E651. Les distributions de chocolats
A la récréation, le maître d'école invite le petit Nicolas et ses camarades ‒ sauf Eudes qui est toujours en retard ‒ à former un grand cercle et il leur annonce la distribution d'un paquet de chocolats selon les règles suivantes : il donne un chocolat au petit Nicolas puis en se
déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, il saute un enfant et donne un chocolat au suivant, puis il saute deux enfants et donne un chocolat au suivant, puis il saute trois enfants et donne un chocolat au suivant... Après avoir effectué plusieurs tours de cercle, le maître donne le dernier chocolat au petit Nicolas qui au total en a reçu quatre comme certains de ses
camarades. D'autres enfants en ont reçu deux et tous les autres n'ont rien reçu.
Eudes arrive enfin et s'intercale entre deux de ses camarades le long du grand cercle. Avec un deuxième paquet de chocolats de même contenance que le premier, le maître effectue une nouvelle distribution selon les mêmes règles en partant cette fois-ci d'Eudes qui reçoit le premier chocolat. Lorsque le paquet est vide, tous les enfants sauf un ont reçu soit un chocolat soit deux chocolats.
Déterminer le nombre d'enfants dans la classe du petit Nicolas et le nombre de chocolats contenus dans chaque paquet
Solution de Paul Voyer
Si on numérote les élèves de 1 (Nicolas) à y-1, puis 0, les chocolats sont distribués aux élèves N° 1, 3, 6, 10, etc… soit k(k+1)/2 modulo y-1 plus 1.
Dans le liste des k(k+1)/2, on doit trouver quatre fois 1, quatre fois autre chose, deux fois autre chose et jamais rien d'autre.
La liste s'arrête au quatrième "1".
Un tableau EXCEL donne les k(k+1)/2 modulo m.
Dans la seconde distribution, les numéros sont k(k+1)/2 modulo y plus 1.
Cette fois, c'est Eudes qui porte le numéro 1.
Dans la liste, on doit trouver une fois certains numéros, deux fois certains autres, et un numéro absent, celui de l'élève n'ayant rien reçu.
La liste s'arrête au niveau du quatrième "1" de la colonne y-1.
Le nombre x de chocolats est donc compris entre y-1 et 2y-1.
On trouve y = 32 élèves et x = 60 chocolats .
Le tableau suivant donne le numéro des élèves recevant les chocolats successifs.
distribution 1 distribution 2 1 Nicolas 1 Eudes
3 3
6 6
10 10
15 15
21 21
28 28
5 4
14 13
24 23
4 2
16 14
29 27
12 9
27 24
12 8
29 25
16 11
4 30
24 18
14 7
5 29
28 20
21 12
15 5
10 31
6 26
3 22
1 19
0 (31) 17
0 (31) 16
1 16
3 17
6 19
10 22
15 26
21 31
28 5
5 12
14 20
24 29
4 7
16 18
29 30
12 11
27 25
12 8
29 24
16 9
4 27
24 14
14 2
5 23
28 13
21 4
15 28
10 21
6 15
3 10
1 6
Distribution 1 : Les élèves 1,3,4,5,6,10,12,14,15,16,21,24,28,29 reçoivent chacun 4 chocolats soit 56
Les élèves 0 et 27 reçoivent chacun 2 chocolats soit 4 Les autres ne reçoivent rien.
Total 56+4 = 60 chocolats
Distribution 2 : Eudes et l'élève 3 reçoivent chacun 1 chocolat soit 2
Les autres élèves sauf l'élève 32 reçoivent chacun 2 chocolats soit 58
L'élève 32 ne reçoit rien.
Total 58+2 = 60 chocolats
