LA FONCTION CARRE

LA FONCTION CARRE

On considère la fonction carré définie par f(x) = x². On appelle P sa représentation graphique.

1) Quel est son domaine de définition ?

2) Quel est le signe de cette fonction ?

3) Comparer f(x) et f(-x) ? Que peut-on en déduire pour P ?

4) Soit a < b, factoriser f(b) – f(a). En déduire les variations de f sur R⁺et R^-.

5) Compléter la propriété suivante : Propriété :

Si 0 a b alors   _a² _b² Si a b 0 alors   a² b² 6) Dresser le tableau de variations de f et construire la représentation graphique P de la fonction f.

x –∞ +∞

x²

Cette courbe s'appelle une parabole.

Exercices :

image-antécédent : 45-46 p 202 comparaison : 64 p 231

2 3 4

-1 -2 -3 -4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1

1

x y

Fonction paire

Definition :

Un ensemble I de ℝ est dit symétrique par rapport à 0 si, pour tout x de I, - x appartient aussi à I.

Exemples : I = [-2;2] est symétrique par rapport à 0.

J=]-1;1 ] ne l'est pas car 1 ∈ J mais pas -1.

( quand on veut montrer qu'une propriété ne marche pas, on donne un contre-exemple) Définition :

Soit f une fonction définie sur I.

f est paire si I est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x de I, f(-x) = f(x) Exemple : soit la fonction f définie sur I = [-10;10] par f(x) = 7 x⁸+1 .

I est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de I , f(-x) = 7(−x)¹⁰+1 = 7 x¹⁰+1 = f(x) donc f est une fonction paire

remarque : pour tout entier naturel n pair on a (−x)ⁿ=xⁿ. Propriété :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Comme f(-x) = f(x) alors les points de la courbe d'abscisse x et -x ont la même ordonnée , ils sont à la même hauteur, donc symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (dans un repère orthogonal)

EXERCICE 1 : Les fonctions suivantes sont-elles paires ? a) f(x)= 5

3 x²+6 avec x ∈ ℝ b) f(x)=3 x²+4 avec x ∈ ] - 3 ; 3 ].

c) f(x)=2 x²+6 x+7 avec x ∈ ℝ.

EXERCICES :

Ex 2 ( feuille polycopiée)

ex 72 -71 p 204 ( retrouver f à partir images) 92 p 206 ( forme plus adaptée)

101 p 235 (variations) 96 p 232 ( maximum)

EXERCICE 2 :

Sur un segment [AG] de longueur 4, on place un point D et on forme deux carrés ABCD et DEFG. On note AD = x et on appelle f(x) la somme des aires des deux carrés.

1) Quel est l'ensemble de définition I de la fonction f ?

2) a) Montrer que pour tout x de I, fx=2 x²– 8 x16 . b) Montrer que pour tout x de I, f(x)=2(x-1)(x-3)+10.

c) Montrer que pour tout x de I, fx=2x – 2²8 3) Deux manières de montrer les variations de f.

a) Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b < 2, recopier et compléter par < ou > en justifiant les étapes suivantes :

a - 2 ….. b - 2 …. 0

a−2²….... b−2² …. 0 2(a – 2)² …. 2(b – 2)² 2(a – 2)²+8 ….. 2(b – 2)²+8

En déduire le sens de variation de f sur [ 0 ; 2 ].

b) Soit a et b deux réels tels que 2 < a < b < 4, montrer que f(b) – f(a) = (b−a)(2 b−2 a−8) . En déduire le sens de variation de f sur [ 2 ; 4 ].

c) Dresser le tableau des variations de f.

4) a) En programmant votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4

f(x)

b) A l'aide du tableau précédent, construire la courbe représentative de f. (on prendra comme unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées)

5) Répondre à l'aide du graphique aux questions suivantes : a) Déterminer la position de D pour que f(x) = 10.

b) Résoudre l'inéqaution f(x) > 10 .

c) Déterminer le minimum de f. Où doit-on placer D pour avoir ce minimum ?

6) En utilisant une des 3 formes de la question 2), répondre par le calcul aux mêmes questions que la question précédente.

A D G

B C

E F