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Le théorème de
Thalès
CONFIGURATIONS DE THALES
1) ThÄorÅme de ThalÅs :
a) Situation de Thal€s :
ABC est un triangle quelconque. M est un point de la droite
(
AB et N est un point de la)
droite(
AC tels que A, B et M d’une part, A, C et N d’autre part, sont dans le m‚me)
ordre.On a alors les 3 cas de figures suivants :
b) Thƒor€me de Thal€s :
Si les droites
(
BC et) (
MN sont parall€les et si les conditions de l’un des 3 cas prƒcƒdents)
sont remplies, alors AMAB = AN AC = MN
BC.
Autrement dit, le tableau suivant est un tableau de proportionnalitƒ :
A
B C
M N
C
B A
N
M
B A
C
N M
AB AC BC
AM AN MN
c) Exemple 1 :
Dans la figure ci-contre,
( )
IJ //(
BC .)
AI = 5 cm, IC = 20 cm IJ = 3 cm et BJ = 16 cm.
Calculer BC, AB et AJ.
On est dans les conditions d’utilisation du thƒor€me de Thal€s, et
( )
IJ //(
BC .)
D’apr€s le thƒor€me de Thal€s, AIAC= IJ BC. Soit 5
20-5= 3
BC. D’o„ 5 BC = 3 15.
Donc BC = 3 15
5 = 9 cm.
De plus, toujours d’apr€s le thƒor€me de Thal€s, AI AC= AJ
AB. Soit 5
20-5= AJ 16-AJ. Si AJ = x, on obtient : 5
(
16 – x = 15 )
x.D’o„ 80 = 15x + 5x. Donc x = 80 20= 4.
Donc AJ = 4 cm et AB = 16 – 4 = 12 cm.
B A
C
I J
2) RÄciproque du thÄorÅme de ThalÅs:
a) Thƒor€me rƒciproque :
Si l’on est dans l’un des 3 cas prƒcƒdents et si AM AB = AN
AC, alors les droites
(
BC et) (
MN)
sont parall€les.Exemple 2 :
Dans la figure ci-contre,
( )
IJ //(
BC et) (
JK //) (
CD .)
Est-ce que les droites( )
IK et(
BD sont parall€les ?)
On est dans les conditions d’utilisation du Thƒor€me de Thal€s, dans les triangles ABC et ACD.
D’apr€s le thƒor€me de Thal€s, AI AB= AJ
ACd’une part, et d’autre part AJ AC= AK
AD. Donc AI
AB= AK AD.
K est un point de
(
AD et I est un point de) (
AB , et A, I et B sont dans le m‚me ordre)
que A, K et D.D’apr€s la rƒciproque du thƒor€me de Thal€s,
( )
IK //(
BD .)
A
B C
D
J I K
3) Applications :
a) Agrandissements et rƒductions :
Dans les conditions d’utilisation du thƒor€me de Thal€s, les angles des figures sont conservƒs et les longueurs des figures sont proportionnelles :
AM AB = AN
AC = MN
BC montre que les dimensions du triangle AMN sont proportionnelles † celles du triangle ABC.
Si k est le coefficient de proportionnalitƒ du triangle ABC vers le triangle AMN, alors AM
AB = AN AC= MN
BC = k.
Donc AM = k AB, AN = k AC et MN = k BC.
Si k < 1, on dit que la figure obtenue AMN, est une rƒduction de la figure initiale ABC.
Si k > 1, on dit que la figure obtenue AMN, est un agrandissement de la figure initiale ABC.
b) Propriƒtƒ :
Si k est le coefficient d’agrandissement ou de rƒduction d’une figure, alors les aires sont multipliƒes par k‡ et les volumes sont multipliƒs par k3.
Exemple : ABC est un triangle rectangle en B.
AI = 4,5 cm, AB = 6 cm, AJ = 7,5 cm et AC = 10 cm.
Montrer que
( )
IJ //(
BC .)
Montrer que AIJ est une rƒduction de ABC, et calculer le coefficient de rƒduction.
Par quel nombre faut-il multiplier l’aire Ade ABC pour obtenir l’aire A’de AIJ ?
Remarque : il n’y a donc pas besoin de calculer les aires des triangles AIJ et ABC.
Il n’y a donc pas besoin de calculer BC ni IJ.
On est dans les bonnes conditions. AI AB= 4,5
6 = 3 4et AJ
AC= 7,5 10 = 3
4. D’apr€s la rƒciproque du thƒor€me de Thal€s,
( )
IJ //(
BC .)
Donc d’apr€s le thƒor€me de Thal€s, IJ BC= AI
AB= AJ AC= 3
4. Donc AIJ est une rƒduction de ABC de coefficient k = 3
4. Alors A’ =
3
4 A = 169 A .
c) Placer un point sur une droite ou un segment :
Sur une droite quelconque (AB), placer les points M et N tels que MA MB = 2
3et NA NB= 5
3
A
B C
I J
2
