S´EANCE 4 : ESPACES COMPLETS, ESPACES COMPACTS

(1)

COMPACTS

4.1. Espaces complets

Soit (M, d) un espace métrique. On dit qu’une suite (xn)n>0dansMest une suite de Cauchy si la condition suivante est vérifiée :

8">0, 9N2N, 8n, m>N, d(x_n, x_m)<".

En d’autre terme, (xn)n>0est une suite de Cauchy si et seulement si

N!lim+1 sup

n,m>N

d(xn, xm) = 0.

On dit que (M, d) est un espace complet si toute suite de Cauchy dansMest convergente.

Lemme 4.1. — Soit(xn)n>0une suite de Cauchy dans un espace métrique. Si une sous-suite de(xn)n>0converge vers un point x, alors il en est de même de(xn)n>0. Démonstration. — Soit (x_n_i)_i_>₀ une sous-suite de (x_n)_n_>₀ qui converge versx, où (n_i)_i_>₀est une suite strictement croissante d’indices. Comme (x_n)_n_>₀est une suite de Cauchy, on a lim_k!+1d(x_k, x_n_k) = 0. Donc la suite (x_n)_n_>₀converge versx.

Convention. — Dans ce cours, on convient que l’espace R des nombres r´eels est complet. On en d´eduit facilement que l’espace Rⁿ muni de sa norme canonique est un espace complet (Exercice).

4.2. Espaces compacts

Soient (M, d) un espace m´etrique et F un sous-ensemble de M. On dit qu’une famille de sous-ensembles ouverts (Ui)i2I de M est un recouvrement ouvert deF si S

i2IUi F. Si (Ui)i2I est un recouvrement ouvert deF et siJ est un sous-ensemble de I tel que S

i2JUi F, on dit que (Uj)j2J est un sous-recouvrement de (Ui)i2I. Si de plusJ est un ensemble fini, on dit que (Uj)j2J est un sous-recouvrement fini de

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18 S ´EANCE 4 : ESPACES COMPLETS, ESPACES COMPACTS

(Ui)i2I. On dit que le sous-ensemble F estcompact si tout recouvrement ouvert de F admet un sous-recouvrement fini.

Proposition 4.2. — Soit ' : M ! M⁰ une application continue d’espaces m´etriques. Si F est un sous-ensemble compact de M, alors l’image de F est un sous-ensemble compact deM⁰.

Démonstration. — Soit (Vi)i2I un recouvrement ouvert de'(F). Comme'est continue, (' ¹(Vi))i2Iest un recouvrement ouvert deF, qui admet un sous-recouvrement fini (' ¹(Vj))j2J carF est compact, oùJ est une partie finie deI. L’ensemble'(F) est alors recouvert par (Vj)j2J. Par conséquent,'(F) est compact.

Soit (M, d) un espace m´etrique. On dit que (M, d) ests´equentiellement compact si toute suite dans (M, d) admet une sous-suite convergente.

Soient (M, d) un espace m´etrique etRun sous-ensemble deM. Soit">0. On dit queRest un"-r´eseau si (B(x;"))x2Rest un recouvrement ouvert deM.

Théorème 4.3. — Soit (M, d)un espace métrique. Les conditions suivantes sont

´equivalentes:

(1) M est compact,

(2) M est complet et pour tout">0,M admet un"-r´eseau fini.

(3) M est s´equentiellement compact.

D´emonstration. — (1))(3) : Soit (xn)n>0 une suite dansM. Si aucune sous-suite de (xn)n>0 ne converge pas, alorsS={xn|n2N}est un ensemble infini. En outre, pour toutx2M, il existe un ouvertUx contenantxtel queUx\S soit un ensemble fini. Les (Ux)x2M forment un recouvrement deM qui adment un sous-recouvrement fini. Cela montre queSest un ensemble fini, qui conduit `a une contradiction.

(3))(2) : Soit (xn)n>0une suite de Cauchy. Elle admet une sous-suite convergente, donc elle est convergente elle-même (d’après le lemme 4.1). Cela montre queM est complet. Soit">0. SiM n’admet pas de"-réseau fini, alors on peut construire par récurrence une suite (x_n)_n_>₀ tel quex_n 62S

06i<nB(x_i,"). En particulier, aucune des sous-suite de (x_n)_n_>₀n’est une suite de Cauchy, qui conduit `a une contradiction.

(2))(1) : Soit (U_i)_i2I un recouvrement ouvert deM. On suppose que (U_i)_i2I n’a pas de sous-recouvrement fini. Consid´erons une suite croissante de parties finies de M

R₀⇢R₁⇢· · ·

telle que Rn soit un 2 ⁿ-réseau deM. On peut construire par récurrénce une suite d’éléments (xn)n>0qui vérifie les propriétés suivantes :

(i) pour toutn>0, on axn2Rn,

(ii) pour toutn>1, on axn2B(xn 1,2² ⁿ),

(iii) la boule B(xn,1/2ⁿ) n’est pas recouvert par un nombre fini d’ouverts dans (Ui)i2I.

