Chapitre 1 : Fonctions affines Problème : 20 page 68 énoncé du problème seulement

Chapitre 1 : Fonctions affines

Problème : 20 page 68 énoncé du problème seulement

I. Ensemble de définition

I.1) Intervalles

a et b sont deux réels tels que a < b

L'intervalle fermé [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a £ x £ b Tous les intervalles possibles:

Intervalle :

c'est l'ensemble des nombres réels x tels que

Encadrement:

c'est l'ensemble des nombres réels x tels que

Représentation en rouge sur la droite des réelles

[ a ;b ] a  x  b

] a ;b [ a < x < b

] a ;b ] a < x  b

[ a ;b [ a  x < b

[ a ; + ∞ [ a  x

] a ; + ∞ [ a < x

] - ∞ ; b ] x  b

] - ∞ ; b [ x < b

Exercices 1 et 2 page 46 Remarques : ℝ désigne l'ensemble des nombres réels ( ℝ = ] - ∞ ; + ∞ [ ), c'est un intervalle.

Autres notations : ℝ⁺ ℝ^- ℝ* ,..

ℕ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; ….} , ce n’est pas un intervalle.

I.2) Application

Définition :

Définir une fonction sur D, c’est associer à chaque réel x de D, un unique réel.

D est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction, on le nomme en général D f.

Exemples : dans la problème de départ, D f = [0 ; 6 ].

La fonction qui a chaque nombre associe sa troncature à l'unité est définie sur ℝ et a ses valeurs dans ℕ.

Propriété : L'ensemble de définition des fonctions affines est .ℝ

[ ] a b

[ ] a b

II. Vocabulaire

II.1) Définitions

 Image : f (x) n'est pas une fonction mais un nombre ! C'est l'image du nombre x par la fonction f.

Chaque x de D f a une image et une seule par f.

 Antécédents : Les antécédents du nombre k sont les nombres qui ont k pour image.

Chaque réel a zéro, un ou plusieurs antécédents par f.

 Signe : le signe ( négatif ou positif ) d'une fonction se représente généralement dans un tableau

 Sens de variation : croissante ou décroissante ( en langage familier: « la courbe monte ou descend » )

 Extremum : minimum ou maximum d'une fonction

 Affine : une fonction est affine si l'image de x par cette fonction peut s'écrire sous la forme a x + b.

 Linéaire : une fonction est linéaire si l'image de x par cette fonction peut s'écrire sous la forme a x.

 Constante : c'est une fonction définie sur ℝ qui peut s'écrire sous la forme f x = b

II.2) Exemple

Trois façons de déterminer l'image ou un antécédent : de manière graphique ( valeur approchée de la solution ) ou de manière algébrique ( valeur exacte ) par un calcul ou par lecture d'un tableau de valeurs.

L'image de 3 par f est f (3) = 12

Un antécédent de 16 est 1. On remarque que l'autre antécédent de 16 est 5. on notera f(1 ) = f ( 5 ) = 16.

Calcul : expression de f (x) : si x ∈ [ 0 ; 3 ] alors f(x) = 18 – 2 x , f est donc une fonction affine.

donc f(1,5) = 18 – 2× 1,5 = 15

Recherche d'antécédent par le calcul :

Les antécédents de 13 par f sont les solutions de l'équation f ( x ) = 13

si x ∈ [ 0 ; 3 ] alors f(x) = 18 – 2 x Il suffit de résoudre 18 – 2x = 13 soit x = 5

2 . 5

2 est donc l'unique antécédent de 13 par f.

Images

antécédents

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 18 16 14 12 14 16 18

antécédents

exercices 3 et 6 page 46

mathenpoche : 2nde/ num/ chap 8 / valeur lecture /1,2,3,4,7,8

2nde/ num/ chap 8 / signe, variation/ 1,...,11

II.3) a et b

Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Sa représentation graphique est une droite d'équation y = a x + b.

a s'appelle le coefficient directeur de la droite.

b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite.

