CHAPITRE 4 CATÉGORIE DÉRIVÉE

CHAPITRE 4

CATÉGORIE DÉRIVÉE

4.1. Catégories des complexes

Dans ce paragraphe, on fixe une catégorie abélienneA.

4.1.1. Complexe de cochaînes. — On appellecomplexe de cochaînes deAtout diagramme de la forme

(A, d) : · · · //A_n−1 ^dn−1//A_n ^dn //A_n+1 //· · ·

tel que dnd_n−1 = 0 pour tout n ∈ Z. Le morphisme dn : An → An+1 est appelé n^ième morphisme de cobord. S’il n’y pas d’ambiguïté sur la famille de morphismed= (d_n)_n∈Z, on utilise simplement l’expressionApour désigner le complexe de cochaînes (A, d).

Soient A et B deux complexes de cochaînes. On appelle morphisme deA vers B toute famille f = (f_n)_n∈Z de morphismes dans la catégorie A, où chaque f_n est un morphisme deAn versBn, telle que le diagramme suivant soit commutatif :

· · · //A_n−1

fn−1

dn−1//An fn

d_n //An+1 fn+1

//· · ·

· · · //B_n−1

d_n−1//B_n

d_n //B_n+1 //· · ·

Ainsi les complexes de cochaînes et leurs morphismes forment une catégorie que l’on note commeComA. C’est une catégorie abélienne.

4.1.2. Foncteur de décalage. — Soit(A, d)un complexe de cochaînes deA. Pour toutm∈Z, on désigne par(A[m], d[m])le complexe de cochaînes tel que

∀n∈Z, A[m]n =An−m, d[m]n= (−1)^mdn−m.

La correspondance (A, d) 7→ (A[m], d[m]) définit alors un foncteur de la catégorie Com_Avers elle-même que l’on note[m]. Par définition, on a[m][m⁰] = [m+m⁰]pour tout(m, m⁰)∈Z².

4.1.3. Foncteurs de cohomologie. — Soient (A, d) un complexe de cochaînes dansA. Pour toutn∈Z, soitHⁿ(A) = Ker(dn)/Im(d_n−1), appeléen^ièmecohomologie de A. Il s’avère que Hⁿ définit un foncteur de Com_A dans A. Par définition, on a Hⁿ[m] =H^n−mpour toutm∈Z.

4.1.4. Théorème. — Soit 0 //A //B //C //0 un suite exacte dans la catégorieCom_A. Alors on a une suite exacte longue

· · · //Hⁿ(A) //Hⁿ(B) //Hⁿ(C) //Hⁿ⁺¹(A) //· · ·

Démonstration. — Soitnun entier. On a un diagramme commutatif 0 //An //

d^A_n

Bn //

d^B_n

Cn //

d^C_n

0

0 //A_n+1 //B_n+1 //C_n+1 //0

dont les lignes sont exactes. D’après le théorème 3.4.5, on obtient un diagramme commutatif

0 //Ker(d^A_n) //

Ker(d^B_n) //

Ker(d^C_n)

0 //A_n //

d^A_n

B_n //

d^B_n

C_n //

d^C_n

0

0 //A_n+1 //

B_n+1 //

C_n+1 //

0

Coker(d^A_n) //Coker(d^B_n) //Coker(d^C_n) //0 ,

qui conduit à un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes : Coker(d^A_n−1) //

δ_n^A

Coker(d^B_n−1) //

δ_n^B

Coker(d^C_n−1) //

δ_n^C

0

0 //Ker(d^A_n+1) //Ker(d^B_n+1) //Ker(d^C_n+1)

Il s’avère queHⁿ(A)est le noyau deδ^A_n etHⁿ⁺¹(A)est le conoyau deδ^A_n. Encore par le théorèm 3.4.5 on obtient le résultat.

4.1. CATÉGORIES DES COMPLEXES 73

4.1.5. Homotopie. — Soient (A, d^A)et (B, d^B)deux complexes de cochaînes, et f, g deux morphismes deA versB. On appelle homotopie def versg toute famille s= (sn:An→B_n−1)_n∈Z de morphismes dansA, comme montré par le diagramme

· · · //A_n−1 ^d

A n−1//An

d^A_n

//

sn

||yyyyyyyy An+1 //

s_n+1

||yyyyyyyy · · ·

· · · //Bn−1 d^B_n−1

//Bn

d^B_n

//Bn+1 //· · ·

qui satisfait à la condition suivante :

∀n∈Z, fn−gn =sn+1d^A_n +d^B_n−1sn.

S’il existe une homotopie def versg, on dit quef et gsonthomotopes, notéf ∼g.

4.1.6. Proposition. — SoitA etB deux complexes de cochaînes dansA.

(1) La relation d’homotopie est une relation d’équivalence sur Com_A(A, B). En outre, l’ensemble quotient Com_A(A, B)/ ∼ peut être muni d’une structure de groupe quotient de Com_A(A, B).

(2) Soientf etgsont deux morphismes dansCom_A(A, B)qui sont homotopes. Pour tout morphisme h: B →C dans la catégorie Com_A, on a hf ∼hg; pour tout morphisme i:D→AdeA, on af i∼gi.

Démonstration. — (1) Soient f et g deux morphismes de A vers B. Toute famille s= (sn:Aⁿ→Bⁿ⁻¹)_n∈Zest une homotopie def versgsi et seulement si elle est une homotopie def−gvers le morphisme nul0. En outre, sisest une homotopie def vers g, alors−s= (−s_n)_n∈Zest une homotopie deg−f vers0. Par conséquent, l’ensemble des morphismes homotopiques à0forment un sous-groupe deCom_A(A, B). En outre, le quotient deComA(A, B)par ce sous-groupe s’identifie àComA(A, B)/∼.