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La suite (xn)n>0est alors un suite de Cauchy qui converge vers un pointx2M (car M est complet). Il existe alors unUiqui contientx. Soit">0 tel queB(x;")⇢U et n> 0 un entier tel quexn 2B(x;"/2) et que 2 ⁿ < "/2. On aB(xn,1/2ⁿ)⇢

B(x,")⇢Ui, qui conduit `a une contradiction.

Corollaire 4.4. — Soient M un espace m´etrique et F une partie compacte deM. AlorsF est une partie ferm´ee.

D´emonstration. — Soit (xn)n>0une suite dansF qui converge vers un pointx2M.

C’est alors une suite de Cauchy dansF. CommeF est compact, il est complet. On en d´eduit alors quex2F.

Proposition 4.5. — Soient (M, d) un espace métrique et F une partie fermée de M. SiM est complet (resp. compact), alors il en est de même deF.

Démonstration. — (1) Soit (x_n)_n_>₀ une suite de Cauchy dansF. Elle est aussi une suite de Cauchy dans M. Comme M est complet, on obtient que (x_n)_n_>₀ est une suite convergente. En outre, comme F est fermé, la limite de (x_n)_n_>₀ appartient à F. DoncF est un espace complet.

(2) Soit (xn)n>0 une suite dans F. Comme M est séquentiellement compact, il existe une sous-suite de (xn)n>0 qui converge dans M. En outre, la limite de cette sous-suite est dansF carF est fermé. Par conséquent,F est séquentiellement compact, et donc est compact.

Exemple 4.6. — 1) SoientM un espace métrique, x2M et">0. On appelle la boule fermée centrée enx le sous-ensembleB(x;") :={y2M : d(y, x)6"} de M. Sizest un point dansM\B(x;"). On ad(z, x)>"et donc il existe un >0 tel qued(z, x)>"+ . On en déduit queB(z, )\B(x;") =?. Cela montre que

B(x;") est une partie ferm´ee deM. En outre, le cercleS(x;") :=B(x;")\B(x;")

est ´egalement une partie ferm´ee deM.

2) SoientM un espace métrique et C une partie compacte deM. Alors pour tout x2M la fonction (y2C)7!d(x, y) est bornée (on dit alors que la partieC est bornée). En e↵et, siC n’est pas borné, alors il existex2M et une suite (yn)n>0

dansC tels qued(x, yn) tend vers l’infini lorsquen! +1. La suite (yn)n>0 ne peux pas avoir de sous-suite convergente.

3) SoitI un intervalle ferm´e dansR. Il est une partie ferm´ee deR, donc est complet.

En outre, pour tout">0, il est facile de construire un "-réseau fini dansI. On obtient donc queIest une partie compacte. On en déduit que les parties compactes deI sont précisément les parties bornées et fermées.

4) Soitd>1 un entier. Soitk.k1 la norme surR^d telle que k(x1, . . . , xd)k1 = max(|x1|, . . . ,|xd|).

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Donc une suite (x⁽ⁿ⁾)n>0 converge vers x = (x1, . . . , xd) si et seulement si

n!lim+1x⁽ⁿ⁾_k = x_k pour tout k 2 {1, . . . , d}. En particulier, pour tout a > 0, la boule ferm´ee

B(0;a) :={x2R^d : kxk16a}=B(0, a)^d

est une partie compacte de (R^d,k.k1). On en déduit que toute partie fermée et bornée de (R^d,k.k1) est compacte.

Théorème 4.7. — Soitd>1un entier. Soientk.ketk.k⁰deux normes sur l’espace vectorielR^d. Il existe une constanteC >0telle queC ¹k.k6k.k⁰6Ck.k. En outre, tout sous-ensemble U de R^d est ouvert par rapport à k.k si et seulement s’il ouvert par rapport à k.k⁰.

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer quek.k⁰=k.k1. Soit (e_i)^d_i=1la base canonique deR^d. Pour tout ( ₁, . . . , _d)2R^d, on a

k 1e1+· · ·+ dedk6 Xd

i=1

| i| ·keik6k 1e1+· · ·+ dedk1

Xd

i=1

keik. Cela montre en outre que l’application linéaire Id : (R^d,k.k1)! (R^d,k.k) est continue. Comme le cercle unité fermée de (R^d,k.k1) est compacte, elle est une partie compacte de (R^d,k.k) (car elle est l’image d’une partie compacte par une application continue). Donc elle est une partie bornée dans (R^d,k.k). On en déduit donc

sup

y2R^d,kyk1=1kyk<+1.

La première assertion est donc démontrée. La deuxième assertion s’en déduit. On laisse les détails comme un exercice (fait au cours).

Le théorème précédent montre que toutes les normes sur un espace vectoriel E de rang fini sur R sont équivalentes. On peut alors parler les parties ou- vertes/fermées/compactes deE sans faire la référence à une norme surE. En outre, la continuité/di↵érentiabilité d’une application d’un ouvert U de E vers un espace vectoriel normé ne dépend pas du choix de la norme sur E. Cette propriété est particulièrement commode pour l’étude des fonctions définies sur un ouvert d’un espace vectoriel de dimension finie. Par exemple, on a le résultat suivant

Proposition 4.8. — Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E vers F est continue (et donc di↵érentiable).

