Modélisation d’un Moteur à Courant Continu (MCC) - Corrigé Q.1.

Modélisation d’un Moteur à Courant Continu (MCC) - Corrigé

Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) + dt

) t ( i .d

L → U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p) e(t) = Ke.ωm(t) → E(p) = ke.Ωm(p)

dt ) t ( .d

J ω^m = Cm(t) – Cr(t) – f.ωm(t) → J.p Ωm(p) = Cm(p) – Cr(p) – f. Ωm(p) Cm(t) = Kt.i(t) → Cm(p) = kt.I(p)

Q.2.

U(p) + -

-

+ Ωm(p)

Cr(p)

f p . J

1 + Ke

Kt

Cm(p) I(p)

E(p)

p . L R

1 + ε(p)

Modélisation d’une enceinte chauffante - Corrigé

Q.1. q(t)=k0.α(t) → Q(p)=k0.α(p) )

t ( q . dt k

) t ( .d ) t

( ₁ ¹ ₁

1 +τ θ =

θ → θ1^(p).

(

¹+τ1^.p

)

=^k1^.Q(p)

) t ( . dt k

) t ( .d ) t

( +τ₂ θ = ₂ θ₁

θ → θ^(p).

(

¹+τ2^.p

)

=^k2^.θ1^(p)

Q.2.

Q.3.

α(p) Q(p)

k0

p . 1

k

1 1

τ +

θ1(p)

p . 1

k

2 2

τ +

θ(p)

+ -

ε(p) Uc(p)

Transducteur

T(p)

Correcteur

Kc

Capteur

Kmes

Umes(p)

Um(p)

Moteur

α(p) Q(p)

k_{0 1} ^k _.p

1 1

τ +

θ1(p)

p . 1

k

2 2

τ +

θ(p) )

p . 1 .(

p K

τ + θc(p)

Q.4. On a Umes(p)=Kmes.θ(p) et Uc(p) = T(p).θc(p) d’où :

ε(p)=Uc(p) – Umes(p) = T(p).θc(p) – Kmes.θ(p) = 0 → si θc(p) = θ(p) alors T(p) = Kmes = 0,02 V.°C^-1.

Etude du système de régulation du niveau d’eau d’un bassin du système RAMSES - Corrigé

Q.1. Q.2. et Q.3.ω_m(t)= dt

) t ( dθ_m

avec ω_m(t) vitesse angulaire de l’arbre en sortie de moteur en rad/s et θ_m(t) position angulaire en sortie de moteur en rad.

Relation temporelle Relation dans le domaine

de Laplace Schéma-bloc correspondant

Moteur :

) t ( u . K ) t dt (

) t (

.dω^m +ω_m = _{m m}

τ

L

) p ( U . K ) p ( ) p ( . p

. Ω_m +Ω_m = _{m m} τ

Um(p) Ωm(p)

p . 1

K_m τ +

Réducteur : θ_v(t)=r.θ_m(t)

L

) p ( . r ) p

( _m

v = θ

θ ^r

θ_v(p) θm(p)

Vanne : q_e(t)=K_v.θ_v(t)

L

) p ( . K ) p (

Q_e = _vθ_v

θv(p) Q_e(p)

Kv

Réservoir : dt

) t ( h .d S ) t ( q ) t (

q_e − _s =

L

) p ( H . p . S ) p ( Q ) p (

Q_e − _s = ^{Qe(p) -}

+

QS(p)

p . S

1 H(p)

Limnimètre : u_mes(t)=a.h(t)

L

) p ( H . a ) p (

U_mes = ^a

U_mes(p) H(p)

Régulateur comparateur : ) t ( u ) t ( u ) t

( = _c − _mes ε

) t ( . K ) t (

u_m = _c ε

L

) p ( U ) p ( U ) p

( = _c − _mes ε

L

) p ( . K ) p (

U_m = _c ε

+ -

ε(p) Uc(p)

