Actes Auch 2009 - Communications
COMMUNICATIONS
C1 : T. ASSUDE, P. EYSSERIC, MH. LALLEMENT, JL. IMBERT : Un dispositif de formation continue « hybride » : les parcours Pairform@nce.
C2 : E. LAGUERRE : La question du sens des mathématiques pour des élèves de l’école primaire illustrée par une étude du parallélisme et de la proportionnalité dans la cour.
C4 : JF. GRELIER : Reproduire et/puis représenter à l’école maternelle
C5 : S. et K. HACHE : TICE et recherche : des pistes d'échanges avec l'association Sésamath
D1 : D. BLOCK : Difficultés et réussites des enseignants mexicains de l’école primaire face aux programmes de tendance constructiviste de la dernière décennie
D3 : HC. ARGAUD, MP. DUSSUC, J. DOUAIRE : Alternance et formation en mathématiques - Des exemples en PE2 et en T1 D4 : F. WOZNIAK, R. THOMAS, M. FRONT, Y. GRÉGOR : Intégration d’un logiciel de géométrie dynamique dans la préparation au CRPE
(Annexe 1 et annexe 2)
D5 : ML. PELTIER, J. BRIAND : Le manuel scolaire, carrefour de tensions mais aussi outil privilégié de vulgarisation des recherches en didactique des mathématiques
D6 : C. SILVY : Site mathématique local d’un exercice
Communication C1
UN DISPOSITIF DE FORMATION CONTINUE « HYBRIDE » : LES PARCOURS PAIRFORM@NCE
Teresa Assude, Pierre Eysseric, Jean-Louis Imbert, Marie-Hélène Lallement-Dupouy Université de Provence (IUFM) & Université du Mirail – Toulouse (IUFM) t.assude@aix-mrs.iufm.fr
Résumé
Dans cette communication, nous présentons un travail fait dans le cadre d’un dispositif de formation continue « hybride » (en présentiel et à distance) des enseignants (premier et second degré) lancé par la SDTICE (Ministère de l’Education Nationale). Dans un premier temps, nous présenterons le dispositif
« Pairform@nce », et la structure des parcours de formation (www.pairformance.education.fr). Dans un deuxième temps, nous nous placerons en tant que concepteurs d’un parcours de formation Pairform@nce concernant le domaine numérique à l’école primaire intitulé : Mathématiques au Primaire : calcul et calculatrices (MPC2). Nous expliciterons les principes sous-jacents à cette conception et montrerons quelques exemples concernant ce parcours. Dans un troisième temps, nous analyserons les différentes étapes de conception de ce parcours en mettant l’accent sur le travail collaboratif entre les enseignants, les formateurs et les chercheurs.
1 LES PARCOURS DE FORMATION PAIRFORM@NCE
Les buts du programme Pairform@nce sont indiqués sur le site plus haut. On peut y lire : « Le programme Pairform@nce est la déclinaison française d'un vaste programme de formation "structurelle"
destiné à augmenter l'usage des Technologies de l'Information et de la Communication (TIC) dans l'enseignement, et contribuer ainsi au développement de la "société de la connaissance" ».1 Ce programme de formation continue des enseignants proposé par le Ministère de l’Éducation Nationale s’appuie sur des parcours de formation qui sont conçus par des acteurs divers : des formateurs, des enseignants, etc., en vue de développer les usages des TICE dans le système d’enseignement en France.
Les dispositifs de formation prennent appui sur les parcours et sur le PAF (Plan Académique de Formation) des différentes académies. C’est un dispositif « hybride » car il peut y avoir de la formation à distance (des échanges, du partage des documents, etc.) et de la formation en présentiel. On peut encore lire sur ce site que les enseignants peuvent se former, non seulement aux usages des TICE, mais aussi au travail collaboratif et en réseau, car l’un des buts est de concevoir ensemble une séquence d’enseignement et d’apprentissage pour les élèves, de la mettre en œuvre, et de l’analyser dans le cadre d’un groupe de travail. Ainsi les parcours Pairform@nce sont organisés selon sept étapes, chacune des étapes proposant des activités et des ressources pour les enseignants en formation :
Étape 1 : Introduction à la formation
Étape 2 : Sélection des contenus pédagogiques visés. Formation des équipes Étape 3 : Auto-formation et co-formation en présence et à distance
Étape 4 : Production collective d’une séquence pédagogique Étape 5 : Mise en œuvre de la séquence de classe
Étape 6 : Retour réflexif collectif sur la mise en œuvre Étape 7 : Évaluation de la formation
1
http://national.pairformance.education.fr/mod/glossary/view.php?id=14&mode=&hook=ALL&sortkey=&sortor der=&fullsearch=0&page=0
Comme on peut le voir, la structure de ces parcours met l’accent sur la production, la mise en œuvre et l’analyse de séquences pour la classe, et sur le travail collectif. Ainsi on peut dire que ce type de parcours porte en germe plusieurs éléments qui peuvent transformer les pratiques des enseignants. Le premier élément est le travail sur les TICE et l’acquisition de compétences du C2I2e qui peut faire évoluer le rapport des enseignants aux technologies numériques vu que, différentes enquêtes montrent que ces technologies sont encore peu utilisées dans les classes (voir par exemple celle de Imbert (2008) concernant l’enseignement primaire). Le deuxième élément est celui du travail collectif. La culture professionnelle des enseignants est souvent une culture où l’enseignant est le maître dans sa classe, où il est seul face à la classe. Le travail collectif entre collègues de conception de séances n’est pas vraiment développé, sauf dans certains cas particuliers (comme participation à des associations, comme Sésamath). Le troisième élément est que l’enseignant n’a pas l’habitude d’aller observer un autre enseignant, et d’analyser ensuite conjointement la mise en œuvre observée, sauf dans des cas particuliers (comme en formation initiale). Ainsi, la structure des parcours Pairform@nce induit des possibles changements dans les pratiques et la culture professionnelle des enseignants. Mais ceci ne veut pas dire que ces changements auront bien lieu. Nous allons présenter le parcours MPC2, et ensuite nous intéresser aux effets de cette production collective d’une séquence pédagogique sur les pratiques des enseignants à partir de déclarations des enseignants.
2 LE PARCOURS MPC2 : MATHÉMATIQUES AU PRIMAIRE, CALCUL ET CALCULATRICES
L’intitulé de notre parcours de formation indique les principaux buts de ce parcours qui s’intéresse à la discipline de mathématiques et plus spécifiquement au domaine numérique à l’école primaire. Le fait que la calculatrice est une technologie numérique qui existe dans le curriculum officiel depuis un certain nombre d’années et qui est peu présente dans le curriculum réel nous questionne. Pourquoi ces résistances aux usages de cet outil ? Nous avons identifié par ailleurs (Assude 2007), un certain nombre de résistances à ces usages. Certaines de ces résistances ne sont pas spécifiques aux calculatrices ni à la France (Assude, Buteau & Forgasz 2009). Un certain nombre de travaux (Kynigos & al. 2007, Hoyles &
Lagrange 2009) ont montré que les usages des TICE dans les classes ne sont pas à la mesure des attentes institutionnelles.
2.1 Les objectifs
Face à ces résistances, il nous semble que la formation des enseignants peut être l’un des facteurs qui peuvent changer cet état de fait, en travaillant notamment à partir de ces résistances. Par exemple, l’une de ces résistances est l’opposition entre le calcul instrumenté et les autres types de calcul (mental et posé). Ainsi, notre parcours de formation vise à travailler à partir de ces résistances des enseignants, pour ensuite concevoir des activités et des ressources qui montrent que les différents types de calcul (mental, posé, instrumenté) sont complémentaires et que l’élève peut ainsi apprendre à avoir un rapport plus adéquat au calcul et au champ numérique.
