E656 : Les PGCD donnent la clé
Zig choisit un entier naturel N ≤ 2011. Pour le trouver, Puce choisit deux entiers positifs x et y
≤ 2011 et pose des questions de la forme : quel est le PGCD des entiers x et N + y ? Zig lui répond par un entier z. Trouver les questions qui permettent à Puce de trouver N en moins de douze questions.
Application numérique : pour N = 1999,donner la séquence des couples (x,y) choisis par Puce.
Nous avons 210=1024 et 211=2048, donc 210<2011<211 : écrit en base 2, le nombre N a donc au plus onze chiffres. a10a9...a1a0, les ai étant égaux à 0 ou 1.
Si x=1024, y=0 (ou 1024 si y doit être strictement positif) , z=2i, si i est le premier rang pour lequel ai=1 ; si i=10, z=1024 et alors N=1024.
Sinon, on recommence avec x=1024 et y=2i, pour obtenir un exposant j>i ; si j<10, on continue avec x=1024 y=2i+2j, etc... Au bout de dix étapes au maximum, on obtiendra un nombre divisible par 1024, c’est à dire 1024 ou 2048, puisque l’on a ajouté au maximum 1+2+...+29=1023; un test simple, par exemple ajouter 1 et demander le PGCD avec 5, permet de lever l’indétermination finale.
PGCD(1024, 1999)=PGCD(1024,3023)=1 : a0=1.
PGCD(1024, 2000)=16=24 (N+1 est divisible par 16 et pas par 32): a1=a2=a3=1, a4=0 PGCD(1024, 2016)=32=25 (N+17 est divisible par 32 et pas par 64): a5=1
PGCD(1024, 2048)=1024=210 (N+49 est divisible par 1024): a6=a7=a8=a9=1.
PGCD(5, N+50)=1 donc N+49=2048.
