Enonc´e noG118 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note pn la probabilit´e, si n convives s’installent au hasard `a une table
`
a n places, qu’aucun des convives ne soit `a la place qui lui est d´evolue. Le nombre des configurations satisfaisant cette condition estn!pn.
Le convive no1 est donc `a la placei(ipouvant ˆetre choisi den−1 fa¸cons).
Il y a alors deux possibilit´es :
– soit le convive noi est `a la place 1. Le nombre des configurations corres- pondantes, `a i donn´e, est (n−2)!pn−2, les places 1 et i ´etant neutralis´ees ainsi que les convives correspondants.
– soit le convive noi est `a une autre place que la place 1. Le nombre des configurations correspondantes, `aidonn´e, est (n−1)!pn−1, car tout se passe comme si le convive no1 et la placein’existaient pas, le convive noipouvant ˆetre renum´erot´e no1 sans que la condition de l’´enonc´e cesse d’ˆetre satisfaite.
Commeipeut ˆetre choisi den−1 fa¸cons, on obtient la relation n!pn= (n−1) ((n−2)!pn−2+ (n−1)!pn−1) qui donne n!(pn−pn−1) =−(n−1)!(pn−1−pn−2),
puisn!(−1)n(pn−pn−1) =. . .= 2!(p2−p1).
On a ´evidemment 2!p2 = 1 (une seule configuration, celle o`u les deux convives ont ´echang´e leurs places),p1 = 0, d’o`upn−pn−1 = (−1)n/n!.
Finalement
p13=p1+
13
X
n=2
(pn−pn−1) =
13
X
n=2
(−1)n n!
p13= 63633137
172972800 = 0,367 879 441 160 691 160 691. . . , valeur peu diff´erente (diff´erence d’environ un cent-milliardi`eme) de 1/e= 0,367 879 441 171 144 232. . ..
On peut aussi rapprocher les d´eveloppements en fractions “`a ´etages”, dont les termes sont
pourp13 : 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 14, 1, 31, 2, 3.
pour 1/e: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, . . .
Pour la seconde question (co¨ıncidence simultan´ee pour 2 convives au moins quand la table tourne), la probabilit´e (conditionnelle : on suppose qu’il n’y a au d´epart co¨ıncidence pour aucun convive) est 1.
En effet, si le convive noi va `a la place ai, par hypoth`ese ai 6= i et les quantit´es (ai−i) mod 13 sont 13 entiers pris entre 1 et 12 car aucun n’est nul. Par le principe des tiroirs il y a au moins deux indices i et j tels que ai −i =aj −j (mod 13), et les convives correspondants ont co¨ıncidence en mˆeme temps.
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