(2)

4.1.7. Catégorie homotopique. — La relation d’équivalence homotopique per- met de construire une nouvelle catégorie KA comme suit. Les objets de KA sont des complexes de cochaînes deA. Pour tout couple(A, B)de complexes de cochaînes, K_A(A, B)est l’ensemble quotientCom_A(A, B)/∼défini dans la proposition 4.1.6. Si A,B etC sont trois complexes de cochaînes deA, alors l’application de composition

Com_A(A, B)×Com_A(B, C)−→Com_A(A, C) induit par passage aux quotient l’application de composition

K_A(A, B)×K_A(B, C)−→K_A(A, C) dans la catégorieK_A.

Soient A et B deux complexes de cochaînes, et f : A → B un morphisme dans ComA(A, B). Si l’image def dansKA(A, B)est un élément inversible, on dit quef

est une équivalence d’homotopie entreA et B. Si les objets Aet B sont isomorphes dans la catégorieK_A, on dit queA etB sonthomotopiquement équivalents.

On désigne par $ le foncteur de Com_A dans K_A qui envoie tout complexe de cochaînesAsur lui-même et tout morphisme de complexes sur sa classe d’homotopie.

4.1.8. Cylindres. — Soit(A, d^A)un complexe de cochaînes. On désigne parcyl(A) le complexe de cochaînes défini comme suit. Pour tout n∈ Z, le n^ième composante du complexe cyl(A)est A_n⊕A_n+1⊕A_n; len^ième morphisme de cobord d_n :A_n⊕ An+1⊕An→An+1⊕An+2⊕An+1 est déterminé par la matrice





d^A_n 1A_n+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1An+1 d^A_n



.

La relationd_nd_n−1= 0est assurée par la formule suivante





d^A_n 1_An+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1A_n+1 d^A_n









d^A_n−1 1_An 0 0 −d^A_n 0 0 −1A_n d^A_n−1



=





d^A_nd^A_n−1 dⁿ_A−dⁿ_A 0 0 d^A_n+1d^A_n 0 0 d^A_n −d^A_n d^A_nd^A_n−1





dont le terme à droite est la matrice nulle.

Le complexe de cochaînesAest homotopiquement équivalent à son cylindre. Pour tout n ∈ Z, soient αn : An → An ⊕An+1 ⊕An le morphisme (0,0,1A_n), et βn : An⊕An+1⊕An→Anla somme des projections aux première et troisième coordonnées respectivement. Alors les familles α= (αn)n∈Z et β = (βn)n∈Z sont des morphismes dans la catégorieCom_A. En effet, pour tout n∈Zon a





d^A_n 1A_n+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1A_n+1 d^A_n







 0 0 1A_n



=



 0 0 d^A_n



=



 0 0 1A_n+1



d^A_n

et

1A_n+1 0 1A_n+1





d^A_n 1_An+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1A_n+1 d^A_n



= d^A_n 0 d^A_n

=d^A_n 1A_n 0 1A_n .

Par définition, le composéβαest le morphisme d’identité du complexe de cochaînes A. En outre,αβest homotopique au morphisme d’identité decyl(A). Pour toutn∈Z, soits_n :A_n⊕A_n+1⊕A_n→A_n−1⊕A_n⊕A_n−1 le morphisme défini par la matrice





0 0 0

−1A_n 0 0

0 0 0



.

4.1. CATÉGORIES DES COMPLEXES 75

Le morphismesn+1dn+dn−1sn:An⊕An+1⊕An→An⊕An+1⊕An est défini par la matrice





0 0 0

−1_An+1 0 0

0 0 0









d^A_n 1An+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1A_n+1 d^A_n



+





d^A_n−1 1An 0 0 −d^A_n 0 0 −1A_n d^A_n−1









0 0 0

−1_An 0 0

0 0 0





qui est égale à





−1A_n 0 0

−d^A_n +d^A_n −1A_n+1 0

1_An 0 0



=





−1A_n 0 0 0 −1A_n+1 0

1_An 0 0



.

Le morphisme α_nβ_n−1_cyl(A)n correspond à la matrice



 0 0 1_An



 1An 0 1An

−





1A_n 0 0

0 1An+1 0

0 0 1_An





=





0 0 0

0 0 0

1_An 0 1_An



−





1A_n 0 0

0 1A_n+1 0

0 0 1_An



=





−1A_n 0 0 0 −1A_n+1 0

1_An 0 0



.

On obtient doncα_nβ_n−1_cyl(A)n=s_n+1d_n+d_n−1s_n, d’oùαβ∼1_cyl(A).

4.1.9. Proposition. — SoitC une catégorie. Si F : Com_A → C est un foncteur qui envoie tout équivalence d’homotopie sur un isomorphisme dans C, alors il existe un unique foncteurFe:K_A→ C tel queF =F $.e

Démonstration. — Soient A etB deux complexes de cochaînes etf etg deux mor- phismes de complexes. Soient cyl(A) le cylindre de A, et α : A → cyl(A) et β : cyl(A)→Ades morphismes définis dans §4.1.8. On a vu que αest une équivalence d’homotopie, d’où F(α) est un isomorphisme. Commeβα = 1A, on a F(β)F(α) = 1_F(A). DoncF(β)est l’inverse deF(α).

Pour toutn∈Z, soitα⁰_n= (1An,0,0) :An→An⊕An+1⊕An. Alorsα⁰ = (α⁰_n)n∈Z

est un morphisme de A vers cyl(A) dans la catégorie Com(A). En effet, pour tout n∈Z, on a





d^A_n 1_An+1 0 0 −d^A_n+1 0 0 −1A_n+1 d^A_n







 1_An

0 0



=



 d^A_n

0 0



=



 1_An+1

0 0



d^A_n.