Kc

Umes(p)

Um(p)

Potentiomètre : ) t ( h . K ) t (

u_c = _{a c}

L

) p ( H . K ) p (

U_c = _{a c}

U_c(p) K_a

H_c(p)

Relation entre ω_m(t) et )

t

m( θ :

= ω_m(t)

dt ) t (

dθ_m

L

=

Ω_m(p) p.θ_m(p)

Ωm(p) p

1 θm(p)

Q.4. La variable d’entrée de l’asservissement est la hauteur de consigne hc(t) et la variable de sortie est la hauteur d’eau dans le reservoir h(t).

Q.5.

+ - ε(p) Uc(p)

Potentiomètre

Ka

Correcteur

K_c

Um(p)

Moteur

Ωm(p) p

1 r

θv(p)

Qe(p) p

. 1

K_m τ + Hc(p)

θm(p)

Réducteur Vanne

K_v -

+ QS(p)

Reservoir

p . S

1 ^H(p)

Q.6. Lorsque h(t) = hc(t) on veut ε(t) = 0.

Au niveau du sommateur on a : ε(p) = Uc(p) - Umes(p) = 0 soit ε(p) = Ka.Hc(p) - a.H(p) = 0 pour H(p) = Hc(p).

→ Ka = a.

Correction de tilt d’une optique adaptative - Corrigé

Q.1. .C(t)

k 1 dt

) t ( .d k

J dt

) t ( .d T ) t

( ₂

2

θ = θ +

+

θ → .C(p)

k ) 1 p ( . p k. ) J p ( . p . T ) p

( + θ + ² θ =

θ )

t ( s K .

1 dt

) t ( e .d T ) t (

e ₅

5 5 5

5 + = → .S (p)

K ) 1 p ( E . p . T ) p (

E ₅

5 5 5

5 + =

dt ) t ( e .d dt T

) t ( .d T ) t ( .

K_{1 1 1} ¹ = ₁ ²



 



ε + ε → ^K1^.

(

ε1^(p)+^T1^.p.ε1^(p)

)

=^T1^.p.E2^(p)

+ -

+ -

ε1(p) E₂(p)

S5(p) ε2(p)

E₅(p)

θ(p)

E1(p) I(p) C(p)







 +1

p . T . 1 K

1 1

(

^{1 T.p}

)

. K₅ + ₅

K2 K3

K₄ p2

. J p . T . k k

1 + +

Q.2.

+ -

+ -

ε₁(p) E₂(p)

S₅(p) ε₂(p)

E5(p)

θ(p)

E₁(p) I(p) C(p)







 +1

p . T . 1 K

1 1

(

^{1 T.p}

)

. K₅ + ₅

K₂ K3

K4

p2

. J p . T . k k

1 + +

Déplacement du point de prélèvement On déplace le point de prélèvement pour obtenir le schéma-bloc.

+ -

+ - S5(p)

θ(p)

HA(p) HB(p)

H_C(p) HD(p)

E₁(p)

Boucle 1

On a donc :

HA(p) 







 +

= 1

p . T . 1 K

1

1

HB(p) ^{2 3} ₂

p . J p . T . k k

K . K

+

= +

HC(p)=^K4^.K5^.

(

¹+^T5^.p

)

HD(p)=K₄

Modélisation en SLCI de l'asservissement en position de la tuyère de la fusée VEGA - Corrigé

Q.1. Schéma bloc.

+ -

+ -

) p

m( Ω

r ) p

r(

Ω V(p)

π . 2 pas

) p ( X

p 1

) p θ(

L 1 )

p ( C_m

f p . J 1

+ Im(p)

Rm

1

) p ( E_m

K i

K e

K p

K a

) p

cons(

θ N_cons(p)

) p ( U_mes U_m(p)

ε(p)

Kpot

Schéma bloc moteur

KCAN

) p ( N_mes

Q.2. Il y a une seule boucle d’asservissement. Le système est asservi en position grâce à l’information prélevée par le potentiomètre.