Pour nous placer dans le cadre des principes des parcours Pairform@nce, les objectifs visés par le parcours MPC2 sont les suivants :
- Travailler sur les représentations des enseignants sur les calculatrices - Connaître des ressources disponibles des différents usages des calculatrices
- Concevoir des séquences d’enseignement où la calculatrice a différentes fonctions pour l'apprentissage du domaine numérique (par exemple être un outil pour améliorer les performances des élèves sur la numération positionnelle)
- Mettre en œuvre ces séquences dans les classes - Analyser conjointement des séances en classe
- Produire une ressource (texte ou cd-rom) à partir de ce travail
- Apprendre à mutualiser et à travailler avec des collègues d'une manière collaborative sur la conception, l’analyse de séquences d’enseignement
2.2 Les principes
Ce parcours, outre l’appui sur la structure des parcours type Pairform@nce, se fonde sur notre expérience dans la conception d’ingénieries de formation autour des calculatrices et autour des usages de logiciels de géométrie dynamique dans des classes de l’enseignement primaire. Notre postulat de base pour la conception d’ingénieries de formation (Assude 2009) est « systémique et fonctionnel ». Cela veut dire que les ingénieries de formation sont bâties à partir d’un certain nombre de dimensions qui forment un système. Ces dimensions sont les suivantes :
- la dimension épistémologique concernant la nature du travail mathématique ;
- la dimension institutionnelle concernant les attentes de l’institution en ce qui concerne l’enseignement du calcul et du champ numérique avec ces technologies ;
- la dimension praxéologique concernant le travail mathématique proposé aux élèves ;
- la dimension instrumentale concernant l’organisation des processus de genèse instrumentale ; - la dimension personnelle concernant les représentations, les valeurs et les pratiques des acteurs ; - la dimension de l’analyse et de la production des ressources ;
- la dimension temporelle prenant en compte la durée nécessaire pour que les pratiques puissent changer.
Chaque dimension est nourrie à la fois par des éléments théoriques et « justifiée » par les fonctions que les différents éléments viennent remplir. Ces fonctions peuvent être liées à des besoins théoriques, à des besoins pragmatiques, à des besoins des acteurs ou à des besoins institutionnels. Ces principes nous permettent de définir des contenus de formation dans le parcours MPC2.
2.3 Contenus de formation
Les contenus de formation sont organisés en trois niveaux : le niveau des acteurs, le niveau de l’école, des mathématiques et des ressources, et le niveau de la classe. Ils sont organisés de la manière suivante :
Nous précisons ensuite dans le parcours ces contenus :
Nous avons présenté dans Assude et Eysseric (2008), une ingénierie de formation autour des calculatrices qui prennent en compte ces dimensions. Nous y renvoyons le lecteur. Nous donnons ici seulement un exemple concernant la dimension personnelle décrit en Assude (2009) :
« Depuis très longtemps, des travaux en didactique des sciences (moins en didactique des mathématiques) ont montré l’intérêt de partir des conceptions initiales des élèves à propos d’une notion pour ensuite bâtir des ingénieries didactiques à partir de ces conceptions (souvent erronées) (Joshua et Dupin 1993). Les travaux sur les représentations des enseignants (Robert & Robinet 1992)) ont aussi montré que les pratiques des enseignants dépendent de leurs représentations sur les mathématiques, l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques. Ces travaux nous incitent à prendre comme variable pour la formation le travail sur les représentations des enseignants à propos des usages des calculatrices. En outre le travail de Favre & Tièche-Christinat (2007) et notre propre travail sur les calculatrices à l’école primaire (Assude 2007) ont permis de mettre en évidence un certain nombre de résistances sur lesquelles nous avons intérêt à nous appuyer pour faire évoluer les pratiques existantes avec les calculatrices à l’école primaire qui restent très limitées. Le but est de travailler à partir du positionnement des acteurs par rapport à cet artefact, et de créer les conditions pour qu’il y ait une adhésion et un engagement.
La question travaillée ici sera : quelles représentations les professeurs (ou stagiaires) ont-ils sur les calculatrices et sur leur usage à l ‘école primaire ? Ce travail peut être fait à partir d’un questionnaire. Ce questionnaire est constitué de questions ouvertes et de questions fermées à propos des rhétoriques utilisées pour défendre ou non les usages des calculatrices.
Une phase collective est conseillée pour mettre en évidence les arguments pour ou contre l’utilisation de la calculatrice. Le travail proposé par la suite tiendra compte de ce type d’arguments. Par exemple, pour les personnes qui affirment que l’usage des calculatrices empêche les élèves d’apprendre à calculer mentalement, des types de tâches seront proposés pour montrer la complémentarité de ces deux types de calcul : calcul mental et calcul instrumenté. »
2.4 L’organisation du travail
Le groupe de conception du parcours MPC2 est constitué de quatre formateurs, trois d’entre eux ont déjà travaillé ensemble dans la conception d’ingénieries de formation. Dans un premier temps, nous nous sommes mis d’accord sur les principes qui fondent notre travail, ce qui n’a pas été difficile vu le
travail précédent. L’un de ces principes, qui fonde le travail fait ensuite avec les enseignants, est que la conception de séances doit tenir compte de deux conditions : la première est de montrer la plus value des calculatrices dans le travail mathématique de l’élève ; la deuxième est de montrer l’une des fonctions de la calculatrice dans ce travail, par exemple celle où la calculatrice est un outil pour l’apprentissage de la numération de position, ou celle où la calculatrice est un outil pour la résolution de problèmes2. La deuxième étape est celle de la constitution d’équipes de travail (formateurs et enseignants). Trois équipes de travail ont été constituées, chacune pilotée par un formateur : une à Avignon, une deuxième à Banon et une troisième à Tarbes. Nous préciserons plus loin le fonctionnement interne de l’une de ces équipes. Le travail dans chacune des équipes est à la fois un travail de co-formation, et ensuite de conception, de mise en œuvre et d’analyse de séances ou séquences en classes. Cette étape est finalisée par un produit qui peut prendre la forme d’un diaporama ou d’un document texte.
La troisième étape est celle de la mutualisation du travail des trois équipes : chacune des équipes prend connaissance du travail des autres, et le but est d’échanger, de partager mais aussi d’analyser le travail fait par les autres en vue de faire évoluer les documents produits dans la deuxième étape.
La conception du parcours de formation MPC2 tient compte de cette analyse et production de documents, non seulement par les documents eux-mêmes qui doivent figurer dans les ressources du parcours mais aussi par l’analyse des apports et des difficultés de ce travail qui se veut collaboratif. La production et l’analyse de ressources prennent une place importante dans le parcours MPC2 ce qui rejoint la structure et les principes des parcours Pairform@nce.
Le parcours MPC2 peut être vu, d’une manière globale, sur le site national de Pairform@nce. Nous n’allons pas le faire ici. Nous allons présenter l’organisation de l’équipe d’Avignon et analyser les effets déclarés par les enseignants de ce travail collaboratif sur leurs pratiques. Mais avant nous voulons expliciter quelques éléments théoriques et une hypothèse de travail.
