11100011X Puce perd

E452. Qui se répète perd ****

Diophante fixe un entier naturel n ≥ 2. Zig et Puce partent d'une ligne vide, le premier joueur écrit "0" ou "1" puis chacun à son tour ajoute "0" ou "1" à la fin de la séquence de "0" et de "1" précédemment écrite. Un joueur perd si le chiffre qu'il ajoute fait apparaître un bloc de n chiffres consécutifs qui se répète pour la deuxième fois. Les deux blocs qui se répètent peuvent se chevaucher

Par exemple:

- pour n = 3, à partir de la séquence 0011100 le second joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 3 chiffres "001"

se répète dans la séquence 00111001.

- pour n = 5, à partir de la séquence 101010 le premier joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 5 chiffres

"10101" se répète dans la séquence 1010101.

Q1 Démontrer que quel que soit n ≥ 2, la partie se termine toujours en un nombre fini de tours.

Q2 n = 3 et Puce commence la partie. Qui est vainqueur?

Q3 n = 4 et Zig commence la partie. Qui est vainqueur?

Q4 n = 5 et Zig commence la partie. Qui est vainqueur?

Pour les plus courageux: peut-on déterminer qui a une stratégie gagnante en fonction de n ?

PROPOSITION Thérèse Eveilleau

Q1

Pour un bloc de longueur n, nous avons 2ⁿ possibilités, puisque chaque coup peut prendre 2 valeurs.

Aussi le bloc suivant sera forcément l’un des blocs rencontrés, d’après le principe des tiroirs de Dirichlet :

«

si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette ».

Le jeu se termine au plus tard au coup n°

.

n=3

Le jeu sera terminé au plus tard au jeu n° 2³ +3 = 11.

Il suffit d’étudier la moitié des cas puisque les chiffres 0 et 1 ont un rôle symétrique.

Je note le jeu de Puce en vert, celui de Zig en rouge.

Les coups notés en gras sont forcés pour ne pas perdre.

Donc pour modifier un jeu (backtracking), je recule à partir du dernier chiffre qui n’est pas noté en gras et qui n’a pas encore été testé.

Le chiffre souligné est celui à partir duquel je modifie le test précédent.

Une croix signifie qu’on perd quel que soit le jeu.

Les lignes marquées de *** sont de longueur maximale.

11100011X Puce perd qu’il joue 0 ou 1.

1110001011X Puce perd.

111001011 X Zig perd.

1110011X Zig perd.

111011X Puce perd.

111010011X Zig perd.

1110100011 X Puce perd.***

110111X Puce perd.

110100111X Zig perd.

1101000111X Zig perd.***

1100111X Zig perd.

110010111X Zig perd.

11000111X Puce perd.

1100010111X Puce perd.***

10 voir tableau suivant 

101110010X Zig perd

1011100010X Puce perd.***

10110010 X Puce perd.

101100010X Zig perd...

101001110X Zig perd.

10100110X Puce perd.

1010001110X Puce perd.***

101000110X Zig perd...

100111010X Zig perd.

10011010X Puce perd.

100101110X Puce perd.

10010110 X Puce perd.

1000111010X Puce perd. ***

100011010X Zig perd.

1000101110X Puce perd.***

100010110 X Zig perd.

Nous retrouverions le même nombre de solutions en échangeant chaque chiffre 1

0 .

Les trois solutions gagnantes marquées du signe , pour Puce qui joue le premier , sont telles que Zig joue à chaque coup, systématiquement le

: la

.

Dans tous les jeux où Zig perd, il n’utilise pas cette stratégie.

Elles permettent de gagner au 6

coup.

Jeux où Zig est sûr de gagner s’il joue en second.

10100110X

10011010X

10010110 X

01011001X

01100101X

01101001 X

ET

Zig est vainqueur en jouant le deuxième et en utilisant cette stratégie pour n=3.

Cela ne donne que six solutions gagnantes.

Q3

n=4

Le jeu se termine au plus tard au tour n° 20 = 2

+4.

Comme ci-dessus, on se contente d’analyser les jeux commençant par 1.

Les autres seront symétriques.

Comme Zig commence cette fois, on inverse les rôles de Puce et Zig.

Un petit programme

récursif permet de dénombrer 740 jeux possibles avec n=4 ; Dans ces jeux, ceux qui sont de longueur

sont des jeux où

.

ceux de longueur impaire sont ceux où Zig gagne.

Nous avons 368 jeux gagnants pour Zig ET 372 gagnants pour Puce.

Donc quasiment autant de chances de gagner pour l’un que pour l’autre.

Lorsque Zig utilise la stratégie proposée pour n=4, il ne gagne pas forcément .

Voici l’unique cas gagnant pour Zig qui puisse apparaître afin que Zig utilise la stratégie et joue le premier :

10110100101X et Puce perd, Zig gagne.

L’autre cas est celui commençant par 0 en échangeant les chiffres 0 et 1. On aura la même conclusion.

Dans la suite, je ne travaille que sur les séquences commençant par 1.

