Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale.
Mêmes questions quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier puis par un octaèdre régulier.
Dans un repère orthonormé, une droite passant par l’origine peut être définie grâce à deux angles, a et b, comme l’intersection des plans orthogonaux d’équations xsina-ycosa=0 et (xcosa+ysina)sinb-zcosb=0.
Le carré de la distance d’un point de l’espace de coordonnées (x, y, z) à la droite est la somme des carrés des distances aux deux plans soit
d2(x,y,z)=(xsina-ycosa)2 +(xcosasinb+ysinasinb-zcosb)2 d2(x,y,z)=x2(sin2a+cos2asin2b)+y2(cos2a+sin2asin2b)+z2cos2b +2xy sinacosa(sin2b-1)-2xz cosa sinb cosb-2yz sina sinb cosb.
Les huit points de coordonnées (±1,±1,±1) sont les sommets d’un cube : en faisant la somme des carrés des distances, les termes rectangles yz, zx, xy s’éliminent deux à deux, et ∑x2=∑y2=∑z2=8, donc
∑d2=8* (sin2a+cos2asin2b+cos2a+sin2asin2b+cos2b)=16.
La somme des carrés des distances des sommets du cube est la même quelle que soit la position de la droite.
Quatre sommets non adjacents d’un cube, par exemple ici les points de coordonnées (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), forment un tétraèdre
régulier ; pour cet ensemble de 4 points les sommes des termes rectangles sont nulles, et ∑x2=∑y2=∑z2=4, ∑d2=8. Ici encore, la somme des carrés des distances du sommet du tétraèdre, ne dépend pas de la position de la droite.
Les centres des faces d’un cube, par exemple ici les points (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1), (0,0,-1), forment un octaèdre régulier : pour ces points, tous les termes rectangles sont nuls, et ∑x2=∑y2=∑z2=2, ∑d2=4 ; à nouveau, la somme des carrés des distances, ne dépend pas de la position de la droite.
Si φ désigne le nombre d’or, les 20 points de coordonnés (0,±1/φ,±φ), (±1/φ,
±φ,0), (±φ,0,±1/φ)(±1,±1,±1) forment un dodécaèdre régulier. Ici encore, à cause des alternances de signe, les sommes des termes rectangles sont nulles, et
∑x2=∑y2=∑z2=4(2+φ2+1/φ2)=4(2+φ2+(φ-1)2)=4(3+2φ2-2φ) =20, ∑d2=40.
Enfin, les 12 points de coordonnées (±1,±φ,0), (±φ,0,±1), (0,±1,±φ) forment un icosaèdre régulier. Ici encore, les sommes des termes rectangles sont nulles, tandis que ∑x2=∑y2=∑z2=4(1+φ2)=4(2+φ ), ∑d2=8(2+φ).
La somme des carrés des distances des sommets à une droite passant le centre reste constante pour tous les polyèdres réguliers (solides de Platon).
