II) Proportionnalité et représentation graphique 1) Représentation graphique
Repère : un repère est composé
de 2 axes perpendiculaires : o les abscisses (horizontal) o les ordonnées (vertical)
d’une origine
d’une échelle (que l’on indique pour chaque axe) Coordonnées :
chaque point d’un graphique est repéré par ses coordonnées. On note : 𝐴(𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝐴; 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝐴).
Exemple : construire un repère (en choisissant judicieusement les échelles) pour représenter le tableau ci-dessous.
Nombre de t-shirt 1 3 8
Prix (en €) 7,50€ 75€ 30€
Constat :
Tous les points sont alignés
Si on prolonge la droite elle passe par l’origine 2) Proportionnalité
Le graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l’origine du repère.
Inversement, si un graphique représente des points alignés avec l’origine, alors il représente une situation de proportionnalité.
III) Quatrième Proportionnelle
Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le quatrième nombre (noté 𝑥) calculé à partir des 3 autres nombres déjà connus (𝑎, 𝑏 et 𝑐).
On a : 𝑏𝑎=𝑥𝑐
Donc (produit en croix) :
𝑎 × 𝑥 = 𝑏 × 𝑐 Exemple :
5 baguettes de pain coûtent 4,25€. Combien vais-je payer pour 3 baguettes ? Méthode 1 : je reviens à l’unité.
5 baguettes coûtent 4,25€, donc 1 baguette coûte 4,25
5 = 0,85€
Donc 3 baguettes vont coûter :
0,85€ × 3 = 2,55€
Méthode 2 : j’utilise la quatrième proportionnelle (produit en croix).
Nombre de baguettes 𝟓 𝟑 Prix en euros 𝟒, 𝟐𝟓€ 𝒙?
IV) Applications 1) Vitesse
Si un mobile parcourt une distance 𝑑 en un temps 𝑡 alors : la vitesse moyenne 𝑣 de ce mobile est
Remarque :
Grâce à l’égalité des produits en croix, on a aussi :
𝑑 = 𝑣𝑡
𝑡 = 𝑑/𝑣
Exemple :
Sur un parcours de 60 km, la vitesse moyenne d’un cycliste est de 30 km/h. Calculer la durée de son trajet.
2) Pourcentages Exemple :
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun.
60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons.
Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans les deux classes.
3) Agrandissement / Réduction
Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs de la figure de départ ; les angles ne sont pas modifiés.
Remarque :
Si le coefficient de proportionnalité est plus grand que 1, c’est un agrandissement ;
Si le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1, c’est une réduction.
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