Nom et prénom : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur l’énoncé et le brouillon.

• L’examen se déroule de 08H00 à 10H00.

• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel (pas de calculette).

• Répondez dans les cadres prévus à cet effet (et au verso si vous manquez de place).

• Déposez votre carte d’étudiant (ou document d’identité) sur le banc.

• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!

Question 1 – Théorie /4

Q1

Q1.1 /2

Q1.2 /2

Soit la distribution de force répartie 𝑝𝑝(𝑥𝑥,𝑧𝑧), telle que représentée sur le schéma suivant, qui s’étend de –𝑥𝑥𝐴𝐴 à 𝑥𝑥𝐴𝐴 en 𝑥𝑥 et 0 à 𝑧𝑧𝐵𝐵 en 𝑧𝑧. On désire la remplacer par une force équivalente unique.

Quel doit être la norme de cette force équivalente pour qu’elle soit équivalente au système de force répartie ? (Justifier !)

Quel est le point d’application de cette force équivalente (P_x, P_z) ? (Justifier !) (−𝑥𝑥_𝐴𝐴,𝑧𝑧_𝐵𝐵)z

y x

p(x,z) (𝑥𝑥𝐴𝐴,𝑧𝑧𝐵𝐵)

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Question 2 – Théorie /2

Q2 /2

Soit un couple de force {𝐹𝐹�,−𝐹𝐹�} dans l’espace en 3 dimensions. On vous demande de montrer que le moment total de ce couple est invariant dans l’espace.

A

B

x

y z

F

− F

Soit P un point quelconque,

𝐶𝐶_𝑃𝑃=𝑃𝑃𝐴𝐴����×𝐹𝐹�+𝑃𝑃𝐵𝐵����×−𝐹𝐹�

= (𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) ×𝐹𝐹�

=𝐵𝐵𝐴𝐴����×𝐹𝐹�

Ce qui montre bien que le moment total est indépendant de P.

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Question 3 – Statique /8

Q3

Q3.1 /2

Soit le système représenté ci-dessous, constitué de 4 barres pesantes de masse 𝑚𝑚 et longueur 2𝑙𝑙 pour AE, BD, et DH, et de masse ^𝑚𝑚

2 et de longueur 𝑙𝑙 pour EF. Une articulation permet la rotation de la barre BD autour du point B, et un rouleau permet la translation verticale du point A. Les barres sont articulées entre elles aux points C, E, D et F. Une masse 𝑀𝑀 est suspendue au point H, et un ressort de constante de rappel 𝑘𝑘 permet de garder le système à l’équilibre. Le ressort est à sa longueur libre lorsque 𝜃𝜃= 60°.

M

2l

A

B

C

D

E

F

G

H

k

θ

Représentez le diagramme du corps libre pour le corps entier en prenant soin de remplacer le ressort par des forces équivalentes.

Fr Fr

2l

B

C

D

E

F

G

H

LBy

θ

LBx LAx

Mg

2mg mg

0.5 mg

Page 4 / 7 Q3.2

/4

On vous demande de déterminer par la méthode des travaux virtuels la constante de rappel 𝒌𝒌 en fonction de 𝜽𝜽 pour que le système soit à l’équilibre.

𝑦𝑦𝐶𝐶=𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐶𝐶 =𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝛿𝛿𝜃𝜃 𝑦𝑦𝐹𝐹 =𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐹𝐹 =𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝛿𝛿𝜃𝜃 𝑦𝑦𝐺𝐺= 𝑙𝑙

2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐺𝐺 = 𝑙𝑙

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝛿𝛿𝜃𝜃 𝑥𝑥_𝐶𝐶=𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝛿𝛿𝑥𝑥_𝑐𝑐 =−𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝛿𝛿𝜃𝜃 𝑥𝑥𝐹𝐹= 3𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝛿𝛿𝑥𝑥𝐹𝐹=−3𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝛿𝛿𝜃𝜃

Au point C, on a la force de gravité pour deux barres : −2𝑚𝑚𝑚𝑚 1�_𝑦𝑦 et la force du ressort qui vaut 𝑘𝑘(2𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑙𝑙)1�_𝑥𝑥.