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer queE=R^d et que la norme surE estk.k1. Soit (ei)^d_i=1la base canonique de R^d. Sif :E! F est une

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application linéaire et six= 1e1+· · ·+ rer est un élément deE, on a kf(x)k=

Xd i=1

if(e_i) 6 Xd i=1

| i| ·kf(e_i)k6✓Xd i=1

kf(e_i)k

◆ kxk1.

4.3. Application dans l’´etude des fonctions di↵´erentiables

SoientEun espace vectoriel de rang fini surR. On fix une base (ei)^d_i=1deE. Pour tout i 2{1, . . . , d}, on d´esigne pare^__i l’application lin´eaire de E versR qui envoie

1e1+· · ·+ deden i.

Théorème 4.9. — Soitf une fonction définie sur un ouvert non-videU deE. On suppose que, pour tout i2 {1, . . . , d}, la dérivée partielle@eif existe et définit une fonction continue surU. Alors la fonction f est de classe C¹ et on a

Df(·) = Xd

i=1

@eif(·)e^__i

Démonstration. — Sans perte de généralité, on suppose queEest muni de la norme k.ktelle quek 1e1+· · ·+ dedk:= max{| 1|, . . . ,| d|}. Soithun vecteur dansEde la forme 1e1+· · ·+ ded. Soitaun élément deU. On a

f(a+h) f(a) = Xd i=1

f(a+ ₁e₁+· · ·+ _ie_i) f(a+ ₁e₁+· · ·+ _i ₁e_i ₁).

D’après le théorème d’accroissement fini, il existe un nombre⇠i2]0,1[ tel que f(a+ ₁e₁+· · ·+ _ie_i) f(a+ ₁e₁+· · · i 1e_i ₁)

= i@ei(f)(a+ 1e1+· · ·+ i 1ei 1) = i @eif(a) +o(1) lorsquekhk !0. Par cons´equent, on a

f(a+h) f(a) = Xd i=1

i@_e_if(a) +o(khk), d’où le résultat souhaité.

Exemple 4.10. — Considérons la fonction f : R² ! R définie comme f(x, y) = x²+y². On a ^@f_@x = 2x et ^@f_@y = 2y. Ce sont des fonctions continues sur R². On en déduit donc que la fonctionf est de classeC¹surR²et que la di↵érentielle def est de la forme

Df(x, y) = 2xdx+ 2ydy,

où dxet dydésignent les applications linéaires deR²versRdéfinies par les projection en les deux coordonnées respectivement.

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Proposition 4.11. — SoientF un espace vectoriel normé et(fi)^d_i=1une famille de fonctions continues (resp. di↵érentiables, dérivable dans une directionh2F) définies sur un ouvert non-vide V deF, alors la fonctionf :V !Edéfinie comme

(x2V)7 !f1(x)e1+· · ·+fd(x)ed

est continue (resp. di↵´erentiable, d´erivable dans la directionh).

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer que la norme sur E satisfait à la relationk ¹e1+· · ·+ dedk= max(| ¹|, . . .| ^d|). On a alors

kf(x+h) f(x)k= max

16i6d|fi(x+h) fi(x)|.

Donc f est continue dès que les fi sont continues. De même, si les fi sont di↵érentiables, alors on a

f(x+h) f(x) Xd

i=1

Dfi(x)(h)ei = max

16i6d|fi(x+h) fi(x) Dfi(x)(h)|. Doncf est di↵´erentiable enxet on aDf(x) =Pd

i=1Dfi(x)ei. La démonstration du troisième énoncé est similaire, on la laisse comme un exercice.

Corollaire 4.12. — Soient F un espace vectoriel normé et (fi)^d_i=1 une famille de fonctions définies sur un ouvert non-vide V de F. Soit f : V ! E la fonction définie comme (x2V)7 !f1(x)e1+· · ·+fd(x)ed. Soit g une fonction définie sur un voisinage de f(x) est à valeur dans un autre espace vectoriel normé G. Si la fonction f est dérivable en x 2 V dans la direction de h 2F est si la fonction g est di↵érentiable enf(x), alors la fonction composéeg f est dérivable enx dans la direction deh. En outre, on a

@h(g f)(x) = Xd

i=1

@hfi(x)@eig(f(x)).

Démonstration. — Comme la fonction gest di↵érentiable enf(x), elle est continue enf(x). Donc la fonction composéeg f est bien définie dans un voisinage dex. En outre, pourt2Rdont la valeur absolue est suffisamment petite, on a

(g f)(x+th) g(f(x)) =g(f(x) + (f(x+th) f(x))) g(f(x))

=Dg(f(x))(f(x+th) f(x)) +o(kf(x+th) f(x)k) Commef est d´erivable enxdans la direction deh, on a

f(x+th) f(x) =t@hf(x) +o(|t|) = Xd

i=1

t@hfi(x)ei+o(|t|).

Par cons´equent, (g f)(x+th) g(f(x)) =tPd

i=1@hfi(x)@eig(f(x)) +o(|t|).