E656. Les PGCD donnent la clé
Etant donné que 2·3·5·7<2011<2·3·5·7·11,il est raisonnable de chercher N62011 modulo 2·3·5·7·11.
Comme {N, . . . , N+x−1} forme un système complet de résidus modulo x, nous déterminons N modulo x en au plus x−1 questions gcd (x, N+y) où y = 0. . . x−2. Si l’une des réponses est x, inutile de continuer, c’est ga- gné. Dans le pire des cas, toutes les réponses valent 1, et nous déduisons que gcd (x, N +x−1) =xou encoreN ≡1 (modx).
La question gcd (p·q, N) où gcd (p, q) = 1 etp·q 62011 synthétise les deux questions gcd (p, N) et gcd (q, N).En généralisant cette économie, voici un en- semble de 11 questions permettant de déterminerN modulo 2·3·5·7·11.
– gcd (2, N)
– gcd (3·5·7·11, N) – gcd (3·5·7·11, N+ 1) – gcd (5·7·11, N+ 2) – gcd (5·7·11, N+ 3) – gcd (7·11, N+ 4) – gcd (7·11, N+ 5) – gcd (11, N+ 6) – gcd (11, N+ 7) – gcd (11, N+ 8) – gcd (11, N+ 9)
Application avecN = 1999 :
– gcd (2, N) = 1,d’oùN ≡1 (mod 2) – gcd (3·5·7·11, N) = 1
– gcd (3·5·7·11, N+ 1) = 5,d’oùN ≡4 (mod 5) etN ≡1 (mod 3) A ce stade, nous savons queN ≡19 (mod 2·3·5)
– gcd (5·7·11, N+ 2) = 1
– gcd (5·7·11, N+ 3) = 7·11,d’où N≡74 (mod 7·11) Nous en déduisons alorsN≡1999 (mod 2·3·5·7·11).
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