A la récréation, le maître d'école invite le petit Nicolas et ses camarades ‒ sauf Eudes qui est toujours en retard ‒ à former un grand cercle et il leur annonce la distribution d'un paquet de chocolats selon les règles suivantes : il donne un chocolat au petit Nicolas puis en se déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, il saute un enfant et donne un chocolat au suivant, puis il saute deux enfants et donne un chocolat au suivant, puis il saute trois enfants et donne un chocolat au suivant... Après avoir effectué plusieurs tours de cercle, le maître donne le dernier chocolat au petit Nicolas qui au total en a reçu quatre comme certains de ses camarades. D'autres enfants en ont reçu deux et tous les autres n'ont rien reçu.
Eudes arrive enfin et s'intercale entre deux de ses camarades le long du grand cercle. Avec un deuxième paquet de chocolats de même contenance que le premier, le maître effectue une nouvelle distribution selon les mêmes règles en partant cette fois-ci d'Eudes qui reçoit le premier chocolat.
Lorsque le paquet est vide, tous les enfants sauf un, ont reçu soit un chocolat soit deux chocolats.
Déterminer le nombre d'enfants dans la classe du petit Nicolas et le nombre de chocolats contenus dans chaque paquet
Soit n le nombre d’enfants, numérotés de 0 à n-1 ; le kième chocolat sera attribué à l’enfant de rang m(k)=(k-1)(k+2)/2 (modulo n), soit 0, 2, 5, 9, 14, ... (mod n). On a m(2n-k-2)=m(k) (mod n) pour 0≤k≤n-2, m(2n-1)=m(2n)=-1 (mod n) et si p premier impair divise n, m(p-k-2)=m(k) (mod p) pour 0≤k≤p-2 et m(p-1)=m(p)=-1 (mod p) : si n a un facteur premier impair p, ne seront servis au plus que (p+1)/2 enfants (mod p).
Tous les enfants sauf un ne peuvent être servis, lors de la seconde distribution, que si n est une puissance de 2, en arrêtant la distribution avant de servir le dernier., c’est à dire entre n et 2n-2 chocolats.
Si n=4, n-1=3, et Nicolas reçoit au plus 2 chocolats : impossible
n=8, n-1=7 : à la première distribution, Nicolas reçoit les chocolats n° 1, 5, 8 et 12.
Les autres reçoivent 4, 2 ou 0.
n=16, n-1=15 (non premier) : si Nicolas reçoit les chocolats 1, 13, 16 et 28, un de ses camarades en reçoit 6 (5, 9, 14, 15, 20, 24) : impossible.
n=32, n-1 =31: Nicolas reçoit les chocolats 1, 30, 32 et 60. Les autres en reçoivent 4, 2 ou 0.
n=64, n-1=63 (non premier) : Nicolas reçoit les chocolats 1, 18, 21, 40 qui est inférieur à n : impossible,
n=128, n-1=127 : Nicolas reçoit les chocolats 1, 125, 128 et 252. Les autres en reçoivent 4, 2 ou 0.
etc...
En résumé n=8, 32, 128 conviennent (et sans doute toutes les puissances de 2 telles que n-1 soit premier) ; la vraisemblance du nombre d’élèves par classe (surtout à l’époque du petit Nicolas) conduit à choisir n=32.