En outre, comme βα⁰ = 1_A, on obtient que F(β) est aussi l’inverse de F(α⁰). Par conséquent, on aF(α) =F(α⁰).

On suppose que les morphismes f = (fn)_n∈Z et g = (gn)_n∈Z sont homotope et que s = (sn)n∈Z est une homotopie entre f et g. Pour tout entier n ∈Z, soit γn :

An ⊕An+1⊕An → Bn le morphisme défini par la matrice fn sn+1 gn

. Alors γ= (γ_n)_n∈Zest un morphisme de complexes de cochaînes car, pour toutn∈Z, on a

γnd_n−1= fn sn+1 gn





d^A_n−1 1_An 0 0 −d^A_n 0 0 −1A_n d^A_n−1





=





f_nd^A_n−1 f_n−g_n−s_n+1d^A_n

gnd^A_n−1



= d^B_n−1f_n−1 d^B_n−1s_n d^B_n−1g_n−1

=d^B_n−1γ_n−1.

En outre, on aγα⁰=f et γα=g. Donc

F(f) =F(γ)F(α⁰) =F(γ)F(α) =F(g).

On obtient donc que l’application Hom_Com(A)(A, B)→ Hom_C(F(A), F(B)) définie par F se factorise de façon unique par Hom_K(A)(A, B). Il existe donc un unique foncteurFe:K_A→ C tel queF =F $.e

4.1.10. Cône. — Soitf : A → B un morphisme de complexes de cochaînes. On désigne par cˆone(f)le complexe de cochaînes tel que cˆone(f)n =An+1⊕Bn et que le morphisme de cobord est donné par la matrice

−d^A_n+1 0

−fn+1 d^B_n

.

Pour toutn∈Z, on a −d^A_n+2 0

−f_n+2 d^B_n+1

−d^A_n+1 0

−f_n+1 d^B_n

=

d^A_n+2d^A_n+1 0 f_n+2d^A_n+1−d^B_n+1f_n+1 d^B_n+1d^B_n

= 0 0

0 0

.

4.1.11. Proposition. — Soit f : A → B un morphisme dans Com_A. On a une suite exacte

0 //B ^g //cˆone(f) ^δ //A[−1] //0, où pour tout n ∈ Z, g_n : B_n → A_n+1 ⊕B_n correspond à la matrice

0 1_Bn

, et δn : An+1 ⊕Bn → An+1 est la première projection, qui correspond à la matrice

1A_n+1 0

. Le triplet (f, g, δ)est appelé triangle associé àf. Démonstration. — Pour tout entiern, le diagramme

0 //Bn

gn //An+1⊕Bn

δ_n //An+1 //0

est une suite exacte dans A. Il suffit de vérifier que g et δ sont des morphismes de complexes de cochaînes. Pour tout entiern, on a

−d^A_n+1 0

−fn+1 d^B_n 0 1B_n

= 0

d^B_n

= 0

1B_n+1

d^B_n

4.2. CATÉGORIE TRIANGULÉE 77

et

1_An+2 0

−d^A_n+1 0

−f_n+1 d^B_n

= −d^A_n+1 0

=−d^A_n+1 1_An+1 0 .

4.1.12. D’après le théorème 4.1.4, on a une suite exacte

· · · →Hⁿ⁻¹(cˆone(f))−→Hⁿ(A)^H

n(f)

−→ Hⁿ(B)−→Hⁿ(cˆone(f))−→Hⁿ⁺¹(A)→ · · · En d’autre termes, Hⁿ(f) est un isomorphisme pour tout n ∈ Z si et seulement si cˆone(f)est une suite exacte.

4.1.13. Soit f : A → B un morphisme de complexes de cochaînes. On dit que f est un quasi-isomorphisme si Hⁿ(f) est un isomorphisme pour tout n, ou de façon équivalente,cˆone(f)est une suite exacte.

4.1.14. Soient

A^{0 u} //B^{0 v} //C^{0 w} //A⁰[−1]

des morphismes de complexes de cochaînes. S’il existe des équivalences d’homotopie α,β etγ tel que le diagramme suivant dansK_A soit commutatif :

A⁰

α

u //B⁰

β

v //C⁰

γ

w //A⁰[−1]

α[−1]

A f //B _g //cˆone(f)

δ //A[−1]

,

oùf :A→B est un morphisme de complexes de cochaînes et(f, g, δ)est le triangle exacte associé àf, on dit que(u, v, w)est un triangle exact de(A⁰, B⁰, C⁰).

4.1.15. Proposition. — SoientA,B etC des complexes de cochaînes et(u, v, w) un triangle exact de(A, B, C), alors il induit une suite exacte

· · · //Hⁿ(A) //Hⁿ(B) //Hⁿ(C) //Hⁿ⁺¹(A) //· · ·

4.2. Catégorie triangulée

4.2.1. Soit K une catégorie additive munie d’un automorphisme T : K → K. On appelletriangle dansKtout diagramme de la forme

A ^u //B ^v //C ^w //T(A) dansK. Un tel triangle est aussi noté (u, v, w).

Si A ^u //B ^v //C ^w //T(A) et A^{0 u}

0 //B^{0 v}

0 //C^{0 w}

0 //T(A⁰) sont deux triangles dans K. S’il existe des isomorphismes α : A → A⁰, β : B → B⁰ et γ:C→C⁰ tels que le diagramme suivant soit commutatif

A ^u //

α

B ^v //

β

C ^w //

γ

T(A)

T(α)

A^{0 u}

0 //B^{0 v}

0 //C^{0 w}

0 //T(A⁰)

on dit que les triangles (u, v, w) et (u⁰, v⁰, w⁰) sont isomorphes, noté (u, v, w) ∼= (u⁰, v⁰, w⁰).