Animation avec a et b puis p/q ( a/1 = p/q )

Dans le problème :

dans l'intervalle [0 ; 3 ], la représentation graphique de f est une droite, dont le coefficient directeur est a = -2 et

l'ordonnée à l'origine est b = 18

exercices Problème : déterminer a et b connaissant deux points de la droite:

propriété : si f est une fonction affine alors l'accroissement des images est proportionnel à l'accroissement des antécédents. Dans ce cas le coefficient de proportionnalité est a.

Méthode :

Commencer par déterminer a par la formule : a = f x₂– f x₁

x2– x1

Remplacer a , remplacer x par sa valeur ainsi que son image dans l'expression a x + b = f ( x ). On résout alors l’équation en b.

Exemple : f( 1 ) = 2 et f( 3 ) = - 4 a = –4–2

3–1 = -3

f( 1 ) = 2 donc b est solution de l'équation – 3 × 1 + b = 2 soit b = 2 + 3 = 5

Donc f(x) = - 3 x + 5

III. Signe d'une fonction

Tableau de signe : sur le problème de départ :

x 0 6

Signe de

f(x) +

Méthode 1 : pour déterminer le signe d'une fonction f , il suffit de résoudre une inéquation, f(x)  0 par exemple.

Exemple :

Déterminer le signe de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = - 2 x + 18.

- 2 x + 18  0 - 2 x  - 18 x  −18

−2 x  9

x – ∞ 9 + ∞

f(x) + 0 –

f ( x) est positive si x ∈ ] - ∞ ; 9] et négative si x ∈ [ 9 ; + ∞ [

Résolution d'inéquation : fiche + tableaux de signe

Signe de ax +b

x – ∞ - b/a + ∞

Signe de ax + b Signe de ( -a ) 0 Signe de a

a>0 a<0

Exemple : f est définie par f ( x ) = - 3 x - 6

x – ∞ -2 + ∞

signe de – 3 x – 4 + 0 –

IV. Tableau de variations

 fonction f définie sur [-5 ; 3] par sa courbe :

O 1 1 -5

-4

-1 3

-1

3

 sens de variation de f : La fonction f est :

- décroissante sur [-5 ; -4] ; - croissante sur [-4 ; -1] ; - décroissante sur [-1 ; 3].

 Tableau de variation de f

On résume ainsi les informations obtenues ci- contre :

x -5 -4 -1 3 f(x) 4 3

-1 -1

On peut en comparer f –4,5 et f –4 en lisant le tableau de variations on remarque que - 4,5 < - 4 et f –4,5 > f –4

Définition mathématiques :

f est une fonction définie sur un intervalle I.

Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :

Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :

si a £ b alors f(a) £ f(b). si a £ b alors f(a)  f(b).

Que l'on pourra mémorisé en disant « si l’inégalité ne change pas de sens, la fonction est croissante ».

« si l’inégalité change de sens, la fonction est décroissante.

Remarque : on remplacera (dé) croissante par strictement (dé) croissante si les inégalités sont strictes.

 Méthode : avec a<b, on pourra chercher le signe de f(b) – f(a) : si 0< f(b) -f(a) alors f est croissante et si 0 > f(b) -f(a) alors f est décroissante

Exemple : : Soit f la fonction définie sur par f(x) = - 2 x + 3.

Soient a et b deux réels tels que a < b alors : f(b) – f(a) = -2b + 3 -( -2a +3)

= - 2 b + 3 + 2 a – 3

= 2 ( a - b ) 0 > f(b) – f(a)

f(a) > f(b), la fonction f est donc décroissante.

Propriété : soit f une fonction affine définie par f (x) = a x +b si a>0 alors la f est croissante sur ℝ

si a < 0 alors f est décroissante sur ℝ.

Tableau de variations :

x 0 3 6 f est croissante sur [ 3 ; 6]

f est décroissante sur [ 0 ; 3 ] Variations de f(x) 18

12

18

V. Extremums :

Maximum et minimum d’une fonction

f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I.

 Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x)  f(a).

 Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) £ f(a).

Exemple : Le minimum sur l’intervalle [-5 ; 6] de la fonction f représentée ci-contre est -2. Il est obtenu lorsque x

= . En effet, A est le point le plus « bas » de la courbe.