Q.3. Il faut Ka = KCAN.Kpot ici pour avoir ε(p) = 0 lorsque θ(p) = θcons(p).

Q.4.

Angle tuyère (°)

θcons(t)

θ(t)

Temps (s) Erreur sta2que nulle → Critère précision validé

Réponse du système est bornée → Critère stabilité validé D1 = 0,85° > 10% de 5,5° → Critère dépassement non validé

t5%= 0,145-0,1 = 0,045 s < 0,05 s → Critère rapidité validé

0 0,05 0,1

1

0 2 3 4 5 6

0,15 0,2 0,25 0,3

Calcul de transformées de Laplace - Corrigé

Par définition :

L

(f(t)) = F(p) ⁼

∫

₀^{∞ f(t).e-pt.dt}

f(t) = e^-at.u(t) :

L

_(e^-at_.u(t)) ⁼

∫

₀^{∞ e-at.u(t).e-pt.dt =}

∫

₀^{∞ e-(p+a)t.u(t).dt=}_^− ₊ ^{+ }_^∞

0 a)t (p

.e-

a p

1

a p

1

= + f(t) = cos(ωt).u(t) : Rappel : On a e^jωt= cos(ωt) + j.sin(ωt) et e^-jωt= cos(ωt) – j.sin(ωt) soit : cos(ωt) = e^jωt+e^-jωt et sin(ωt) = e^jωt−e^-jωt et en exploitant le résultat de

L

_(e^-at_.u(t))

On a :

L

(cos(ωt).u(t))=

L

₍

2 e e^jωt+ ^-jωt

.u(t)) =

2 1

L

_(e^jωt_{.u(t)) +}

2 1

L

_(e^-jωt_.u(t))

L

(cos(ωt).u(t)) 



 





ω + + ω

= −

j p

1 j

p . 1 2

1 = _{2 2}

p p

ω + f(t) = sin(ωt).u(t) :

L

(sin(ωt).u(t)) =

L

₍

j 2

e e^jωt− ^-jωt

.u(t)) = j 2

1

L

_(e^jωt_{.u(t)) –}

j 2

1

L

_(e^-jωt_.u(t))



 





ω

− + ω

= −

j p

1 j p . 1 j 2

1 = _{2 2}

p +ω ω

Par la définition la tache est plus ardue :

On pose x(t) = sin(ωt).u(t) → X(p)

⁼ ∫

0^∞ sin(ωt).u(t).e^-pt.dt

On calcule cette intégrale par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e^-pt et v = sin(ωt) )

X(p) =  +

 ω

−ω ^{− ∞}

0

e pt

. t cos 1.

∫

^∞

−ω

0

p cos(ωt).u(t).e^-pt.dt

L’intégrale restante peut aussi se calculer par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e^-pt et v = cos(ωt) ) X(p) =

ω 1

−ωp ₋ ^∞



 ω

ω 0

e pt

. t sin 1.

∫

^∞

ω

−ω

0

.p

p sin(ωt).u(t).e^-pt.dt

X(p) = ω

1 p .

2 2

−ω X(p) → p ) 1

( ₂

2

+ω .X(p) = ω

1 → ₂

2

p2

ω ω

+ .X(p) = ω

1 → X(p) = _{2 2} p +ω

ω

Bref, il vaut mieux bien connaître son tableau de transformées de Laplace ^^ …

f(t) = e^-at.sin(ωt).u(t) :

L

_(e^-at.sin(ωt).u(t)) =

(

^p+a

)

^ω2+ω2 →On utilise le Thm de l’amortissement :

L (

^e-at.f(t)

)

^=F(p+a)

f(t) = e^-at.cos(ωt).u(t) :

L

_(e^-at.cos(ωt).u(t)) =

(

^p+pa

)

^+2a+ω2 →On utilise le Thm de l’amortissement :

