Feuille d’exercices N

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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

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Mercredi le:11-décembre-2002

Fonctions convexes 1. Montrer que :²_πx ≤ sinx ≤ xpour toutx ∈ 0, ^π₂

2. Soitfde classeC¹convexe et positive surIRayant une dérivée positive surIRétudier les limites en∞defx,f′x,xf′x

3. Soitfde classeC²convexe surIR, on suppose qu’il existea,b ∈ IR²etλ ∈0, 1tel que fλa+1−λb = λfa+1−λfb

a. montrer alors quefest affine sura,b, (c-a-d :fx = αx+β

b. reprendre la même question en supposant cette foisfseulement continue convexe 4. Soita,b ∈ IR²,a < betfde classeC²convexe sura,bqui admet un minimum ena

a. montrer alors quefest croissante.

b. reprendre la même question en supposant cette foisfseulement continue convexe 5. Soitfde classeC²convexe sur IR , on suppose qu’il existea ∈ IRtel quef′a = 0 ,

montrer quefadmet un minimum global ena 6. Méthode de Newton(DS 2000-2001)

Soita,b ∈ IR²,a < betfde classeC²convexe sura,b.

a. montrer que si l’équationfx = 0 admet au moins 3 solutions alorsfest nulles entres ses solutions.

b. on suppose dans la suite quef′ > 0 sura,betfafb < 0 montrer alors que l’équationfx = 0 admet une solution que l’on noteral.

c. on posex0 = b,xn+1 = xn− _f^f_′^x_xⁿ_n^_montrer que le pointMxn+1, 0est l’intersection de l’axeoxavec la tangente a la courbe defau pointNxn,fxn.

d. Montrer quexndecroissante versl 7. Inégalité arithmico-géométrique

En utilisant la convexité def : x → −lnxsur0,+∞montrer que :

∀n ∈ IN^∗,∀x1,x2, .,xn ∈ IR⁺ⁿon a :

∏

i=1 n

xi

1 n

≤

∑

i=1 n

x_i

n

8. Inégalités de Holder et Minkowski

a. En utilisant la convexité def : x → −lnxsur0,+∞montrer que

:∀a,b ∈ IR⁺²,∀p,q ∈ IR^+∗2tel que ¹_p + ¹q = 1 on a : a^1pb^1q ≤ ^ap + ^bq 1. b. soient :n ∈ IN^∗,x¹,x2, .,xn ∈ IR⁺ⁿ,y¹,y2, .,yn ∈ IR⁺ⁿ,p,q ∈ IR^+∗2tel que

1

p + ¹q = 1 en utilisant1pourai = ^xip

∑

x_j^p

,bi = ^yiq

∑

y_j^q

montrer que :

∑

i=1 n

xiyi ≤

∑

i=1 n

x_i^p

1p

∑

i=1 n

y_i^q

1q

(Inégalité de Minkowski)

c. énoncer l’inégalité deCauchy-schwartzpourp = q = 2

d. soient :n ∈ IN^∗,x1,x2, .,xn ∈ IR⁺ⁿ,y1,y2, .,yn ∈ IR⁺ⁿ,p ∈ IR^+∗ en déduire de (2) l’inégalité suivante dite deHolder

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:

∑

i=1 n

xi +yi^p

1p

≤

∑

i=1 n

xi p

1p

+

∑

i=1 n

yi p

1p