Au point G, on a la force de gravité : −^{𝑚𝑚𝑚𝑚}₂ 1�_𝑦𝑦.

Au point F, on a la force de gravité : −𝑚𝑚𝑚𝑚 1�_𝑦𝑦 et la force du ressort : −𝑘𝑘(2𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑙𝑙)1�_𝑥𝑥 𝛿𝛿𝛿𝛿=∑𝛿𝛿𝑥𝑥�𝑠𝑠 .𝐹𝐹�𝑥𝑥_𝑠𝑠 =−2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐶𝐶−1

2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐺𝐺− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑦𝑦𝐹𝐹+𝐹𝐹𝑅𝑅𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑐𝑐− 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑥𝑥𝐹𝐹 = 0 𝑘𝑘=13

4

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 2𝑙𝑙²𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃(2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 −1 )

Page 5 / 7 Q3.3

/2

Á partir du diagramme du corps libre, déterminez la(es) réaction(s) de liaisons au point A en fonction de 𝜃𝜃 par la méthode de votre choix.

𝐶𝐶𝐵𝐵= 0 =−2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 −5

4 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 −3 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 −4 𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴2𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 =− �25

4 𝑚𝑚+ 4𝑀𝑀� 𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 =−1

2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚(𝜃𝜃)�25

4 𝑚𝑚+ 4𝑀𝑀� 𝑚𝑚

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Question 4 – Théorème généraux /6

Q4

Q4.1 /2

Q4.2 /2

Soit un solide composé d’un demi-cercle et de trois barres de masse linéique 𝜆𝜆 [kg/m] comme représenté sur le schéma ci-dessous.

2R

2R

A

Calculez le centre de gravité du demi-cercle (Une réponse sans calcul ne sera pas prise en compte).

x y

𝑑𝑑𝑚𝑚=𝑅𝑅 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝜆𝜆 𝑥𝑥=𝑅𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝑥𝑥𝐺𝐺 =∫ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑚𝑚

𝜋𝜋𝑅𝑅𝜆𝜆 =� 𝑅𝑅² 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝜃𝜃

𝜋𝜋2

−𝜋𝜋2

=𝑅𝑅² 𝜆𝜆 [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃]

−𝜋𝜋2 𝜋𝜋2

𝜋𝜋𝑅𝑅𝜆𝜆 =2𝑅𝑅 𝜋𝜋 𝑦𝑦𝐺𝐺 = 0 (symétrie)

Calculez le centre de gravité du solide entier dans le système d’axe donné ci-dessous.

x y

O

𝑥𝑥𝐺𝐺=𝑅𝑅 𝑦𝑦_𝐺𝐺=�𝜋𝜋𝑅𝑅𝜆𝜆 2𝑅𝑅 �1 + 1𝜋𝜋�+𝑅𝑅 2𝑅𝑅𝜆𝜆 2�

6𝑅𝑅𝜆𝜆+𝜋𝜋𝑅𝑅𝜆𝜆 =𝑅𝑅²𝜆𝜆 2(𝜋𝜋+ 3)

6𝑅𝑅𝜆𝜆+𝜋𝜋𝑅𝑅𝜆𝜆=𝑅𝑅 2 𝜋𝜋+ 3 6 +𝜋𝜋

Page 7 / 7 Q4.3

/2

On suspend ce solide au point A à l’aide d’une articulation. Quelle sera la valeur de l’angle 𝛼𝛼 à l’équilibre ?

A

α

tan(𝛼𝛼) = 𝑅𝑅 𝑅𝑅 2 𝜋𝜋+ 3

6 +𝜋𝜋 = 1 2 𝜋𝜋+ 3

6 +𝜋𝜋