L (

^e-at.f(t)

)

^=F(p+a)

Calcul de transformées inverses - Corrigé

(

^{p aK}

)(

^{.p b}

)

) p (

F₁ ¹

+

= + → On décompose en éléments simples :

(

^{p aK}

)(

^{.p b}

) (

^{p a}

) (

^{p b}

)

) p (

F₁ ¹

+ + β +

= α +

= + Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a :

(

^−aK1+b

)

^=α

Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b :

(

−b+a

)

^=β

K₁

(

^{bK a}

) (

^{. p1a}

) (

^aKb

) (

^{. p1b}

)

) p (

F₁ ^{1 1}

+ + −

+

= − →

(

¹

)

^at

(

¹

)

^bt

1 .e

b a e K a . b ) K t (

f ^{− −}

+ −

= −

(

^{1 .p}

)

. p ) K p (

F₂ ²

τ

= + → On décompose en éléments simples :

(

^{1 .p}

)

^p

(

^{1 .p}

)

. p ) K p (

F₂ ²

τ + + β

=α τ

= + Calcul de α : On multiplie par (p) et p→ 0 : K2=α

Calcul de β : On mulTplie par (1 + τ.p) et p→

−1τ

: F₂(p)=−K₂.τ=β

( )

_



 



 +

τ

− τ =

+

− τ

=

1 p K p K p . 1

. K p ) K p (

F₂ ^{2 2 2 2} → = − ^−τ

t 2 2 2(t) K K .e f

(

^{p aK}

)(

^{..pp b}

)

) p (

F₃ ³

+

= + → On décompose en éléments simples :

(

^{p aK}

)(

^{..pp b}

) (

^{p a}

) (

^{p b}

)

) p (

F₃ ³

+ + β +

= α +

= + Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a :

(

− +

)

^=α

− b a

a . K₃

Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b :

(

− +

)

^=β

− a b

b . K₃

(

^aK.ab

) (

^{. p1a}

) (

^bK.ba

) (

^{. p1b}

)

) p (

F₃ ^{3 3}

+ + −

+

= − →

(

³

)

^at

(

³

)

^bt

3 .e

a b

b . e K

b . a

a . ) K t (

f ^{− −}

+ −

= −

(

^{p 1K}

) (

^{..pp 1}

)

) p (

F ₂

2 4

4 = − + → On décompose en éléments simples :

(

^{p 1K}

) (

^{..pp 1}

) (

^{p 1}

) (

^{p 1}

) (

^{p 1}

)

) p (

F _{2 2}

2 4

4 +

+ γ

− + β

−

= α +

= − Calcul de α : On multiplie par (p – 1)² et p→ 1 :

(

p+1

)

^=α

p . K₄ ²

→ =α

2 K₄

Calcul de γ : On multiplie par (p + 1) et p→ –1 :

(

−

)

^{2 =γ}

2 4

1 p

p .

K → =γ

4 K₄

Calcul de β : On prend une valeur particulière pour p car on connait α et γ, on choisit ici par exemple p=0. → γ

+ β

− α

=

0 →β=α+γ → .K₄

4

=3 β

(

^p11

)

^{3.4K .}

(

^p11

)

^{K4 .}

(

^p11

)

2 . ) K p (

F₄ ⁴ ₂ ^{4 4}

+ + + −

= − → ₄ ^{4 t 4 t 4}.e ^t

4 e K 4 .

