MS 204 – DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES:ONDES ET VIBRATIONS
Contrôle de connaissances
Lundi 5 Novembre 2012 – Durée : 3 heures
N.B. Documents autorisés : polycopié de MS204, notes, textes et corrigés des PC. Le contrôle est composé de trois exercices indépendants. Les vecteurs sont notés avec des caractères gras.
Exercice 1 : Ondes dans un fluide en rotation
On s’intéresse aux ondes susceptibles de se propager dans l’atmosphère terrestre ou l’océan, c’est-à-dire sur des milieux de très grandes dimensions et soumis à une rotation d’ensemble. Le problème est simplifié afin de s’abstraire de la courbure de la Terre, si bien que l’on considère une couche bidimensionelle de fluide incompressible, de masse volumiqueρ, de hauteurh, et soumise à une rotation d’ensemble décrite par le vecteur rotationΩ.
h
y
x z
Ω
FIGURE 1 – Couche de fluide d’épaisseurhsoumise à une rotation d’ensemble homogène décrite par le vecteurΩ.
1. On définit le nombre de Rossby par : RO = U
ΩL (1)
oùU est la vitesse caractéristique de l’écoulement,Lla dimension caractéristique des structures atmosphériques etΩla vitesse angulaire de la Terre. Quels sont les effets relatifs comparés par ce nombre ? Dans quelle limite a-t-onRO ≪ 1? Comparer les nombres de Rossby dans le cas d’un écoulement atmosphérique avecU ≃ 10m/s etL≃ 103km, et le cas d’un typhon avecU ≃100 m/s etL≃10km. Commentez.
2. On se place dans le casRO ≪ 1, et on admet que l’équation de Navier-Stokes s’écrit pour la vitesse relativevdans le repère tournant :
∂v
∂t =−gradp
ρ −2Ω∧v (2)
oùpreprésente la pression. En prenant la divergence de cette équation, montrez une relation simple reliant le laplacien de la pression à ρ, Ω et ωz, où ωz représente la composante verticale de la vorticitéω=rot v.
3. En prenant le rotationnel de (2), faites apparaitre une relation simple entre ∂ω∂tz,Ω et ∂v∂zz. En éliminantωz, montrez que l’on a :
∂△p
∂t = 4ρΩ2∂vz
∂z (3)
4. En utilisant la composante verticale de l’équation de Navier-Stokes (2), éliminez la vitesse verticale pour faire apparaitre l’équation de propagation pour la pression :
∂2△p
∂t2 =−4Ω2∂2p
∂z2 (4)
les ondes solutions de cette équation sont appelées ondes inertielles.
5. Établir la relation de dispersion pour une onde harmonique de pulsationωet de vecteur d’onde k. La propagation est-elle dispersive ? Isotrope ? Montrer que la pulsation ne dépend que de la direction de propagation de l’onde, pas de sa longueur d’onde, et s’écrit simplement en fonction de l’angleθentre le vecteur d’onde et l’axe de rotation(0z):
ω2 = 4Ω2cos2θ (5)
Quelle est la pulsation maximale des ondes géostrophiques inertielles ? Pour quel angle intervient- elle ? Dans quelle direction se propage une onde engendrée par une source vibrant très lentement ? 6. Pour une onde tridimensionnelle, on note la vitesse de phase cφ = ||k||ω2k, et la vitesse de groupecg =∇
kω. Calculez ces vitesses, et montrez quecg est perpendiculaire àk.
7. A partir de la relation d’incompressibilité, montrez que l’on a :k.u= 0. Représentez, dans le plan (x0z) (On supposera que la partie horizontale de la propagation est telle queky = 0, ce qui ne pose aucune restriction sur la généralité du problème) : un front d’onde, les vitesses de phase et de groupecφetcg, ainsi que le mouvement des particules.
Exercice 2 : Localisation dans un système faiblement désaccordé
On considère deux pendules consistant en une masse m reliée à son centre de rota- tion O1 et O2 par des fils inextensibles et sans masse de longueurs respectives L1 et L2. Les deux masses sont reliées entre elles par un ressort linéaire de raideur k. Le but de l’exercice est de montrer que lorsque les pendules sont faiblement désaccordés, les vibrations peuvent se localiser sur l’un ou l’autre des pendules.
O1 O
2
θ θ2
1
k x
y
m
m L1
L2
1. Calculez l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système. A l’aide du formalisme de Lagrange, donnez les équations du mouvement.
2. En considérant des angles petits, et en posant que les longueurs des deux pendules sont proches, soit : L1 = L, L2 = L(1 +△L), linéarisez et simplifiez les équations obtenues à la question précédente. Exprimez-les sous forme matricielleMX¨ +KX = 0, avecX = [θ1 θ2]t, et donnez les matricesKetMen fonction de△L,ωketωg tels que :
ωk2 = k
m, ωg2= g
L, (6)
3. Calculez les pulsations propresω1,2du système couplé. En notantR = ωωkg,ω¯1,2 = ωω1,2g , montrez que l’on obtient la relation suivante pour ces fréquences propres :
2¯ω21,2 = 2R2+ 1 + 1 1 +△L±
4R4+ 1− 2
1 +△L+ 1 (1 +△L)2
1/2
(7) Commentez les valeurs des fréquences propres lorsque△L=0. Que se passe-t-il si de plus la rai- deurk du ressort de liaison tend vers 0 ?
4. Calculez les déformées modalesφ1etφ2correspondant aux pulsations propresω1,2du système couplé. Que valent ces vecteurs lorsque△L=0 ?