3 POTENTIEL DE TRANSFORMATION : HYPOTHÈSE DE TRAVAIL
Nous allons reprendre ici quelques éléments théoriques développés dans Assude & Loisy (2008, 2009) pour aborder la question des changements des pratiques. Nous appelons potentiel de transformation d’un parcours de formation (ou d’un dispositif de formation), « les réponses présentes dans ce dispositif aux différents besoins que nous avons identifiés, qui permettent potentiellement aux acteurs et aux institutions de se transformer de manière à co-construire une autre culture professionnelle qui tienne vraiment compte des technologies numériques ». Ces besoins élémentaires sont les suivants :
- besoins épistémologiques : en quoi les technologies numériques changent la nature des savoirs et aussi des savoirs enseignés ?
- besoins instrumentaux : quels artefacts sont-ils utiles pour les apprentissages et comment les utiliser ?
- besoins éducatifs et pédagogiques : en quoi les technologies numériques changent les rapports entre les sujets entre eux, entre les sujets et les institutions ?
- besoins didactiques : quelles situations d’enseignement et d’apprentissage pour que les usages des technologies soient pertinentes ?
- besoins documentaires : quelles ressources pour aider les enseignants à changer leurs pratiques ?
- autres besoins professionnels : quels sont les justifications et les valeurs concernant le métier ? Nous avons fait l’hypothèse par ailleurs, à la suite d’analyses de parcours de formation Pairform@nce, que les étapes de la production, de la mise en œuvre et de l’analyse de séquences d’enseignement a un fort potentiel de transformation. Certes, cette force tient au fait d’échanger, de communiquer mais il tient aussi au fait qu’« il s’appuie sur les pratiques habituelles des enseignants qui peuvent être questionnées par les
2 Nous suivons ici le document d’accompagnement du programme de mathématiques pour l’école primaire de 2002 consacré aux calculatrices. Pour des exemples, voir aussi l’article de Charnay (2008).
autres, par les apports théoriques, par les apports d’exemples de situations pour les élèves. La « mise en question » des pratiques habituelles est ainsi une des conditions du fort potentiel de transformation : mettre les pratiques en question est ainsi une manière de « se mettre en question », d’être disponible à la transformation. Cette mise en question est d’autant plus facilitée si le parcours de formation (ou le dispositif de formation) apporte des réponses satisfaisantes à un plus grand nombre de besoins, et que la distance de ce potentiel n’est pas très éloignée des pratiques habituelles des enseignants. »
4 QUEL POTENTIEL DE TRANSFORMATION ? ANALYSE D’UN CAS
Nous allons partir de cette hypothèse et voir ce qui s’est passé dans le cas de notre parcours MPC2. Quel est le potentiel de transformation de ce parcours déclaré par les enseignants? Nous allons nous appuyer sur le discours des enseignants qui ont participé à la conception de ce parcours à partir d’un premier bilan rapide en réponse à un questionnaire. Nous allons le faire essentiellement à partir du travail fait dans l’équipe d’Avignon.
4.1 Organisation de l’équipe d’Avignon
Le groupe d’Avignon est constitué par quatre enseignantes (deux en CE2 et deux en CM1) et une formatrice. Nous allons d’abord décrire l’organisation du travail commun et ensuite nous donnons des éléments de réponse à l’impact déclaré de ce travail sur leurs pratiques. Le travail en commun est organisé en quatre étapes que nous passons à décrire :
Étape 1 – Documentation (à distance)
Divers documents concernant les fonctions possibles de la calculatrice en classe illustrées par des exemples d’activités ont été envoyés par mail pour info avant la réunion de présentation effective du projet.
Étape 2 – Réunion plénière (4 enseignantes et une formatrice) : choix des thèmes et des modalités de travail. Des décisions sont prises concernant le choix du thème et les modalités de travail. Il s’agit de :
• préparer une séquence d’apprentissage (les grandes lignes) pour chacun des deux niveaux de classe concernés (le CE2 et le CM1) après avoir choisi une ou deux fonctions de la calculatrice et le thème de travail ;
• définir les modalités de travail permettant une mutualisation des pratiques et une co-préparation à distance ;
• préciser les traces écrites communes à réaliser au cours de l’expérimentation.
Étape 3 – Réunions par niveaux : conception, analyse, régulation, choix (alternance présentiel et distance)
Niveau CM1 : les deux enseignantes se sont rencontrées une fois avant la mise en place des séances essentiellement pour la préparation des documents et du déroulement de la première séance. Puis une des deux PE a pris en charge la rédaction des fiches de préparation des deux premières séances qu’elle a envoyées par mail au fur et à mesure, celle-ci a, par ailleurs, pu assister aux quatre séances de la progression de sa collègue. La formatrice et les deux enseignantes se sont retrouvées toutes les trois quatre fois pour observer et analyser à chaud la séance menée par une des deux PE, proposer des aménagements pour réaliser la même séance dans l’autre classe et donner les grandes lignes de la séance suivante.
Après la seconde séance de la séquence, toutes les trois se sont rencontrées en dehors de la classe pour réguler, préparer les grandes lignes des deux autres séances, lister les thèmes sur lesquels qu’il serait bon de travailler en parallèle en calcul mental (comme par exemple les différentes écritures d’un nombre, le calcul mental réfléchi pour le calcul approché, ...) et décrire des activités possibles.
Niveau CE2 : les deux enseignantes se sont réunies une première fois pour construire l’évaluation diagnostique puis ont d’abord échangé leur fiche de préparation par mail pour les séances n° 1 (évaluation diagnostique) et n° 2. Une des deux PE a pu assister à la séance 2 chez sa collègue et ainsi grâce à l’analyse à chaud à la suite de cette observation, réajuster ses prévisions pour la mener dans sa classe. A partir de la séance 3, les échanges entre elles se sont faits uniquement par mail, mais il s’agissait davantage de mails informatifs ; la formatrice a été présente à chaque séance chez les deux enseignantes, et elle a pu réguler avec elles au fur et à mesure. En outre, elle a de temps en temps apporté quelques compléments didactiques par mail notamment sur les sens de a − b construits au cycle 2 et sur l’équivalence de « a pour aller à b » et b − a.
Comme pour le CM1 après la deuxième séance de la séquence, toutes les trois se sont rencontrées en dehors de la classe pour réguler, préparer les grandes lignes des autres séances, mettre en évidence que la calculatrice n’est qu’un outil parmi d’autres pour aider à développer des apprentissages sur la numération positionnelle, et que des séances sans la calculatrice sont nécessaires et font tout autant partie de la séquence.
Étape 4 : Observation et analyse de séances (présentiel)
Cette étape est entrelacée avec l’étape 3. Il s’agit d’aller observer des séances menées par d’autres, d’analyser ce qui s’est passé, d’analyser les productions des élèves.
Étape 5 : Production d’un diaporama à partir des séances conçues, observées et analysées.
Étape 6 : Bilans (distance et présentiel)
Dans un premier temps, chaque enseignante a répondu à un questionnaire pour faire le bilan des apports du travail en groupe (à distance et individuellement).
Une réunion, en fin d’année, est organisée pour faire un bilan collectif du travail réalisé dans les classes c'est-à-dire pour :
• la présentation par les collègues des séances réalisées, difficultés rencontrées et remédiations apportées ;
• la présentation du diaporama réalisé sur le CM1 et des questions autour de sa lisibilité et de sa pertinence pour une formation à distance ;
• les propositions pour la suite.
4.2 Analyse des réponses au questionnaire : quels besoins identifiés ?
Notre analyse se fonde sur les discours des enseignantes tenus dans les réponses au questionnaire pour essayer de voir comment répondre à notre question : quel est le potentiel de transformation déclaré du parcours MPC2, notamment en ce qui concerne les étapes de production, de mise en œuvre et d’analyse de séquences d’enseignement ?