4.2.2. On appelle catégorie triangulée tout couple (K,E), où K est une catégorie exacte et E est un ensemble de triangles dans K (appelés triangles distingués), qui vérifie les axiomes suivants.

(1) Pour tout morphisme u:A →B dans K, il existe des morphismes v et w dans Ktel que(u, v, w)soit un triangle dansE.

(2) Pour tout objet A de K, le triangle A ^1A //A ⁰ //A ⁰ //T(A) appartient àE.

(3) Si (u, v, w) ∈ E et si (u⁰, v⁰, w⁰) est un triangle isomorphe à (u, v, w), alors (u⁰, v⁰, w⁰)appartient àE.

(4) Si(u, v, w)∈ E, alors(v, w,−T(u))∈ E et(−T⁻¹(w), u, v)∈ E.

(5) Si A ^u //B ^v //C ^w //T(A) et A^{0 u}

0 //B^{0 v}

0 //C^{0 w}

0 //T(A⁰) sont deux triangles dansEet s’il existe des morphismesf :A→A⁰ etg:B→B⁰ tels quegu=u⁰f, alors il existe un morphisme h:C→C⁰ tel que le diagramme

A ^u //

f

B ^v //

g

C ^w //

h

T(A)

T(f)

A⁰

u⁰

//B⁰

v⁰

//C⁰

w⁰

//T(A⁰)

soit commutatif.

(6) (Axiome octaédrique) Si A ^u //B ^j //C^{0 ∂} //T(A), B ^v //C ^x //A^{0 i} //T(B) et A ^vu //C ^y //B^{0 δ} //T(A) trois triangles dans C, alors il existe des

morphismes f : C⁰ → B⁰ et g : B⁰ → A⁰ dans K tel que le diagramme C^{0 f} //B^{0 g} //A^{0 T(j)i}//T(C⁰) soit un triangle dans E et que les égalités

∂=δf, x=gy,yv=f j et T(u)δ=ig soient satisfaites.

4.2. CATÉGORIE TRIANGULÉE 79

L’axiome octaédrique peut être illustré par le diagramme suivant, d’où vient son nom.

C

xpppppp

xxpppppp

y

=

==

==

==

==

==

==

==

== B

v

33h

hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh h

j

=

==

==

==

==

==

==

==

=oo= i A⁰

T(j)i

A

u

kk ^vuOO

B⁰

gVVVVVVVVVVVVVVVVVVV kkVVVVVV

oo δ

C⁰

f

33h

hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh h

∂

88

4.2.3. Soit A ^u //B ^v //C ^w //T(A) un triangle dansE. On a un diagramme commutatif

A ^1A //

1_A

A

u

A _u //B

qui peut être inscrit dans un diagramme commutatif (d’après l’axiome (5) du §4.2.2) A ^1A //

1A

A //

u

0 //

T(A)

1_T(A)

A _u //B _v //C _w //T(A) ,

dont les lignes sont des triangles distingués. On en déduitvu= 0. En utilisant l’axiome (4) on en déduit quewv= 0et T(u)w= 0.

4.2.4. Définition. — Soient(K,E)une catégorie triangulée,Aune catégorie abé- lienne et H :K→ A un foncteur. On dit queH est un foncteur de cohomologie si, pour tout triangle A ^u //B ^v //C ^w //T(A) dansC, le foncteur H induit une suite exacte H(A) ^H(u)//H(B) ^H(v)//H(C) dansA.

D’après l’axiome (4) du §4.2.2, on obtient que, siHest un foncteur de cohomologie, pour tout triangle A ^u //B ^v //C ^w //T(A) dansC,H induit une suite exacte longue

· · · //Hⁿ(A) //Hⁿ(B) //Hⁿ(C) //Hⁿ⁺¹(A) //· · ·, où pour tout objetX ∈Ket tout entiern,Hⁿ(X)est défini commeH(Tⁿ(X)).

4.2.5. Exemple. — Soit(K,E)une catégorie triangulée etX un objet deK, alors h_X:K→Abest un foncteur de cohomologie. En effet, si

A ^u //B ^v //C ^w //T(A)

est un triangle dans E, alors on a hX(v)hX(u) = hX(vu) = 0. Si f : X → B est un morphisme tel que h_X(v)(f) = vf = 0, on a un diagramme dont le carré est commutatif

X ^1X //X ⁰ //

f

0

0

0 //T(X)

A _u //B _v //C _w //T(A)

D’après les axiomes (3) et (4) du §4.2.2, il existe un morphismeg:X →Atel que le diagramme

X

g

1_X //X ⁰ //

f

0

0

0 //T(X)

T(g)

A _u //B _v //C _w //T(A) soit commutatif. On obtient doncf =ug.

4.2.6. Proposition. — Soient (K,E)une catégorie triangulée. Supposons que A

a

//B

b

//C

c

//T(A)

T(a)

A⁰ //B⁰ //C⁰ //T(A⁰)

est un diagramme commutatif de morphismes dansKdont les lignes sont des triangles distingués. Sia etb sont des isomorphismes, alors il en est de même dec.

Démonstration. — Pour tout objetX deK, on a un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes :

h_X(A) //

h_X(a)

h_X(B) //

h_X(b)

h_X(C) //

h_X(c)

h_X(T(A))

h_X(T(a))

//h_X(T(B))

h_X(T(b))

h_X(A⁰) //h_X(B⁰) //h_X(C⁰) //h_X(T(A⁰)) //h_X(T(B⁰))

On obtient donc par le lemme des cinq que hX(c)est un isomorphisme. Comme X est arbitraire,c est un isomorphisme.

