G244. Les puces de mon vieux PC
Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui sont toutes hors d'usage. Je dispose d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore lesquelles.
L'ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon état. Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la précaution d'éteindre l'ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes. Avec mes réminiscences d'analyse combinatoire, je sais qu'il y a C(16,4) = 1820 façons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulement C(8,4) = 70 façons d'en prendre quatre qui sont en bon état. Dans le cas le plus défavorable ma réparation peut donc durer fort longtemps. Je vous demande de m'aider à réduire la durée maximale D de la réparation. Déterminer la plus petite valeur possible de D.
Proposition de solution de Jérôme de Pierard:
1. On répartit les 16 puces numérotées sur un tableau de 4 x 4 :
Chaque ligne du tableau peut avoir la structure suivante où les "cellules grises" désignent les puces défectueuses :
4
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
0
On apparie chaque couple de type AB ou CD avec un autre couple de type AB ou CD :
(1,2)+(3,4) puis ((1,2)+(5,6) puis (1,2)+(7,8) puis (1,2) + (9,10) puis (1,2) + (11,12) puis (1,2) + (13,14) puis (1,2) + (15,16) puis (3,4)+(5,6) puis (3,4) + (7,8) et ainsi de suite jusqu'à (13,14) + (15,16).
A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Comme il y a 8 couples de l'un ou l'autre de ce type, cela donne (8x7)/2 combinaisons possibles, soit 28 essais.
Si aucune des 4 lignes ABCD ne fonctionne, cela signifie que aucune ligne ne comporte aucune puce défectueuse et que la structure du tableau est donc de type (4;2;1;1) , (3;3;1;1) , (3;2;2;1) ou (2;2;2;2) où chaque chiffre désigne le nombre de puces défectueuses dans chaque ligne du tableau (du plus au moins élevé sans prendre en considération l'ordre des lignes).
Si les 28 premiers essais n'on rien donné, cela signifie que le tableau n'est pas de type (4;3;2;1) ou (3;3;1;1).
Il est alors :
- soit de type (3;2;2;1) avec les 2 lignes comportant deux puces défectueuses de l'une ou l'autre des structures suivantes :
2
2
2
2
- soit de type (2;2;2;2) avec au moins 3 lignes comportant deux puces défectueuses de l'une ou l'autre des structures suivantes :
2
2
2
2
2. On permute entre elles les colonnes B et C du tableau :
Cette opération a pour effet de transformer
les configurations en
Les lignes ayant 3 cellules en état de fonctionnement sont invariantes en ce qu'elles restent des lignes "gagnantes" après permutation.
Comme lors de la première série d'essais, on essaie deux à deux et entre eux en les appariant tous les couples AC et BD sauf les quadruplets (1;3;2;4); (5;7;6;8); (9;11;10;12) et (13;15;14;16) déjà testés lors de cette première série.
[28 essais – 4 essais = 24 essais]
A C B D 1 3 2 4 5 7 6 8 9 11 10 12 13 15 14 16
2
2
2
2
Si aucun des essais n'est concluant cela signifie que le tableau initial avant permutation est :
- soit de type (3;2;2;1) avec les 2 lignes comportant deux puces défectueuses toutes deux de l'une des structures suivantes :
2
2
- soit de type (2;2;2;2) avec au moins 2 des 4 lignes comportant deux puces défectueuses de l'une des structures suivantes :
2
2
3. On remet le tableau dans sa configuration initiale ABCD puis on place la colonne A à gauche de la colonne D pour obtenir un tableau BCDA :
B C D A 2 3 4 1 6 7 8 5 10 11 12 9 14 15 16 13
Cette opération a pour effet de transformer
les configurations en
Ici encore, la ligne ayant 3 cellules en état de fonctionnement est invariante en ce qu'elle reste une ligne "gagnante" après permutation.
Comme lors des deux séries d'essais précédentes, on essaie deux à deux et entre eux en les appariant tous les couples BC et DA sauf encore les quadruplets (4;1;2;3); (8;5;6;7);
(12;9;10;11) et (16;13;14;15) déjà testé lors de la première série d'essais.
[28 essais – 4 essais = 24 essais]
Avec ces 28 + 24 + 24 = 76 essais qui prendront 2 h 32 , on obtient forcément une configuration qui fonctionne.
2
2
2
2