Pour cela, nous allons identifier les besoins auxquels le parcours de formation a permis d’apporter des réponses aux enseignants, et cela à partir de deux éléments : les représentations et les pratiques.
Certains enseignants insistent sur le fait qu’ils ont changé leurs représentations concernant les usages des calculatrices en classe, comme nous pouvons le voir dans les citations suivantes :
« Complètement. Cette expérience m’a permise d’envisager la calculatrice comme un outil de questionnement, voire de découverte de propriétés mathématiques plutôt qu’un outil essentiellement de vérification ».
et
« oui car la calculatrice a été un outil dans l'apprentissage, mais son utilisation a aussi fait ressortir des difficultés en numération pour certains élèves (difficultés qui étaient plus ou moins « cachées » jusqu'alors) ».
Mais ce parcours peut aussi ne pas faire changer les représentations même si l’enseignant trouve un intérêt de ce travail par la dimension didactique :
« Non, mais cela m'a permis d'avoir des séquences très intéressantes ».
Les changements de pratiques, de manière analogue que les représentations, s’ils existent ne sont pas des changements en rupture. Certains insistent sur les différences de pratiques :« Un regard différent de l’utilisation de cet outil en classe. De plus les enfants apprennent à s’en servir de plusieurs façons sans rechercher immédiatement les résultats exacts ».
et d’autres préfèrent parler d’une continuité :
« non et oui,dans l'idée de traiter la calculatrice en tant qu'objet technologique aux fins mathématiques ».
comme l’indique l’utilisation du mot « aussi » :
« De ce fait, j'utilise aussi la calculatrice comme un outil dans la construction du nombre et outil pour évaluer ».
Les changements de représentations et/ou de pratiques ne sont pas forcément des « grands changements » mais ce parcours a permis aux acteurs de trouver un certain nombre de réponses à des besoins élémentaires du métier d’enseignant. Nous indiquons ici quelques-uns de ces besoins et quelques-unes des réponses à ces besoins.
Les enseignants ont indiqué des réponses à des besoins didactiques, par exemple en travaillant sur des activités, séances ou séquences où la calculatrice est « autre chose qu’un outil de vérification ». Les enseignants parlent de la calculatrice comme outil de questionnement, comme moyen de découverte de propriétés mathématiques, comme outil dans la construction du nombre et comme outil pour évaluer.
Certaines de ces réponses étaient apportées par le parcours, d’autres non (comme celle où la calculatrice est un outil pour évaluer).
Les enseignants ont indiqué des réponses à des besoins instrumentaux, par exemple le fait d’apprendre à se servir de la calculatrice de plusieurs façons, ou alors d’étudier la calculatrice comme outil technologique à des fins mathématiques. Ici encore, certaines des réponses ont été construites pendant le travail de co-conception des séances.
Les enseignants ont aussi mis en évidence des réponses à des besoins documentaires, en mettant l’accent à la fois sur l’importance de la lecture et de l’analyse de ressources déjà existantes et sur la production de ressources (fiches de préparation mais ensuite aussi le diaporama), comme l’indique cette citation :« des ressources ainsi produites ont été réfléchies, testées et analysées en équipe (avec un spécialiste de la discipline). Elles peuvent s’insérer dans une programmation annuelle quelle que soit la méthode suivie, pour travailler un point précis ».
Les enseignants ont aussi mis l’accent sur les réponses apportées à des besoins professionnels autres que ceux déjà énoncés, comme par exemple le fait que la calculatrice peut être un révélateur des difficultés
« cachées » de l’élève ou encore la calculatrice comme « prétexte » au travail en équipe. Ce travail en équipe est l’un des principes des parcours Pairform@nce. Dans le parcours MPC2, les enseignants retrouvent ces principes car ils parlent de l’importance des échanges d’idées, de partage d’expériences et de connaissances, et aussi de l’importance des questionnements sur la pertinence des choix, sur les adaptations à faire à différents publics, et finalement sur les appropriations collectives qui « supportent » les appropriations individuelles des enseignants.
5 CONCLUSION
Nous avons travaillé avec un petit nombre d’enseignants par rapport à l’ensemble des enseignants pour que nous puissions considérer que nos résultats sont généralisables. Ils nous permettent de faire des hypothèses pour la suite des travaux de recherche sur les parcours Pairform@nce et leurs effets sur les pratiques enseignantes. Dans cette conclusion, nous voulons formuler quelques-unes de ces hypothèses.
L’un des effets du parcours MPC2 que nous pouvons identifier par les déclarations des enseignants est celui de l’élargissement du topos de l’enseignant. Certes, des gestes professionnels comme concevoir, mettre en œuvre ou analyser des activités pour les élèves font partie de la profession de l’enseignant.
Mais l’élargissement du topos de l’enseignant vient ici du fait que l’enseignant peut assumer d’autres fonctions que celle du maître qui agit. Ce qui change c’est le topos de l’observateur, le topos d’aide à l’analyse et le topos de l’aide à l’évaluation. L’enseignant a pu, d’une manière systématique pendant le temps de notre expérience, être celui qui observe et celui qui est observé, celui qui analyse et celui qui aide à l’analyse. Comme le dit l’un des enseignants : « se rendre compte des écueils du déroulement ».
L’élargissement du topos du professeur apparaît comme un des effets du parcours ayant un impact positif sur les pratiques des enseignants. Nous pouvons dire qu’il y a là une ouverture du champ des possibles de l’action didactique du professeur, comme l’indique aussi la citation suivante :
« Il n’est pas toujours facile d’évaluer l’efficacité de ce que l’on fait en classe et lorsqu’on est dans l’action, il n’est pas toujours facile de voir la réaction de tous les élèves et de penser d’autres moyens d’action. Il est encore plus intéressant d’être observé par un collègue-spécialiste dans la discipline».
Le travail en équipe est aussi un moment où peuvent apparaître certaines difficultés. L’une de ces difficultés rencontrées dans l’équipe d’Avignon est d’ordre temporel. Certes, le temps n’est pas élastique et ce type de travail implique un gros investissement en temps qui doit être pris en compte par la formation continue pour créer ainsi des conditions favorables à l’investissement des acteurs dans les changements de pratiques. En plus, une autre difficulté concernant le choix du thème de travail est aussi d’ordre temporel. La difficulté du choix du thème est d’autant plus difficile qu’il s’intègre dans une progression car ce choix se heurte à des valeurs concernant le métier. Il est plus facile de travailler en équipe si cela concerne peu de séances ou simplement quelques activités. Il semble plus difficile de travailler en équipe lorsqu’on veut faire un travail de longue durée et de progression commune car cela implique de se mettre d’accord sur des principes génériques concernant le métier.
Pour finir, nous formulons une hypothèse de travail qui est la suivante : la force du potentiel de transformation d’un parcours de formation (ou d’un dispositif de formation) apparaît assez « forte » si un certain nombre de besoins trouvent des réponses qui puissent satisfaire les acteurs, qui puissent élargir leur topos et ouvrir le champ des possibles de l’action didactique.
6 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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Communication C2
LA QUESTION DU SENS DES MATHÉMATIQUES
ILLUSTRÉE PAR UNE ÉTUDE DU PARALLÉLISME ET DE LA PROPORTIONNALITÉ DANS LA COUR DE L’ÉCOLE
Eric Laguerre Laboratoire André Revuz Université Paris Diderot Paris 7 elaguerre@club-internet.fr
Résumé
Cette communication a été proposée lors du colloque COPIRELEM de Auch en juin 2009.