5. la figure 2 montre comment les modes propres dépendent du paramètre de désaccord △L, pour deux valeurs différentes du coefficient de couplage R. Les lignes continues montrent les carrés des pulsations propres adimensionnées λ = ¯ω1,22 en fonction de △L. Les modes propres sont représentés par les graphes insérés aux valeurs △L=-0.04, 0 et 0.04, où l’on a dessiné les valeurs relatives des deux coordonnées deφ1 etφ2(en notantφ11etφ12les deux coordonnées de φ1). Par exemple, la figure 2(a) pour la valeur△L=-0.04 montre que les deux composantes deφ1 sont de signe opposé, et quasiment égales en valeur absolue.
φ11
φ12
φ21 φ22
FIGURE 2 – Variations du carré des pulsations propres adimensionnées λ = ¯ω1,22 en fonction du paramètre de désaccord △L, pour deux valeurs différentes du paramètre de couplageR. (a) : R =0.5, (b) :R =0.025. Inséré dans les figures : représentation des valeurs des valeurs relatives des deux coordonnées de φ1 et φ2 pour 3 valeurs de △L différentes. Tiré de C. Pierre : Mode localization and eigenvalue loci veering phenomena in disordered structures, Journal of Sound and vibration, 126(3), pp. 485-502, 1988.
Commentez les comportements observés lorsque R =0.5 et R =0.025. Pourquoi parle-t-on de modes localisés dans le casR =0.025 ? Les comportements observés se retrouvent-ils dans les formules démontrées aux questions 3 et 4 ?
6. On considère désormais les équations non linéaires com- plètes où l’on ne suppose plus les angles petits, tout en conser- vant l’hypothèse que le ressort ne travaille que dans la direction horizontale (hypothèse des rotations modérées). Montrez que le fait de poser θ2=0 équivaut à considérer le système représenté ci-contre. Donnez l’équation du mouvement non linéaire. En la développant à l’ordre 3 enθ1, indiquez la fréquence propre du système, et précisez si la non-linéarité est raidissante ou assou- plissante.
O1
θ1
x y
m L1
7. On suppose désormais que le ressort horizontal est non linéaire, si bien que sa force de rappel s’écrit enkX +kN LX3, oùX représente son élongation. Donnez l’équation du mouvement non- linéaire. En la développant à l’ordre 3 en θ1, trouvez la valeur minimale qu’il faut donner à kN L
afin de rendre la non linéarité du système raidissante.
Exercice 3 : Modes de poutres et de plaques minces
1. On considère une poutre mince en flexion selon les hypothèses d’Euler-Bernoulli. On notera E le module d’Young, I le moment d’inertie des sections, ρ la masse volumique et S l’aire de la section droite. On suppose une section rectangulaire d’épaisseur het de largeur b, si bien que S =bhetI =bh3/12. La longueur de la poutre est notéeLx, et on suppose que les conditions aux limites sont de type simplement supportée (ou rotulée) aux deux bornes du domaine. Calculez les modes normaux du système (fréquences propresωpet déformées modalesφpoutrep (x)).
2. On considère une plaque de dimensions latérales Lx ×Ly, d’épaisseur h. Suivant les hypo- thèses de Kirchhoff-Love, le modèle pour les vibrations de flexion de plaques minces équivalent au modèle d’Euler-Bernoulli pour les poutres donne la dynamique suivante :
ρh∂2w
∂t2 +D△△w= 0, (8)
où w(x, y, t)est le déplacement de transverse (mouvements de flexion), et D = 12(1−νEh32) est la raideur en flexion (ν le coefficient de Poisson). Donnez la relation de dispersion, commentez.
Comparez la vitesse de phase des ondes de flexion dans le cas de la poutre et de la plaque. Com- mentez.
3. On suppose des conditions aux limites de type simplement supportées pour la plaque, qui s’écrivent :
w= 0 et ∂2w
∂x2 = 0 en x= 0 et x=Lx, (9a)
w= 0 et ∂2w
∂y2 = 0 en y= 0 et y=Ly. (9b)
On souhaite calculer les modes propres vibratoires pour la plaque mince. Montrez qu’une so- lution à variables séparées de la formeΦplaque(m,n)(x, y) = φpoutrem (x).φpoutren (y)convient. Donnez les fréquences propres correspondantes. On prendra soin de normaliser les modesΦplaque(m,n)(x, y).
4. On se place dans le cas Ly ≪ Lx. On classe les fréquences propres de la plaque par ordre croissant. Comparez les premières fréquences de la plaque à celles de la poutre. Quel est le numéro du mode pour lequel apparait des déformations selon y, propre à la plaque ? Appliquez au cas Lx = 100Ly.
5. On reprend le cas de le poutre, et on suppose désormais qu’elle est soumise à deux efforts opposés, situés de part et d’autre du centre de la poutre, en x = Lx/2−aet x = Lx/2 +a, où aest une donnée. Les deux forces sont des impulsions temporelles de signe opposé. Montrez, en utilisant des arguments de type propagation d’ondes, que le déplacement du centre de la poutre sera identiquement nul. Démontrez-le par le calcul en utilisant la projection modale.
Formulaire
On rappelle les formules suivantes. Pour un scalaireu:
rot(gradu) =0 (10)
Pour deux vecteursAetB:
rot(A∧B) = (B.grad)A−(A.grad)B−Bdiv(A) +Adiv(B) (11)
div(A∧B) =−A.rot B+B.rot A (12)
Expression de l’opérateur bi-laplacien en coordonnées cartésiennes :
∆∆ =
∂4
∂x4 + ∂4
∂y4 + 2 ∂4
∂x2∂y2
(13)