4.2.7. Corollaire. — Soient(K,E)une catégorie triangulée. Pour tout morphisme udans K, à un (non-nécessairement unique) isomorphisme près, il n’y a qu’un seul triangle dansE dont le premier morphisme s’identifie àu.

4.3. LOCALISATION 81

4.2.8. Théorème. — SoientAune catégorie abélienne etEl’ensemble des triangles exacts dansK_A. Alors(K_A,E)est une catégorie triangulée.

4.3. Localisation

4.3.1. Système multiplicatif. — Soient C une catégorie et S un ensemble de morphismes dansC. On dit queSest unsystème multiplicatif dansCsi les conditions suivantes sont satisfaites.

(1) S continent les morphismes d’identité, et est stable par composition.

(2) (condition d’Ore) Siα:Z→Y est un morphisme dansS, pour tout morphisme g:X→Y dansC, il existe un diagramme commutatif

W ^f //

β

Z

α

X _g //Y

de morphismes dansCavecβ ∈S; pour tout morphismei:Z →A, il existe un diagramme commutatif

Z ⁱ //

α

A

γ

Y

j //B avecγ∈S.

(3) Soientf :X →Y et g:X →Y des morphismes dansC. Il existes∈S tel que sf =sg si et seulement s’il existet∈S tel quef t=gt.

4.3.2. Remarque. — Soient C une catégorie et S un ensemble de morphismes dansC. AlorsS est un système multiplicatif dansC si et seulement si, vu comme un ensemble de morphismes dansC^o, il est un système multiplicatif dansC^o.

4.3.3. Soient C une catégorie munie d’un système multiplicatif S. SiX et Y sont des objets deC, on appellefraction deX versY tout diagramme de la forme

X oo ^s Z ^f //Y ,

où f est un morphisme dans C et s ∈ S. Deux fractions X Z1 f₁ //

s₁

oo Y et

X Z2

f2 //

s₂

oo Y deX versY sont diteséquivalente et on note

(X Z1

f1 //

s₁

oo Y )∼(X Z2

f2 //

s₂

oo Y )

s’il existe une troisième fraction X oo ^s Z ^f //Y et des morphismesα1:Z →Z1

et α₂:Z →Z₂ tels que le diagramme suivant soit commutatif Z₁

s1

~~}}}}}}} _f

1

A

AA AA AA

X Z

α₁

OO

f //

oo s α₂

Y

Z2 s2

``AAAA

AAAA }}}}}^f}²}}>>

4.3.4. Proposition. — SoientC une catégorie,S un système multiplicatif dans C, X etY deux objets deC. La relation ∼est une relation d’équivalence sur l’ensemble des fractions de X vers Y.

Démonstration. — Par définition, on obtient que la relation∼est reflexive et symé- trique. Dans la suite, on montre que la relation∼est transitive. Soient

X_ioo ^si X ^fi //Y , i∈ {1,2,3}

trois fractions deX dansY. On suppose que

X oo ^s Z ^f //Y et X ^s Z⁰

oo 0 ^f0 //Y

sont des fractions de X vers Y, α1 : Z → Z1, α2 : Z → Z2, α⁰₂ : Z⁰ → Z2 et α⁰₃:Z⁰→Z3sont des morphismes dans Ctels que les diagrammes

Z₁

s1

~~}}}}}}} _f

1

A

AA AA AA

X Z

α₁

OO

f //

oo s α₂

Y

Z2 s₂

``AAAA

AAAA }}}}}^f}²}}>>

et

Z2 s₂

~~}}}}}}} _f

2

@

@@

@@

@@

@

X Z⁰

α⁰₂

OO

f⁰ //

s⁰

oo

α⁰₃

Y

Z3 s3

``AAAA

AAAA ~~~~~^f~³~~>>

soient commutatifs. D’après la condition (2) de système multiplicatif (cf. §4.3.1), il existe un objet W de C et des morphismes γ : W →Z et γ⁰ : W → Z⁰ tels que le diagramme

W ^γ //

γ⁰

Z

s

Z⁰

s⁰

//X

soit commutatif et queγ∈S. On a

s2α2γ=sγ=s⁰γ⁰=s2α⁰₂γ⁰.

4.3. LOCALISATION 83

D’après la condition (3) de système multiplicatif (cf. §4.3.1), il existe un morphisme t₂:W⁰→W dansS tel que α₂γt₂=α⁰₂γ⁰t₂.

On considère la fraction

X oo ^t W^{0 g} //Y

avect=sγt2∈S et g=f γt2. Le diagramme suivant est commutatif Z1

s1

~~|||||||| f1

A

AA AA AA A

X W⁰

α₁γt₂

OO

g //

oo t

α⁰₃γ⁰t₂

Y

Z₃

s₃

``BBBB

BBBB }}}}}^f}³}}>>

En effet, on a

s1α1γt2=sγt2=t, s3α⁰₃γ⁰t2=s2α⁰₂γ⁰t2=s2α2γt2=sγt2=t, f1α1γt2=f γt2=g, f3α⁰₃γ⁰t2=f2α⁰₂γ⁰t2=f2α2γt2=f γt2=g.

La transitivité de la relation∼est donc démontrée.

4.3.5. Définition. — SoientCune catégorie etS un système multiplicatif dansC.

Pour tout couple (X, Y) d’objets de C, on désigne par S⁻¹C(X, Y) l’ensemble des fractions deX dansY modulo la relation d’équivalence∼.