Elle s’appuie sur un travail en cours sur la question du sens qu'une notion ou qu’une activité mathématique peut prendre au sein de l'enseignement primaire. Le cadre théorique est celui de la Didactique des Domaines d’Expérience.
L’auteur décline d’abord les composantes intérieures et extérieures du sens d’une notion.
Ensuite, un exemple de situation en classe de cycle 3 est développé, en plusieurs séances dont le but est de trouver la hauteur d’un arbre de la cour de l’école. Les difficultés des élèves, de représentation, de modélisation, ou liées à la proportionnalité en jeu sont évoquées.
1 INTRODUCTION
Le but de cette communication qui s’appuie sur un travail en cours est, dans un premier temps, de proposer une réponse à la question du sens qu'une notion ou qu’une activité mathématique peut prendre au sein de l'enseignement primaire. Nous tentons de répondre à la question : en quoi peut consister faire des mathématiques pour des élèves de l’école élémentaire ? Nous choisissons de scruter ce sens multiple tout à la fois à l’extérieur et à l'intérieur des mathématiques en nous plaçant, dans les deux cas, du côté du savoir et de celui de l’élève.
Dans un second temps, il s’agit d’analyser une situation construite et mise en œuvre dont l’objectif est – à partir d’un travail sur l’ombre – d’une part, de faire émerger une relation géométrique, le parallélisme, des propriétés numériques en rapport avec la proportionnalité et, d’autre part, d’apporter une solution à un problème posé à l’extérieur des mathématiques.
Même si nous empruntons ponctuellement certaines notions telles que celles d’obstacle ou de structuration du savoir à d’autres auteurs, notre cadre théorique est celui de la Didactique des Domaines d’Expérience (Boero, 2009 ; Boero & Douek, 2008).
2 CONSTRUCTION DU SENS EN MATHÉMATIQUES
A l’école, la question de la résolution de problèmes est un levier fondamental pour construire ce sens tant du point de vue institutionnel : « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages » (BO n°3 juin 2008).- que du point de vue de la recherche : « Un élève ne fait pas de mathématiques s’il ne se pose et ne résout pas de problèmes. » (Brousseau, 1989). D’une façon générale, nous pouvons considérer que ces problèmes peuvent être intra mathématique ou extra mathématique. Dans les deux cas, ils ne correspondent qu’à un élément de la composante intérieure et extérieure du sens d’une notion en mathématiques.
2.1 Composante intérieure aux mathématiques
En ce qui concerne la composante intérieure aux mathématiques du sens d’une notion, il s’agit pour nous de concevoir des points d’appui pour éclairer de l’intérieur des mathématiques un nouveau savoir enseigné à des élèves. Nous nous plaçons donc à la fois du côté de la notion, de l’activité et de l’élève.
Nous fondons notre réflexion sur l’idée que c’est en termes de structuration du savoir qu’il est possible de poser le problème du sens d’une notion (Chevallard, 1999). Cette structuration est en rapport avec les liens qui peuvent être tissés entre plusieurs notions d’un même domaine des mathématiques. Ainsi, dans le cadre de notre travail, la mise en relation de la notion de proportionnalité avec celles des échelles et des conversions d’unités qui relèvent toutes du domaine de l’organisation et de la gestion des données participe de leur prise de sens chez les élèves. La structure peut aussi être élaborée en prenant appui sur les liens qui peuvent être établis entre plusieurs domaines des mathématiques. Par exemple, notre texte met en évidence une liaison qu’il est possible d’instaurer entre le domaine des nombres et celui de la géométrie. D’une façon plus attendue, le domaine des grandeurs et mesures constitue une interface entre la géométrie et les nombres.
En second lieu, nous pouvons penser que les mises en fonctionnement logiques peuvent également contribuer à donner du sens aux notions mathématiques. Prenons le principe d’information maximale qui régit nos échanges de la vie de tous les jours. Si une personne dit qu’elle ne porte jamais de cravate bleue, nous en déduirons forcément qu’elle porte des cravates car dans le cas contraire, elle n’aurait pas précisé la couleur. En mathématiques, ce principe n’est plus valable et c’est la raison pour laquelle les élèves éprouvent quelques difficultés à admettre qu’un triangle équilatéral est aussi isocèle et qu’un carré est un rectangle.
En troisième lieu, nous pouvons considérer que certains problèmes intra mathématiques - c’est-à-dire strictement mathématiques et sans habillage - introductifs d’un nouveau savoir peuvent participer de la prise de sens interne aux mathématiques de ce dernier.
En quatrième lieu, en nous plaçant à présent un peu plus du côté de l’élève, c’est en termes d’obstacles (Brousseau, 1983) qu’il est possible de poser le problème du sens du savoir. Ce sens peut être approché grâce au dépassement de conceptions erronées qu’un élève peut avoir a priori à son sujet. Par exemple, l’une d’entre elles, très répandue au sujet de l’agrandissement est la suivante : pour agrandir, il faut ajouter. Cela constitue un obstacle à la reconnaissance du modèle proportionnel adapté à la notion d’échelle et parfois appelé « obstacle additif ». Ainsi, le dépassement de l’approche additive de la proportionnalité contribue à l’élaboration du sens de cette notion pour les élèves. De même, ne plus considérer le parallélisme comme une propriété intrinsèque à une droite mais comme une relation entre deux ou plusieurs droites constitue une prise de sens de cette notion. L’idée est de concevoir un enseignement qui favorise, d’une part, la mise en évidence d’éventuelles conceptions et, d’autre part, de permettre aux élèves de les dépasser si nécessaire.
Enfin, le cinquième point est en rapport avec les tâches mathématiques (Chevallard, 1999) qu’une notion permet aux élèves d’accomplir. Faire des mathématiques, dans l’univers scolaire, pour les élèves, revient, d’une part, à établir des procédures personnelles ou expertes efficaces dans la résolution d’un type de problèmes et, d’autre part, à comprendre et à justifier ces procédures. Ainsi, nous pouvons distinguer trois grandes catégories de tâches à l’école résolues à partir de la notion de proportionnalité (Comin, 2001) : la recherche de la quatrième proportionnelle, la comparaison de mélanges comprenant deux composants comme dans l’exemple d’un pot de peinture de couleur orange obtenue en mélangeant du rouge et du jaune, et la double proportionnalité que nous retrouvons dans la situation du nombre de bottes de foin nécessaires pour nourrir un troupeau qui est proportionnel à la fois au nombre de vaches et au nombre de jours.
2.2 Composante extérieure aux mathématiques
Pour ce qui est de cette composante extérieure qui concerne les points d’appui extérieurs aux mathématiques qui favorisent la prise de sens d’une notion, en nous plaçant du point de vue de l’élève, une approche langagière peut contribuer à la construction de ce sens. Ainsi, le connecteur positionnel
« et » peut être à une ou à deux places. Si nous disons que « Eric et Nathalie sont amis », il n’y a pas d’ambiguïté car le connecteur est à une place ; Eric et Nathalie sont amis l’un avec l’autre. En revanche, dans la phrase « Eric et Nathalie sont mariés » réside une incertitude car ils peuvent être mariés ensemble ou l’un indépendamment de l’autre. Nous retrouvons cette difficulté en mathématiques chez des élèves dans le cadre de l’étude des droites parallèles, des droites perpendiculaires et de la symétrie axiale. « Les figures F et G sont symétriques » : sont-elles symétriques l’une par rapport à l’autre ou l’une indifféremment de l’autre ? De même, lorsque les élèves considèrent le parallélisme de deux droites (d) et (d’) comme une propriété intrinsèque à chacune des droites (d) et (d’) et non comme une relation d’équivalence, c’est peut-être parce que le connecteur « et » n’est pas perçu comme étant à une place.
