d´eduire queϕn’est pas injective.
Exercice 9 (interpolation polynomiale, polynˆomes de Lagrange, th´eor`eme du rang) Soientx1, x2, x3, x4 quatre nombres r´eels deux `a deux distincts. Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:R3[X]→R4; P 7→
P(x1) P(x2) P(x3) P(x4)
.
1. Montrer queϕest lin´eaire.
2. Montrer queϕest injective.
3. En d´eduire que pour touty1, y2, y3, y4∈R, il existe un unique polynˆomeP de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 tel que :
P(x1) =y1 ; P(x2) =y2 ; P(x3) =y3 ; P(x4) =y4. 4. (a) D´eterminer l’unique polynˆomeL1∈R3[X] tel que :
L1(x1) = 1 ; L1(x2) = 0 ; L1(x3) = 0 ; L1(x4) = 0.
(b) D´eterminer l’unique polynˆomeL2∈R3[X] tel que :
L2(x1) = 0 ; L2(x2) = 1 ; L2(x3) = 0 ; L2(x4) = 0.
(c) D´eterminer l’unique polynˆomeL3∈R3[X] tel que :
L3(x1) = 0 ; L3(x2) = 0 ; L3(x3) = 1 ; L3(x4) = 0.
(d) D´eterminer l’unique polynˆomeL4∈R3[X] tel que :
L4(x1) = 0 ; L4(x2) = 0 ; L4(x3) = 0 ; L4(x4) = 1.
5. Exprimer le polynˆomeP de la question 3 `a l’aide des polynˆomes L1,L2,L3,L4.
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Exercice 10 (´el´ements propres, diagonalisation, th´eor`eme de changement de base) Soita∈Ret soitb∈R∗. On consid`ere la matriceM =
a b b a
. 1. D´eterminer les valeurs propres deM.
2. La matriceM est-elle diagonalisable ?
3. D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres deM. 4. D´eterminer une matriceP ∈ M2(R) inversible telle que :
M =P
a−b 0 0 a+b
P−1.
Exercice 11 (´el´ements propres, trigonalisation, th´eor`eme de changement de base)
SoitA=
1 1 0
1 0 −1
0 1 1
.
1. D´eterminer les valeurs propres deA.
2. (a) D´emontrer queu1=
1 0 1
est un vecteur propre deA.
(b) D´eterminer l’unique vecteuru2∈R3de troisi`eme composante nulle tel que : Au2=u1+u2.
(c) D´emontrer queu3=
1
−1 1
est un vecteur propre deA.
3. D´eterminer une matriceP ∈ M3(R) inversible telle que :
P−1AP =
1 1 0 0 1 0 0 0 0
.
Exercice 12 (vrai ou faux)
1. SoitE un espace vectoriel. Soitu∈E. L’assertion suivante est-elle vraie ? la famille `a un vecteur (u) est libre ⇐⇒ u6= 0E
2. SoitAune matrice carr´ee `a coefficients r´eels. L’´equivalence suivante est-elle vraie ? Aposs`ede une colonne nulle ⇐⇒ Anon inversible
3. Soit ϕ un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimension finie. A-t-on en g´en´eral l’assertion sui- vante ?
Ker(ϕ)⊕Im(ϕ) =E
4. Soitϕun endomorphisme d’un espace vectorielE. L’´equivalence suivante est-elle vraie ? 0 valeur propre de ϕ ⇐⇒ Ker(ϕ)6={0E}
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