Le maximum sur l’intervalle [-5 ; 6] est 4. Il est obtenu lorsque x = -3. En effet, B est le point le plus « haut » de la courbe.

Dans le problème :minimum : 12 (atteint en 3) et maximum 18 (atteint en 0 et 6)

VI. Résolutions graphiques d'équations et d'inéquations

 Résoudre graphiquement f (x) = m :

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y = m

 Résoudre graphiquement f (x) > m :

Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d'équation y = m Exemple : Soit f une fonction définie sur ℝ

–² –1 0 i

j

Cf

y ⁼¹

y

x

 Résoudre graphiquement f (x) = 1 :

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y = 1 -5 O

B

-3

4

A 3 2

-2

6 3

S = { −2 ; −1 ; 0}

 Résoudre graphiquement f (x) > 1 :

Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d'équation y = 1 S = ]−2 ; −1[  ]0 ; +[

VII. Utilisation d'un algorithme

remarque : à faire au tableau en 1er : schéma de l'algorithme avec des boîtes a) Résoudre f (x) = m :

1. Tracer la droite d'équation y = m

2. Placer des points à l'intersection de la droite et de la courbe 3. Lire les abscisses des points marqué

b) Calculer une l'image d'une fonction ( n’apparaissant qu'une seule fois ) Exemple : f x=5x –12 . On va calculer f t

1. On considère un nombre t.

2. On le multiplie par 5 3. On soustrait 12 au résultat.

4. f t = la résultat du calcul précédent.

Variante : Pour x allant de start à end, afficher f(x)

c) Recherche d'un antécédent x par une fonction f donnée ( x n’apparaissant qu'une seule fois ).

Exemple : f x=5x –12 On va chercher l'antécédent de y.

1. On prend un nombre y.

2. On lui ajoute 12.

3. On divise le résultat par 5.

4. y a pour antécédent le résultat du calcul précédent.

d) Tracer d'une fonction point par point .

Exemple : on considère la fonction f définie par f x=2x1 . Demander le début du tracé;

Demander la fin du tracé;

i prend la valeur start .

tand que i  end, on fait:

placer le point [ i ; f(i) ] i+1  i

fin du tand que

e) Déterminer l’expression d'une fonction affine connaissant deux valeurs et leur image f (xB)= yB et f (xA)= yA

.

1) a prend la valeur y_B– y_A x_B– x_A 2) b prend la valeur yA – a × xA

3) On écrit « f (x) = » a « x + » b.

Ecrire un algorithme en langage informatique:

on fera cette transformation que sur des algorithmes où les commandes sont exécutables par une fonction de l' ordinateur ( pas comme l'exemple a) ).

b)1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME

5 LIRE x

6 y PREND_LA_VALEUR 5*x 7 y PREND_LA_VALEUR y-12 8 AFFICHER "f("

9 AFFICHER x 10 AFFICHER ") ="

11 AFFICHER y 12 FIN_ALGORITHME

b) variante

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 end EST_DU_TYPE NOMBRE 5 start EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME

7 LIRE start 8 LIRE end

9 POUR x ALLANT_DE start A end 10 DEBUT_POUR

11 y PREND_LA_VALEUR F1(x) 12 AFFICHER "f("

13 AFFICHER x 14 AFFICHER ")="

15 AFFICHER y 16 FIN_POUR 17 FIN_ALGORITHME

Fonction numérique utilisée : F1(x)=2*x-3

d)

1 VARIABLES

2 i EST_DU_TYPE NOMBRE 3 start EST_DU_TYPE NOMBRE 4 end EST_DU_TYPE NOMBRE 5 a EST_DU_TYPE NOMBRE 6 b EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME

8 LIRE a 9 LIRE b 10 LIRE start 11 LIRE end

12 i PREND_LA_VALEUR start 13 TANT_QUE (i <= end) FAIRE 14 DEBUT_TANT_QUE

15 TRACER_POINT (i,F1(i)) 16 i PREND_LA_VALEUR i+1 17 FIN_TANT_QUE

18 FIN_ALGORITHME

Fonction numérique utilisée : F1(x)=a*x+b