Le sens d’une notion peut être aussi abordé à l’extérieur des mathématiques grâce à un problème extra mathématique posé et vécu par les élèves dans la réalité ou au sein d’une autre discipline. Nous proposons la mise en scène d’un problème en situation qui prend du sens pour les élèves du fait qu’il motive l’enseignement d’une notion mathématique.
Ainsi, dans le but d’introduire les notions de droites parallèles, de proportionnalité et d’échelle, nous proposons à des élèves d’une classe de CM1/CM2 du Val d’Oise le problème de la mesure de distances inaccessibles dans la cour. Comment calculer la hauteur d’un arbre ? L’objectif est de proposer une réponse dans l’espace initial à partir de la mesure des ombres en la modélisant mathématiquement dans un espace plus familier celui de la feuille formatA4.
3 LA DIDACTIQUE DES DOMAINES D’EXPERIENCE (D.D.E.)
Notre démarche de travail dans l’espace dit « réel » nécessite un outil d’analyse pertinent. La D.D.E.
(Didactique des Domaines d’Expérience) est un cadre qui permet de traiter de nombreux contextes de façon unitaire. Elle est relative aux relations complexes qui se développent à l’école entre :
- le contexte interne de l’élève – ses conceptions, l’ensemble de ses schèmes, ses représentations, ses émotions, ses analyses –, qui lui permet de faire un repérage des données pertinentes du monde réel, un choix d'hypothèses supplémentaires sur le monde réel si cela est nécessaire, ce qui aboutit à un choix de représentation du monde réel ;
- le contexte interne de l’enseignant – ses conceptions, ses objectifs d’apprentissage, ses représentations, ses émotions, ses attentes – ;
- et le contexte externe – portion de réalité, objet de réflexion, signes, objets, contraintes physiques, discussion, analyse –.
Le fait qu’un modèle puisse constituer une nouvelle réalité nous interroge sur le sens de ce vocable.
Comment peut-on concevoir la réalité matérielle et en quoi consiste la modélisation du réel dans ce cas ? Aussi nous proposons à présent une acception du concept de réalité matérielle.
Nous concevons ce concept comme un certain niveau de notre rapport au monde envisagé sous les catégories du contexte et de l’événement. La réalité comprise dans le contexte externe de la D.D.E. est donc perçue selon le binôme contexte/événement. Nous entendons par événement la donnée d’un espace, d’un temps et d’une interprétation de faits observés. Nous comprenons le vocable « contexte » en tant qu’il est décrit par des objets, du matériel et des actions. Modéliser le contexte consiste à modéliser le matériel et l’action initiaux. Modéliser l’événement revient à l’interpréter dans le contexte modélisé ou à faire apparaître de nouveaux événements dans ce contexte qui permettent d’obtenir de nouvelles interprétations de l’événement. La réalité évolue donc au fur et à mesure que le modèle prend forme.
Nous proposons maintenant d’illustrer notre réponse au sens des mathématiques dans le cas particulier d’un problème en situation en rapport avec la mesure de distances inaccessibles (Laguerre, 2008).
4 UN EXEMPLE DE MISE EN SITUATION DANS UNE CLASSE DE CYCLE 3
4.1 Objectifs généraux et progression de la séquence
Nous allons préciser à présent les objectifs généraux des séances et les liens tissés entre elles.
Dans la première séance, les élèves doivent être capables de mettre en évidence une relation entre les mesures des longueurs de bandes de papier collées parallèlement sur des fenêtres et celles de leurs ombres obtenues sur des plans parallèles au sol, ce qui met en œuvre le concept de proportionnalité qui est l’objet de l’étude.
Au cours de la deuxième séance, une situation de réinvestissement de la première doit permettre aux élèves de « trouver une méthode pour calculer la hauteur d’un arbre » en prenant pour référence les mesures des longueurs connues d’un objet, de son ombre et de l’arbre en question. Après la mise au point de cette démarche par les élèves aidés en cela par l’enseignant de la classe et l’expérimentateur, nous nous rendons dans la cour pour procéder aux prises des mesures puis nous revenons en classe pour effectuer les calculs.
La troisième séance permet d’introduire et d’exploiter la notion de droites parallèles en permettant aux élèves de comprendre que les droites, matérialisées à l’aide de morceaux de ficelle, qui joignent un point d'un objet, ici la coupe d'un escalier en carton collée sur une fenêtre, à son ombre projetée sur une feuille de papier sont équidistantes. Le but est d’imaginer que les rayons du soleil sont parallèles pour parvenir à une représentation plane de l’ombre afin d’aboutir, dans la séance qui suit, à une autre démarche de calcul de distances inaccessibles.
La quatrième séance a pour objectif de travailler sur la notion de représentation à l’échelle et de produire une telle représentation pour la situation arbre/objet/ombres. Le but final étant d’effectuer la mesure instrumentée de la hauteur de l’arbre sur le dessin. Un travail sur les conversions d’unités prend place pour obtenir la hauteur réelle de cet arbre. Dans cette situation, la proportionnalité intervient comme un outil pour définir un nouveau concept, celui des représentations à l’échelle et permet la poursuite de la modélisation d’un phénomène physique en l’occurrence « les ombres ».
4.2 Analyse du problème en situation
Nous procédons à une analyse de la situation en termes :
- de contexte interne enseignant pour lequel nous précisons les objectifs d’apprentissage spécifiques visés, le scénario et les tâches,
- de contexte interne élève au regard de leurs conceptions et des connaissances disponibles, - et de contexte externe lié aux contraintes.
Nous décrivons la réalité selon le couple contexte/événement.
4.2.1 Première séance : « bandes de papier » Contexte externe
Matériel : le milieu matériel se compose de quatre paires de bandes de papier de 5 centimètres de large numérotées de 1 à 8, une paire regroupant deux bandes superposables. Elles sont placées verticalement et séparément sur des vitres situées dans un même mur, découplées et à différentes hauteurs. Les bandes sont associées de la façon suivante : fenêtre 1 : bandes 50 cm et 10 cm ; fenêtre 2 : bandes 30 cm et 10 cm ; fenêtre 3 : bandes 20 cm et 30 cm ; fenêtre 4 : bandes 50 cm et 20 cm. Les ombres de ces bandes de papier se projettent sur des feuilles fixées sur quatre tables. Les élèves disposent de double-décimètre, de mètres enrouleurs et de crayons à papier. Nous leur remettons une fiche sur laquelle sont inscrites les longueurs de leurs deux bandes de papiers et sur laquelle ils doivent consigner les deux mesures des ombres demandées. Les résultats sont rassemblés au tableau par l’enseignant dans l’ordre croissant des mesures des bandes. Nous pouvons considérer a priori et sans l’avoir vérifié que l’organisation des données de la situation sous forme de tableau de nombres peut, d’une part, soulager la mémoire de
travail lors du traitement de la situation et, d’autre part, favoriser le développement de procédures heuristiques plus riches. Au moment voulu, pour mettre en évidence la proportionnalité, les élèves ont à leur disposition des calculettes qui représentent alors un support à l’exploration de propriétés numériques.
Environnement : les élèves se répartissent en quatre groupes de six ou sept dans la salle de classe. Chaque groupe se place devant une feuille sur laquelle se projettent les ombres de deux bandes de papier. Il n’y a pas ici d’actions menées par les élèves à modéliser.