On aura les mêmes possibilités en démarrant par 0.

Le nombre de résultats sera donc doublé.

Exemples de jeux gagnants pour Zig, Zig joue le premier : Zig gagne en 9 parties : 4 possibilités.

101011101 , 1 0 111 0 1 0 1 , 111001111 , 111100111

Zig gagne en 11 parties : 16 possibilités.

10001001100, 10001100100, 10010001100, 10011000100, 10100101101, 10110100101, 11001101110, 11001110110, 11011001110, 11011100110, 11100001111, 11100101111, 11101001111, 11110000111, 11110010111, 11110100111

Zig gagne en 13 parties : 48 possibilités.

1000010011100, 1000011100100, 1000100111100,1000101001100, 1000110010100, 1000111100100, 1001000011100, 1001000111100, 1001010001100, 1001100010100,1001110000100, 1001111000100, 1010000101101, 1010001011101, 1010010111101, 1010110011101, 1010111001101, 1011001110101, 1011010000101, 1011100110101, 1011101000101, 1011110100101, 1100001101110, 1100001110110, 1100011011110, 1100011110110, 1100110101110, 1100111010110, 1101011001110, 1101011100110, 1101100001110, 1101100011110, 1101110000110, 1101111000110, 1110000101111, 1110001001111, 1110001101111, 1110010001111, 1110100001111, 1110100101111, 1110110001111, 1111000010111, 1111000100111, 1111000110111, 1111001000111, 1111010000111, 1111010010111, 1111011000111 Zig gagne en 15 parties : 52 possibilités.

100001010011100, 100001110010100,100010011011100, 100010011101100, 100010100111100,

100011011100100, 100011101100100, 100011110010100, 100100011011100, 100100011101100,

100101000011100, 100101000111100, 100110111000100, 100111000010100, 100111011000100,

100111100010100, 101000010111101, 101011000011101, 101011000111101, 101011100001101,

101011110001101, 101100001110101, 101100011110101, 101110000110101, 101111000110101,

101111010000101, 110000110101110, 110000111010110, 110001001101110, 110001001110110,

110001101011110, 110001111010110, 110010001101110, 110010001110110, 110101100001110,

110101100011110, 110101110000110, 110101111000110, 110110001001110, 110110010001110,

110111000100110, 110111001000110, 111000101001111, 111000110101111, 111001010001111,

111010000101111, 111010110001111, 111100010100111, 111100011010111, 111100101000111,

111101000010111, 111101011000111

Zig gagne en 17 parties : 120 possibilités.

10000100110111100,10000100111101100,10000110111100100,10000111101100100,10001001101011100,10001001110 101100,10001010011011100,10001010011101100,10001011001110100,10001011010011100,10001011100110100,10001 011101001100,10001100101110100,10001101001011100,10001101011100100,10001101110010100,1000111001011010 0,10001110100101100,10001110101100100,10001110110010100,10010000110111100,10010000111101100,1001000110 1011100,10010001110101100,10010100011011100,10010100011101100,10010110001110100,10010110100011100,1001 0111000110100,10010111010001100,10011000101110100,10011010001011100,10011010111000100,100110111000101 00,10011011110000100,10011100010110100,10011101000101100,10011101011000100,10011101100010100,100111101 10000100,10100010110011101,10100010111001101,10100011001011101,10100011011100101,10100011100101101,101 00011101100101,10100101100011101,10100101110001101,10100110001011101,10100110111000101,10100111000101 101,10100111011000101,10101100010011101,10101100100011101,10101110001001101,10101110010001101,10110001 001110101,10110001010011101,10110001110100101,10110010001110101,10110010100011101,10110011101000101,10 110100011100101,10110100111000101,10111000100110101,10111000101001101,10111000110100101,1011100100011 0101,10111001010001101,10111001101000101,10111010001100101,10111010011000101,11000010011011110,1100001 0011110110,11000100110101110,11000100111010110,11000101001101110,11000101001110110,11000101101001110,1 1000101110100110,11000110100101110,11000111010010110,11001000011011110,11001000011110110,110010001101 01110,11001000111010110,11001010001101110,11001010001110110,11001011010001110,11001011101000110,110011 01000101110,11001110100010110,11010001011001110,11010001011100110,11010001100101110,11010001110010110, 11010010110001110,11010010111000110,11010011000101110,11010011100010110,11010110001001110,11010110010 001110,11010111000100110,11010111001000110,11011000010011110,11011000101001110,11011001000011110,11011 001010001110,11011100010100110,11011100101000110,11011110000100110,11011110010000110,1110000100110111 1,11100100001101111,11101100001001111,11101100100001111,11110000100110111,11110010000110111,1111011000 0100111,11110110010000111

Zig gagne en 19 parties : 128 possibilités.

