Les PGCD donnent la clé
Problème E656 de Diophante
Zig choisit un entier naturel N ≤ 2011. Pour le trouver, Puce choisit deux
entiers positifs x et y ≤ 2011 et pose des questions de la forme : quel est le PGCD des entiers x et N + y ? Zig lui répond par un entier z.
Trouver les questions qui permettent à Puce de trouver N en moins de douze questions.
Application numérique : pour N = 1999, donner la séquence des couples (x, y) choisis par Puce.
Solution
Commençons par l’application pour montrer ensuite ce qu’il y a de général.
Ci-dessous apparaissent : le rang Q de la question ; les valeurs x et y proposées par Puce ; la valeur N + y (en italique) calculée par Zig mais inconnue de Puce ; la réponse z de Zig et les valeurs u, v, w des trois premiers termes de la progression arithmétique, dans laquelle Puce sait y trouver N
Q x y y+N z u v w
0 1 2
1 2 2 2001 1 1 3 5
2 4 3 2002 2 3 7 11
3 8 5 2004 4 7 15 23
4 16 9 2008 8 15 31 47
5 32 17 2016 32 15 47 79
6 64 49 2048 64 15 79 143
7 128 113 2112 64 79 207 335
8 256 177 2176 128 207 463 719
9 512 305 2304 256 463 975 1487
10 1024 561 2560 512 975 1999
11 1999 1999 3998 1999 1999
Ainsi, à la première question : quel est le PGCD des entiers 2 et N+1 ? la réponse est 2. Puce en conclut que N est impair et qu’il appartient à la progression arithmétique 1, 3, 5, …
Puis, à la deuxième question : quel est le PGCD des entiers 4 et N+3 ? la réponse est 2. Puce en conclut que N vaut 3 modulo 4 et qu’il appartient à la progression arithmétique 3, 7, 11, …
Enfin, à l’issue de la dixième réponse, on hésite entre 975 et 1999. Puce ne peut pas choisir 2048 pour x, alors il choisit le plus grand des deux pour x et pour y et conclut que N = 1999.
Cette méthode est générale et procède par dichotomie.
On sépare, à chaque étape, par la question posée, dans l’espace des possibles en progression arithmétique les objets de rang pair des objets de rang impair, pour opter pour une des deux nouvelles progressions obtenues, de raison double.
Les valeurs de x sont les puissances successives de 2. A l’étape q, la valeur de y est la différence entre 2q et le premier terme u de la progression des possibles.
L’algorithme peut être programmé en Excel, sans grande difficulté.
Remarque
Il doit être possible d’élaborer un questionnaire plus performant, en posant comme première question ; quel est le PGCD des entiers 210 et N+0 ? D’emblée l’ensemble des possibles (hormis 0) est alors partagé en 16 parts de cardinalités respectives : 460 ; 459 ; 230 ; 230 ; 115 ; 115 ; 57 : 58 ; 77 ; 77 ; 38 ; 38 ; 19 ; 19 ; 10 ; 9, selon la présence ou l’absence des facteurs 2, 3, 5, 7.
En effet, la part la plus copieuse est celle des entiers premiers avec 230 (essentiellement des nombres premiers mais d’autres aussi), qui tous valent 1 ou 5 modulo 6. Cette part peut vraisemblablement être traitée par dichotomie en 9 questions …
Je ne suis pas allé plus loin !