Contraintes : les conditions météorologiques doivent être fiables du point de vue de l’ensoleillement, ce qui représente une contrainte plus ou moins forte. Les élèves doivent tenir compte de leur position par rapport au soleil pour tracer correctement les ombres.
Contexte interne enseignant
Objectifs : l’objectif d’apprentissage de cette séance est d’aboutir à une approche scalaire de la proportionnalité. Pour cela, quatre objectifs sont visés. Les élèves doivent constater que :
- plus la bande est « grande » plus son ombre est « grande » ;
- la longueur d'une bande ne dépend ni de sa position sur la fenêtre, ni de sa hauteur ;
- à des bandes de mesures égales correspondent des ombres de mesures égales : la longueur de l'ombre ne dépend pas du choix de la fenêtre (correspondance en égalité) ;
- à la somme de deux mesures de longueurs de bandes correspond la somme des mesures de leurs ombres respectives (conservation en somme).
Les connaissances à mobiliser de la part des élèves lorsqu’ils ont à comparer des mesures concernent la comparaison des nombres entiers et décimaux en particulier la relation d’ordre, la notion de double ou de triple et des relations simples telles que 10 + 20 = 30 ou 20 + 30 = 50.
Tâches : deux binômes de chaque groupe ont pour tâche de tracer les ombres des deux bandes qui se projettent sur une feuille placée sur une table horizontale, de les mesurer au millimètre près - précision plausible dans le cadre de cette situation - et d'inscrire leurs mesures sur une fiche. Une fois les données rassemblées dans un tableau par l’enseignant, l’ensemble de la classe est amené à répondre à la consigne suivante : « Pouvez-vous faire des remarques au sujet des mesures que vous voyez au tableau ? ». Les élèves doivent en particulier mettre en relation les mesures des ombres et celles des bandes. Le choix des variables numériques est tel que nous pouvons penser qu’ils peuvent identifier les relations 20 = 10×2 et 50 = 20 + 30 et les relations correspondantes dans la suite des mesures des ombres, au moins de façon approximative, c’est-à-dire en tenant compte des erreurs liées aux mesures et aux calculs effectués à l’aide d’une calculatrice. Les élèves doivent aussi émettre des hypothèses expliquant le fait que certains n’ont pas trouvé exactement les mêmes relations (erreurs, incertitudes de mesures, segments mal tracés etc.). Nous pensons que les erreurs commises à deux ou trois millimètres près seront admises par les élèves et n’empêcheront pas une éventuelle validation d’un résultat qui concernerait les ombres. En effet, le réflexe que nous pouvons retrouver souvent chez de tels enfants est de justement négliger, à tort ou à raison, les chiffres de la partie décimale.
Contexte interne élève
Deux binômes de chaque groupe tracent au préalable les segments représentant les ombres puis la prise des mesures se déroule ensuite sans difficulté. Les données sont consignées dans un tableau visible par tous
les élèves. Bien que ces derniers se soient alors retrouvés en classe entière, ils ont continué au début de cette phase à raisonner en groupe. Aussi, aucune remarque n’est apparue chez les élèves des groupes 1, 3 et 4. En revanche, le groupe 2, a émis la remarque suivante : « La bande 3 est deux fois plus grande que la bande 4 ». Nous l’avons inscrite au tableau et à partir de cet instant, d’autres remarques ont été formulées :
Numéro bande Groupe
1 1
2 1
3 2
4 2
5 3
6 3
7 4
8 4 Longueur
bandes
50 10 20 10 30 20 50 30 Ombre sur table 90,8 18 36,4 17,6 55,4 36 91 55
Elève F : « L’ombre est plus grande à chaque fois, elle est plus grande que la bande. » Exp : « Oui, mais regardez les bandes de papier n’ont pas été prises au hasard » Elève A : « Elles n’étaient pas pareilles »
Elève F : « Si, il y en avait qui étaient égales. Deux à chaque fois sont les mêmes et les ombres aussi presque»
Exp : « Oui, les bandes de même longueur ont des ombres qui ont la même mesure. Cette mesure de longueur ne dépend pas de la fenêtre ni de la hauteur à laquelle se situe la bande de papier. D’après vous, pourquoi on ne trouve pas exactement les mêmes mesures ? »
Elève B : « Parce qu’on n’a pas mesuré pareil. »
Elève F : « Ou alors on n’a pas dessiné exactement le même trait. »
Exp : « On admet que les mesures des ombres de deux bandes de papier de même longueur sont égales. ».
L’expérimentateur intervient soit pour relancer les observations émises par les élèves si ces dernières ne correspondent pas exactement à celles attendues (1ère intervention) soit pour reformuler voire compléter leurs remarques (2ème intervention). La question et la conclusion liées à la précision des mesures auraient pu émaner des élèves.
Nous n’avons alors conservé au tableau qu’un exemplaire de chaque couple de mesures et nous avons demandé aux élèves de réfléchir sur la remarque faite par le groupe 2 en leur disant qu’ils pouvaient employer leur calculatrice s’ils le voulaient.
Elève A « 20 et 30 ça fait 50 et les ombres c’est presque pareil…»
Elève B « 20 c’est 10 fois 2 et pour les ombres on fait fois 2 aussi… » Elève A : « Oui, l’ombre est aussi presque le double ».
Evolution du contexte interne élève en particulier en termes d’apprentissages : en se fondant sur des ostensifs, les élèves ont mis en évidence les propriétés additives et multiplicatives de la linéarité liée à la proportionnalité des mesures des bandes et de celles de leurs ombres respectives. Les difficultés rencontrées sont en rapport avec les valeurs approchées des mesures. Certains ne pouvaient pas admettre les relations numériques ci-dessus. Pour cela, il a fallu chercher quelques causes des approximations obtenues.
4.2.2 Deuxième séance : « la hauteur de l’arbre » Contexte externe
Matériel : les élèves disposent de la trace écrite obtenue à la séance précédente à partir de laquelle ils doivent élaborer une méthode de calcul.
Dans un second temps, trois décamètres enrouleurs sont à leur disposition. Des lattes de bois constituent l’objet de référence dont on connaît la longueur (2 m). Trois groupes doivent prendre les mesures des longueurs retenues pour se mettre d’accord, au final, sur ces mesures. Un retour en classe est alors consacré au calcul. Les calculatrices peuvent être autorisées sachant que les élèves doivent malgré tout consigner leurs calculs sur une feuille.
Environnement : la première partie de la séance se déroule dans la classe et la seconde partie dans la cour.
Contraintes : les lattes doivent être placées perpendiculairement au sol. La prise des mesures de longueurs des ombres dans la cour relève de connaissances spatiales particulières en particulier celle du report de l’instrument de mesure.
Contexte interne enseignant
Objectif : l’objectif d’apprentissage visé est de compléter les propriétés de linéarité de la proportionnalité en faisant prendre conscience aux élèves de la nécessité d’un retour à l’unité dans certains cas de calculs d’ombres comme pour 71 cm. En premier lieu, grâce à un réinvestissement des résultats obtenus à la première séance, ils doivent calculer la mesure de la longueur de l’ombre de bandes de papier de 40 cm, 60 cm, 80 cm, 5 cm de long qui auraient été disposées dans les mêmes conditions que les précédentes.
Pour cela, les connaissances disponibles attendues de la part des élèves sont liées aux relations de
linéarité. Les trois premiers calculs (40, 60, 80) relèvent d’un tel réinvestissement direct (20×2, 40 + 20, 40×2), le calcul suivant (5) peut être favorisé par la relation 10÷2. Ce contexte permet de préparer le dernier calcul justement plus délicat (71).