4.3.6. Soient C une catégorie et S un système multiplicatif dansC. Si X, Y et Z sont trois objets deCet si

W1 s₁

}}|||||||| f₁

B

BB BB BB

B W2

s₂

~~|||||||| f₂

A

AA AA AA A

X Y Z

sont des fractions deXversY et deY versZrespectivement, oùs1ets2appartiennent à S. D’après la condition (2) de système multiplicatif, il existe un objetW₃deC, un morphisme s3 : W3 → W1 dans S et un morphismef3 : W3 → W2 dans C tel que s2f3=f1s3.

(4.1)

W3 s₃

}}{{{{{{{{ f3

!!C

CC CC CC C

W1 s₁

}}|||||||| f1

!!D

DD DD DD

D W2

s₂

}}zzzzzzzz f₂

A

AA AA AA A

X Y Z

Ainsi X W3 s₁s₃

oo ^f2f3 //Z est une fraction deXversZ. Il s’avère que cette construc- tion induit par passage au quotient une application (on laisse les détails de vérification aux lecteurs)

S⁻¹C(X, Y)×S⁻¹(Y, Z)−→S⁻¹C(X, Z)

de sorte que les objets deC et lesS⁻¹(X, Y)avec(X, Y)∈ C² forment une catégorie que l’on noteS⁻¹C est appelle localisation deC par rapport àS. On a un foncteur q:C →S⁻¹Cqui envoie tout objetX∈ Csur lui-même (vu comme un objet deS⁻¹C) et qui envoie, pour tout couple d’objets(X, Y)∈ C² et tout morphismef ∈ C(X, Y) sur la classe d’équivalence de la fraction

X oo ^1X X ^f //Y .

Pour tout morphisme(s:X →Y)∈S, le morphismeq(s)dansS⁻¹C est inversible, son inverse est la classe de la fraction

Y oo ^s X ^1X //X

4.3.7. Remarque. — Soitf etgdeux morphismes dansC. Par définition, l’égalité q(f) = q(g) est vérifiée dans la catégorie localisée S⁻¹C si et seulement s’il existe un morphisme s ∈ S tel que sf = sg. Cela est aussi équivalent à l’existence d’un morphismet ∈S tel que f t=gt (d’après la condition (3) de système multiplicatif, cf. §4.3.1).

SoientX,Y1et Y2 trois objets deC. Siα1etα2sont des éléments deS⁻¹C(X, Y1) et S⁻¹C(X, Y2), représentés par les fractions

X oo ^s1 Z₁ ^f1 //Y₁ et X oo ^s2 Z₂ ^f2 //Y₂

respectivement, par la condition (2) de système multiplicatif (cf. §4.3.1), il existe un diagramme commutatif

Z ^t1 //

t₂

Z1 s₁

Z_{2 s}

2 //X

avect1 ∈S. On obtient alors ques=s1t1=s2t2∈S. En outre, les classesα1 et α2

sont représentées par les fractions

X oo ^s Z ^f1t1 //Y1 et X oo ^s Z ^f2t2 //Y2

respectivement. On en déduit que, pour une famille finie de morphismes dans la catégorieS⁻¹C qui sont de même source. On peut trouver des fractions représentant ces morphismes qui commencent par le même morphisme dansS.

4.3. LOCALISATION 85

4.3.8. Théorème (Gabriel-Zisman). — SoientC etD deux catégories, et S un système multiplicatif dans C. Si F :C → D est un foncteur tel que, pour tout s∈S, F(s)soit un isomorphisme dansD, alors il existe un unique foncteurS⁻¹F :S⁻¹C → Dtel queF = (S⁻¹F)q.

Démonstration. — Si le foncteur S⁻¹F existe, il est unique car il doit envoyer tout objetX deC surF(X)∈ Det toute classe de fractions

[X oo ^s Z ^f //Y ], s∈S

sur F(f)F(s)⁻¹. Il reste à vérifier que cette construction définit effectivement un foncteur de S⁻¹CdansD. Soient

X Z1

f1 //

s₁

oo Y et X Z2

f2 //

s₂

oo Y

deux fractions qui sont équivalentes. Par définition il existe une troisième fraction X oo ^s Z ^f //Y et des morphismes α₁ : Z → Z₁ et α₂ : Z → Z₂ tels que le diagramme suivant soit commutatif

Z₁

s1

~~}}}}}}} _f

1

A

AA AA AA

X Z

α1

OO

f //

oo s α₂

Y

Z2 s₂

``AAAA

AAAA }}}}}^f}²}}>>

On obtient alors

F(f1)F(s1)⁻¹=F(f1)F(α1)F(s)⁻¹=F(f)F(s)⁻¹

=F(f2)F(α2)F(s)⁻¹=F(f2)F(s2)⁻¹. L’applicationS⁻¹F :S⁻¹C(X, Y)→ D(F(X), F(Y)),

[X oo ^s Z ^f //Y ]7−→F(f)F(s)⁻¹

est donc bien définie et sa composition avec q : C(X, Y) → S⁻¹C(X, Y) coïncide avec F : C(X, Y) → D(F(X), F(Y)) par définition. En particulier, S⁻¹F envoie le morphisme d’identité de X (dans la catégorie S⁻¹C) sur le morphisme d’identité de F(X). Enfin, pour tout diagramme de la forme (4.1) dans C, on aF(s2)⁻¹F(f1) = F(f3)F(s3)⁻¹et donc

F(f2)F(s2)⁻¹F(f1)F(s1)⁻¹=F(f2f3)F(s1s3)⁻¹.

On obtient que S⁻¹F préserve les compositions de morphismes et donc définit un foncteur de S⁻¹CversDtel que(S⁻¹F)q=F. Le théorème est alors démontré.