1000010011010111100,1000010011110101100,1000010100110111100,1000010100111101100,1000010110011110100,10000101101001 11100,1000010111100110100,1000010111101001100,1000011001011110100,1000011010010111100,1000011010111100100,10000110 11110010100,1000011110010110100,1000011110100101100,1000011110101100100,1000011110110010100,1001000011010111100,10 01000011110101100,1001010000110111100,1001010000111101100,1001011000011110100,1001011010000111100,1001011110000110 100,1001011110100001100,1001100001011110100,1001101000010111100,1001101011110000100,1001101111000010100,1001111000 010110100,1001111010000101100,1001111010110000100,1001111011000010100,1010000101100111101,1010000101111001101,1010 000110010111101,1010000110111100101,1010000111100101101,1010000111101100101,1010010110000111101,101001011110000110 1,1010011000010111101,1010011011110000101,1010011110000101101,1010011110110000101,1010110000100111101,101011001000 0111101,1010111100001001101,1010111100100001101,1011000010011110101,1011000010100111101,1011000011110100101,101100 1000011110101,1011001010000111101,1011001111010000101,1011010000111100101,1011010011110000101,1011110000100110101, 1011110000101001101,1011110000110100101,1011110010000110101,1011110010100001101,1011110011010000101,10111101000011 00101,1011110100110000101,1100001001101011110,1100001001111010110,1100001010011011110,1100001010011110110,11000010 11010011110,1100001011110100110,1100001101001011110,1100001111010010110,1100100001101011110,1100100001111010110,11 00101000011011110,1100101000011110110,1100101101000011110,1100101111010000110,1100110100001011110,1100111101000010 110,1101000010110011110,1101000010111100110,1101000011001011110,1101000011110010110,1101001011000011110,1101001011 110000110,1101001100001011110,1101001111000010110,1101011000010011110,1101011001000011110,1101011110000100110,1101 011110010000110,1101100001010011110,1101100101000011110,1101111000010100110,1101111001010000110,111000010011010111 1,1110000101001101111,1110000101101001111,1110000110100101111,1110010000110101111,1110010100001101111,111001011010 0001111,1110011010000101111,1110100001011001111,1110100001100101111,1110100101100001111,1110100110000101111,111010 1100001001111,1110101100100001111,1110110000101001111,1110110010100001111,1111000010011010111,1111000010100110111, 1111000010110100111,1111000011010010111,1111001000011010111,1111001010000110111,1111001011010000111,11110011010000 10111,1111010000101100111,1111010000110010111,1111010010110000111,1111010011000010111,1111010110000100111,11110101 10010000111,1111011000010100111,1111011001010000111

Q4

n=5

Le jeu se termine au plus tard au tour n° 37 = 2

+ 5.

Il y a 31 4 348 jeux possibles dont 156 794 gagnants pour Zig.

Donc comme précédemment quasiment autant de chances de gagner pour l’un comme pour l’autre.

Il y a 157 554 jeux gagnants pour Puce.

Dans la liste des gagnants de Puce, nous avons 23 jeux de la forme où Puce joue le contraire de Zig au tour précédent. (Zig en rougeet Puce en vert) :

101010011010 , 101010011001011010 , 10101001011010 , 101010010110011010 ,

101001101010 , 101001100101101010 , 101001100101011010 , 10100101101010 , 101001011001101010, 10100101011010,101001010110011010, 100110101001011001,

1001101001011001, 100110100101011001, 100110010110101001, 1001100101101001, 100110010101101001, 100101101010011001, 1001011010011001, 100101100110101001, 1001011001101001, 100101011010011001, 100101011001101001

Dans la liste des gagnants de Zig, nous ne retrouvons aucun jeu où Puce

Bien sûr, il existe d’autres cas où Puce peut gagner mais si veut être sûr de gagner, utiliser cette stratégie qui marche quel que soit le jeu du premier joueur.

Ceci permet de conclure que la stratégie est gagnante pour le deuxième joueur, pour n=5.

Tout comme nous l’avions obtenu pour n=3.

Pour n=7, nous avons les mêmes conclusions.

Cette stratégie fonctionne certainement pour tout nombre n, impair.

(*) Voici le programme de recherche des listes possibles des jeux

////////////////////////////////////////////////////

function correcte(ch,n) {

var tabR:Array=new Array();

tabR=[];

var ch=String(ch);

for (var i=0; i<=ch.length-n; i++) { var Ln=ch.substr(i,n);

if (tabR.indexOf(Ln)==-1) { tabR.push(Ln);

} else {return false;

} }

return true;

}

////////////////////////////////////////////////////

//Recherche des listes possibles var compte=0;

function cherche(ch,n) { var ch1=ch+'1';

var ch2=ch+'0';

var ok1=correcte(ch1,n);

var ok2=correcte(ch2,n);

if (ok1) {

cherche(ch1,n);

}

if (ok2) {cherche(ch2,n);

}

if ((! ok1) &&(!ok2)) { tabL.push(ch);

compte=compte+1;

return true;

} }

//

function demarre(n) {

var tabL:Array=new Array();

tabL=[];

var compte=0;

//On cherche les listes commençant par 1 cherche('1',n);

//trace(tabL);

trace(compte);

return(tabL) ; }

demarre(4);

////////////////////////////////////////////////////