K . e 3 . t 2 . ) K t (

f = + + ⁻

) 1 p ).(

1 p (

1 p ) 3

p (

F_{5 2}

+

−

= + → On décompose en éléments simples :

1 p

p . 1 p ) 1 p ).(

1 p (

1 p ) 3

p (

F_{5 2 2}

+ γ + +β

−

= α +

−

= + Calcul de α : On multiplie par (p – 1) et p→ 1 : =α

+ + 1 p

1 p 3

2 → 2=α

Calcul de β et γ: On identifie : 3p+1=α.p²+α+β.p²+γ.p−β.p−γ

→ α+β=0soit β=−2 et γ−β=3 soit γ=1 1 p

1 1 p

p . 2 1 p

2 1 p

1 p . 2 1 p ) 2 p (

F_{5 2 2 2}

+ + + + −

= − +

+ +−

= − → f₅(t)=2.e^t−2.cos(t)+sin(t)

Calcul de transformées inverses - Corrigé

) p . 1 ( p ) K p ( S₁

τ

= + → décomposiTon en éléments simples :

p . 1

K p K p 1

B p ) A p ( S₁

τ +

− τ τ = + +

=

→ On applique la transformée de Laplace inverse : s (t) K 1 e .u(t)

t

1 









 −

= ^{− τ}

) p . 1 .(

p K . ) a p (

S_{2 2}

τ

= + → décomposiTon en éléments simples :

p . 1

. K . a p

. K . a p

K . a p . 1

C p B p ) A p ( S

2 2

2 2

τ + + τ

− τ τ =

+ + +

=

→ On applique la transformée de Laplace inverse : s (t) a.K. t .e .u(t)

t

2 









 −τ+τ

= ^{− τ}

( )( )

2

. 0

. K ) 1 p (

S = ω → décomposiTon en éléments simples : S (p)=α+ β + δ avec

2

. 0

Kω

=

α ;

(

1 2

)

1 2 0

p p . p

. K

−

= ω

β ;

(

2 1

)

2 2 0

p p . p

. K

−

= ω

δ

→ On applique la transformée de Laplace inverse : ^s3(t)=

(

^{α+β.ep1t+δ.ep2t}

)

^.u(t)

(

0

)

²

2 0

4 p

. . K p ) 1 p (

S +ω

= ω → décomposiTon en éléments simples :

(

0

)

²

0

4(p) p p p

S +ω

+ δ ω + + β

=α avec :α=K ;

−K

=

β ; δ=−K.ω₀

→ On applique la transformée de Laplace inverse : ^s4(t)=K

(

^{1−e−ω0.t−ω0.t.e−ω0.t}

)

^.u(t)

Application du Thm du retard pour la modélisation de signaux - Corrigé

t f(t)

4

2

0 t

Echelon 4.u(t) 4

0

= +

t Rampe -2.t.u(t) 2

0

+

t 4

2 0

Rampe 2.t.u(t) retardée de 2s

f1(t) f2(t) f3(t)

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) → F(p) = F1(p) + F2(p) + F3(p) = _{2 2}.e ^2p p

2 p

2 p

4− + ₋

t g(t)

4

2 0

G(p) = F(p) + F(p).e^−3p+ F(p).e^−6p+…. Soit G(p) = F(p). _3p e 1

1

− − avec F(p)= _{2 2}.e ^2p p

2 p

2 p

4− + ₋

On fait une approximation linéaire en utilisant un développement limité d'ordre 1, ce qui permet d’écrire : 1 + e^−3p+ e^−6p+…. = _3p

e 1

1

− −

G(p) = F(p) + F(p).e^−3p+ F(p).e^−6p+…. Soit G(p) = F(p). _3p e 1

1

− − avec F(p)= _{2 2}.e ^2p p

2 p

2 p

4 ₋

+

−

On peut résoudre le problème en remarquant que l’on a une suite géométrique de raison r=e^−3p : Sn =

r 1

r ).1 p ( F

1 n

−

− ⁺

soit quand n→∞ : Sn→∞ = _3p e 1 ). 1 p (

F ₋

−

t h(t)

1

T

0 3T 4T

H(p) = _{2 2} ^Tp ₂ ^3Tp ₂.e ^4Tp p . T e 1 p . . T e 1 p . . T

1 p . T

1 − ₋ − ₋ + ₋

H(p) = _T.¹_p^2.

(

^{1−e−Tp−e−3Tp+e−4Tp}

)