Dans un second temps, cette séance a également pour objectif de mettre en œuvre une méthode de calcul de distance inaccessible déduite des derniers calculs. Si on peut mesurer la hauteur d'un objet vertical et la longueur de son ombre, ainsi que la longueur de l’ombre d'un autre objet vertical trop haut pour être mesuré directement, on peut calculer cette hauteur.
Tâches : il est dit collectivement aux élèves qu’ils doivent s’appuyer sur les résultats précédents pour trouver une méthode aboutissant dans un second temps au calcul de la hauteur cherchée. « Comment va- t-on pouvoir calculer la hauteur d’un arbre en utilisant les résultats que nous avons obtenus précédemment ? ».
« Comment va-t-on pouvoir calculer la hauteur d’un arbre en utilisant le fait qu’il y a proportionnalité entre la mesure de la longueur d’un objet, ici une bande de papier, et la mesure de la longueur de son ombre ? ». Cette tâche constitue un prolongement de celle qui a consisté précédemment à calculer la longueur de l’ombre d’une bande de papier. Mais ces deux tâches se trouvent aussi en rupture du fait du changement du type de longueur inconnue (objet ou son ombre). La seconde consigne qui est donnée aux élèves est de procéder, en trois groupes, à la prise des mesures dans la cour puis d’utiliser ces résultats pour calculer la mesure cherchée.
Contexte interne élève
Evolution du contexte interne élève en particulier en termes d’apprentissages : la situation a fonctionné car les élèves ont rapidement réinvesti la linéarité mise en évidence précédemment en particulier en utilisant ici les relations reliant 20 et 40 ; 40, 20 et 60 ; 40 et 80 ainsi que la relation qui lie les bandes de papier de 20 et 10 cm : 20 = 10×2 et 10 = 20÷2, ce qui leur a donné l’idée de la démarche pour la bande de 5 cm, 5 = 10÷2. La décomposition de 71 cm en 40 + 30 + 1 a ensuite été produite par les élèves. La difficulté est apparue pour 1 mais le passage par 5 a permis de comprendre la manière dont nous pouvions obtenir 1.
Le calcul 10 ÷ 10 a émergé après plusieurs échanges entre élèves. La difficulté liée aux calculs sur les nombres décimaux, qui n’étaient pas un objectif d’apprentissage, a été éludée grâce aux calculatrices.
Ces apprentissages ont permis aux élèves de trouver une méthode pour calculer la longueur de l’ombre de n’importe quelle bande toujours en référence au contexte précédent. Lorsque nous sommes revenus sur la question initiale de distances inaccessibles, les élèves, en explicitant le fait que dans la situation ombre/bande en connaissant trois longueurs nous pouvions en calculer une quatrième, ont émis l’idée qui consiste à prendre un objet de référence pour ensuite calculer la hauteur d’un arbre. Ils ont mis en évidence que dans ce cas et contrairement aux bandes de papier, c’est la longueur des deux ombres que l’on connaît.
4.2.3 Troisième séance : « parallélisme des rayons du soleil » Contexte externe
Matériel : le milieu matériel comprend quatre escaliers découpés dans du carton, fixés sur quatre fenêtres et dont les ombres se projettent sur quatre grandes feuilles de papier posées sur deux tables horizontales. Les élèves disposent, par groupe, d'une grande feuille de papier blanc de format 60 85× déjà mise en place, de doubles décimètres, de feutres pour dessiner le contour de l'ombre, de paires de ciseaux, d'un rouleau de ficelle fine, pour relier les points caractéristiques de l'escalier et leurs ombres, et de rouleaux de scotch pour fixer les morceaux de ficelles.
Contraintes : les contraintes « naturelles » de la situation sont, comme tout ce qui concerne les ombres d'objets, la présence du soleil et une bonne exposition de la salle. L'heure à laquelle se déroule l'expérience est également une contrainte puisque, suivant le fait que le soleil soit rasant ou pas, certaines ombres ne seront pas perceptibles. Le tracé de l'ombre doit être rapidement exécuté. Une autre contrainte est liée au fait que les feuilles sur lesquelles se projettent les ombres ne doivent pas bouger, c'est la raison pour laquelle nous les avons fixées au préalable.
Contexte interne enseignant
Objectifs : l’objectif d’apprentissage est de parvenir, grâce à des échanges entre élèves et à l’ostension, à une approche de l’ombre et au parallélisme des rayons du soleil. D’autres conceptions en rapport avec la course du soleil et son effet sur les ombres ont été étudiées par Douek (1999) qui travaille en s’appuyant sur le cadre théorique de la DDE. Aucune connaissance disponible n’est spécifiquement attendue de la part des élèves.
Pour nous, il s'agit, dans un premier temps, de réfléchir avec eux sur la nature de l’ombre d’un objet :
« Qu’est-ce qu’une ombre pour vous ? » pour réinvestir ces conceptions dans le cadre d’une modélisation du problème initial.
Dans un second temps, le but est de mettre en évidence le parallélisme des rayons du soleil ce qui permet d’aboutir à une définition de deux droites parallèles comme ayant un écart constant. Il est à noter que cette activité est réinvestie lors de la mise en place de la séance suivante relative à une nouvelle méthode de calcul de distances inaccessibles. Enfin, la question qui suit est posée : « Pourquoi a-t-on demandé de tracer le contour de l’ombre de l’escalier avant de relier les arêtes avec la ficelle et des bandes de papier avant de les mesurer ? » dans le but de leur faire comprendre que la longueur de l’ombre dépend aussi de l’heure à laquelle elle est mesurée. Même si plusieurs conceptions, sur lesquelles il ne s’agit pas ici de s’appesantir avec les élèves, sont sous-jacentes, il est tout à fait plausible que celle qui est attendue et qui est en rapport avec le fait que le soleil bouge, soit émise par certains d’entre eux.
Tâches : il est tout d’abord demandé aux élèves de nous dire ce qu’ils savent de l’ombre d’un objet en général.
Matérialisation du parallélisme des rayons du soleil
Ils ont alors pour première consigne, qui est donnée collectivement, de tracer à la règle le contour de l’ombre.
La seconde consigne, qui est communiquée à la classe réunie et après que la première soit exécutée afin de bien les distinguer, est de relier une arête de chaque marche à l’arête correspondante sur l’ombre projetée.
La troisième consigne consiste, pour les élèves, à faire un constat sur ce qu’ils obtiennent. Ils doivent constater que les ficelles qui sont censées représenter les rayons du soleil et qui relient un point de l’escalier à son ombre gardent le même écart (les rayons du soleil sont parallèles).
Les élèves ont à leur charge de tracer l'ombre de la coupe de l'escalier, de relier les points avec de la ficelle et de constater le parallélisme ceci afin qu’ils aboutissent au fait que les rayons du soleil peuvent être considérés parallèles.
Contexte interne élève
Certaines de leurs conceptions au sujet de l’ombre sont apparues :
Elève A : « Le soleil, par exemple, il est arrêté par moi c’est pour ça qu’il y a de l’ombre. « C’est quand y a plus de lumière. La lumière, elle passe pas, c’est pour ça qu’il y a l’ombre. »
Exp : « D’accord, mais pourquoi alors ce n’est pas tout noir si le soleil est arrêté ? »
Elève A : « Mais parce que le soleil il passe là quand même. Là lumière elle passe pas mais là elle passe !! »