4.3.9. Remarque. —

(1) Deux morphismesf :X →et g :X →Y dansC induisent le même morphisme dansS⁻¹Csi et seulement s’il existe s∈S tel quesf =sg.

(2) Le foncteur canoniqueC →S⁻¹Cpréserve les objets initiaux, les objets terminaux et les coproduits finis, pourvu que ces constructions existent dansC.

(3) On suppose queCa un objet nul. Pour toutX ∈ C,Xest un objet nul dansS⁻¹C si et seulement si0 :X →X appartient àS.

(4) SiC est une catégorie additive, il en est de même deS⁻¹C.

4.3.10. Soient (K,E) une catégorie triangulée, A une catégorie abélienne et H : K→ Aun foncteur de cohomologie. On désigne par S_H l’ensemble des morphismes sdansKtels que H(Tⁿ(s))soit un isomorphisme pour toutn∈Z.

4.3.11. Proposition. — On garde les notations du §4.3.10. L’ensembleS_H est un système multiplicatif dans K.

Démonstration. — La vérification de l’axiome (1) est facile.

(2) Soits:Z →Y un morphisme dansS_H, qui s’inscrit dans un triangle distingué Z ^s //Y ^u //A ^δ //T(Z).

Soit f : X →Y un morphisme arbitraire dans K. On inscrit uf : X →A dans un triangle distingué

W ^t //X ^uf //A ^w //T(W) Il existe alors un morphismeg:W →Z tel que le diagramme

W ^t //

g

X ^uf //

f

A ^w //

1X

T(W)

T(g)

Z _s //Y _u //A

δ //T(Z)

soit commutatif. CommeH(Tⁿ(s))est un isomorphisme pour toutn∈Z, on obtient queH(Tⁿ(A)) = 0pour tout n∈ Z, d’oùH(Tⁿ(t))est un isomorphisme pour tout n∈Z, i.e., test un élément deS_H.

(3) Soitf : X →Y un morphisme dansK. On montre que, s’il existe(s :Y → Y⁰) ∈ SH tel que sf = 0, alors il existe t ∈ SH tel que f t = 0. On inscrit s dans un triangle distingué Z ^u //Y ^s //Y^{0 w} //T(Z). Comme h_X est un foncteur de cohomologie, on obtient que la suite K(X, Z) ^hX(u)//K(X, Y) ^hX(s)//K(X, Y⁰) est exacte. Comme sf = 0, il existe h: X →Z tel que f = uh. On inscrit hdans un triangle distingué X^{0 t} //X ^h //Z ^γ //T(X⁰). On a f t=uht= 0. En outre, commes∈SH, on a H(Tⁿ(Z)) =0pour toutn∈Z, d’où t∈SH.

4.4. CATÉGORIE DÉRIVÉE 87

4.3.12. On construit une familleS_H⁻¹E de triangles dans la catégorie S_H⁻¹K. Soient α:A→B,β:B →Cet γ:C→T(A)des morphismes dansS_H⁻¹K, représentés par les fractions Aoo ^s1 A^{0 u} //B, B oo ^s2 B^{0 v} //C et C oo ^s3 C^{0 w} //T(A) respectivement. Le triangle (α, β, γ) ∈ S_H⁻¹E si et seulement s’il est isomorphe à l’image d’un triangle dansE.

4.3.13. Proposition. — Soient (K,E) une catégorie triangulée et H un foncteur de cohomologie. Alors (S_H⁻¹K, S_H⁻¹E)est une catégorie triangulée.

4.4. Catégorie dérivée

SoitAune catégorie abélienne. On désigne parD_Ala localisation deK_Apar rap- port au système multiplicatif défini par le foncteur de cohomologieH⁰. Les catégorie D⁺_A,D⁻_Aet D^b(A)sont définies de façon similaires. Ce sont des catégorie triangulée.

4.4.1. Soit A une catégorie abélienne. On dit qu’un objetI de A est injectif si le foncteurh^◦_I :A^o→Abest exact. Sif :A→Best un monomorphisme et siα:A→I est un morphisme, alors il existeβ:B →Itel que α=βf.

0 //A ^f //

α

B

 ∃β

I

4.4.2. Définition. — SoitA une catégorie abélienne. On dit queApossède suffi- samment d’objets injectifs si, pour tout objetA∈ Ail existe un objet injectifIdeA et un monomorphismeA→I.

4.4.3. Théorème. — SoientA une catégorie abélienne etA un objet de A. Si IA

est un complexe de cochaînes de la forme 0 //A ^d−1 //I0

d₀ //I1

d₁ //· · ·

où les In sont des objets injectifs, pour tout complexe de cochaînes exact MB de la forme

0 //B ^∂−1 //M₀ ^∂0 //M₁ ^∂1 //· · ·,

tout morphisme f :B→A dansA se relève en un morphisme de complexes de MB

dansIA, qui est unique à équivalence homotopique près.

Démonstration. — On construit par récurrence les morphismesfn:Mn→In. L’exis- tence def₀:M₀→I₀tel que le diagramme

0 //B

f

∂₋₁

//M₀

f0

A d−1

//I0

soit commutatif provient de l’hypothèse queI0 est un objet injectif. Pour le passage def_n à f_n+1, il suffit d’observer que le diagramme commutatif

M_n−1 ^∂n−1 //

fn−1

Mn //

f_n

Mn+1

In−1 dn−1

//In //In+1

induit

0 //Coker(∂_n−1)

ηn //Mn+1

Coker(d_n−1) //In+1

dont la première ligne est une suite exacte (car le complexe MB est exact). Comme I_n+1 est un objet injectif, il existe un morphisme f_n+1 : M_n+1 → I_n+1 tel que le diagramme

Mn f_n

//Coker(∂_n−1)

//Mn+1

fn+1

In //Coker(dn−1) //In+1

soit commutatif.

