G10169. Le banquet
Une table de banquet est pr´epar´ee avec une ´etiquette au nom de chacun des nconvives (ayant tous des noms diff´erents).
Une panne d’´electricit´e survient, les convives arrivent dans le noir et s’as- soient au hasard.
La lumi`ere revenue, le doyen de l’assembl´ee proteste aupr`es du restaurateur, cause du non-respect du plan de table, et n´egocie un tarif r´eduit pour ceux des convives qui ne sont pas `a la place marqu´ee pour eux.
Quelle est l’esp´erance math´ematique du nombre de convives payant plein tarif ?
Solution
Il y a en moyenne un convive qui paie plein tarif.
En effet, le convive no1 a en moyenne (quel que soit le rang de son arriv´ee, et quel que soit le choix de sa place parmi les places rest´ees libres) une chance sur n de tomber `a sa place, car aucune place n’est privil´egi´ee. Sa contribution `a l’esp´erance math´ematique du nombre des convives payant plein tarif est 1/n. Les autres convives donnent lieu au mˆeme raisonnement.
Enfin, l’esp´erance totale est la somme desnesp´erances individuelles (mˆeme si les ´ev´enements ne sont pas ind´ependants).
N.B. Bien sˆur, on peut faire des calculs plus compliqu´es pour arriver `a ce r´esultat.
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