Montrons l’unicité def à équivalence homotopique près. Soit (gn:Mn→In)_n∈N

une autre famille de morphismes dansAtelle que le diagramme 0 //B

f

∂−1 //M0 g₀

∂₀ //M1 g₁

∂₁ //· · · ^∂n−1 //Mn g_n

∂_n //Mn+1 gn+1

∂n+1 ////· · ·

0 //A

d−1

//I₀

d₀ //I₁

d₁ //· · ·

dn−1

//I_n

d_n //I_n+1

d_n+1 ////· · · soit commutatif. On construit des morphismes sn : Mn →I_n−1 (avec la convention I₋₁=A) tels ques0∂₋₁= 0et que

sn+1∂n+dn−1sn =fn−gn

4.4. CATÉGORIE DÉRIVÉE 89

pour tout n∈N. On raisonne par récurrence surn en prenants0 = 0. Si s0, . . . , sn

sont construits, on considère le morphisme

hn:=fn−gn−d_n−1sn. Si n>1, on a

hn∂_n−1= (fn−gn)∂_n−1−d_n−1sn∂_n−1=d_n−1(f_n−1−g_n−1)−d_n−1sn∂_n−1)

=d_n−1(f_n−1−g_n−1−d_n−1s_n) =d_n−1d_n−2s_n= 0.

L’égalitéhn∂n−1= 0est aussi vraie lorsque n= 0. En effet, on a h₀∂₋₁= (f₀−g₀)∂₋₁=d₋₁(f−f) = 0.

Donc il existe un unique morphisme ehn : Coker(∂_n−1) → In tel que le diagramme suivant soit commutatif

M_n ^πn //

hn

Coker(∂_n−1)

eh_n

yyIn

oùπn:Mn→Coker(∂_n−1)est le morphisme canonique. Comme le complexeMBest exact, le morphisme canonique ηn : Coker(∂n−1) →Mn+1 est un monomorphisme.

CommeI_n+1 est un objet injectif, il existe un morphismes_n+1 :M_n+1 →I_n tel que s_n+1η_n=eh_n. On obtient donc

sn+1∂n =sn+1ηnπn=ehnπn=hn.

Ainsi par récurrence on construit une homotopie entre les deux relèvements def. Le théorème est donc démontré.

4.4.4. Corollaire. — Supposons que I est un complexe de cochaînes dansCom⁺_A dont chaque terme est un object injectif. Si f : I →M est un quasi-isomorphisme, alors il admet une inverse à gauche dans la catégorie K_A.

Démonstration. — Commef est un quasi-isomorphisme, on obtient quecˆone(f)est un complexe exact. En outre, le théorème montre que le morphisme canonique δ= (−1,0) : cˆone(f)→I[−1]est homotopique au morphisme nul. Soit

s= (α, β) :I[−1]⊕M −→(I,−dI) l’homotopie. On a

(−1,0) =δ=sd+ds= α β

−d 0

−f d

−d α β

=−(αd−βf, βd)−(dα, dβ).

Doncβ:M →I est un morphisme de complexes, et

−βf+ 1 =αd+dα.

Cela montre queβf= 1 dansKA.

4.4.5. Corollaire. — SoitIun complexe de cochaînes dansCom⁺_Adont les termes sont injectifs. Pour tout complexeM on a une bijection canonique entreD_A(M, I)∼= K_A(M, I).

Démonstration. — Soitf :M →I un morphisme dansD_A. Alorsf correspond à un diagramme I ^s //N oo ^g M , où s est un quasi-isomorphisme. Soit t un inverse à gauche de sdans K_A. Le morphismetg∈K_A(M, I)détermine la classe def car g=sf dansDA(M, I).

4.4.6. Théorème. — SoitAune catégorie abélienne qui admet suffisamment d’ob- jets injectifs. Alors on a une équivalence de catégorie entreD⁺_A etK⁺_I, oùK⁺_I est la sous-catégorie pleine deK⁺_Ades complexes consistant des objects injectifs.

4.4.7. Lemme. — Soit A0 un sous-ensemble de A contenant les objets nuls. Si, pour tout X ∈ A, il existe X0 ∈ A0 et un monomorphisme X → X0 dans A, alors tout complexe de cochaînes bornés à gauches dans Com⁺_A est quasi-isomorphe à un complexe dont les termes sont dans A0.

Démonstration. — SoitAun complexe de cochaînes dansCom⁺_A. Supposons que l’on a construit un diagramme commutatif

· · · //A_n−2 ^d

A n−2//

f_n−2

A_n−1

f_n−1

d^A_n−1

//

¬

A_n

f_n

· · · //In−2 d^I_n−2

//In−1

d^I_n−1

//In

dont la deuxième ligne est un morceau de complexe de cochaînes à objets dans A0, tel que H^j(A) = H^j(I) pour tout j < n et que le morphisme gn : Coker(d^A_n−1) → Coker(d^I_n−1)induit par le carré commutatif ¬soit un monomorphisme.

SoitZn+1 le coproduit cofibré du diagramme A_n+1

Coker(d^A_n−1) _g

n

//

δn

OO

Coker(d^I_n−1)

où δ_n : Coker(d^A_n−1) → A_n+1 est induit par d^A_n : A_n → A_n+1. On choisit un objet In+1 dansA0 et un monomorphismeλn : Zn+1 → In+1. Considérons le diagramme commutatif

A_n+1

­

an //Z_n+1 ^λn //I_n+1

Coker(d^A_n−1)

δ_n

OO

g_n //Coker(d^I_n−1)

b_n

OO

In π_n

oo