Anneaux
Jérôme Buresi
Introduction
Ce cours vise à répondre à plusieurs objectifs ; il est destiné à un public qui a déjà entendu parler d'anneaux commutatifs, d'idéaux, de quotients et se veut "modeste" (12h de cours, autant d'exercices). Cependant parce que la théorie des anneaux commutatifs est très jolie, à condition de prendre les bonnes dénitions, nous avons voulu donner toutes les dénitions et propositions essentielles, mais nous proposons la plupart des résultats préliminaires et élémentaires en exercices. Nous avons voulu étudier de façon quasi-systématique quelques notions simples : le produit, le passage au quotient, la localisation (que nous envisageons dans sa généralité) et l'extension par ajout d'une indéterminée. Dans cet esprit, il nous apparaît essentiel d'introduire la notion d'anneau noetherien, ainsi que celle d'anneau réduit (et ce qui s'y rattache : idéal radical, élément nilpotent) en plus des notions "habituelles incontournable" (anneau intègre, principal, factoriel). Il en résulte quelquefois des résultats anecdotiques (quoique souvent intéressant par les méthodes de démonstrations) qui pourront être négligés. De plus, il vise à être un complément à un cours par oral ou une référence (d'où l'index), car si les calculs (par exemple dans les anneaux factoriels) sont pénibles à écrire, ils le sont encore plus à exposer ; on peut donc essayer de faire comprendre à l'oral comment on si prend quitte quelquefois à en oublier un peu la rigueur du raisonnement, et renvoyer à l'écrit pour une rédaction complète. Enn, ce cours prépare à une meilleure "technique" (ou justement à ne pas être submergé ou subjugué par la technique) en vue d'une introduction à la géométrie algébrique.
Conventions :
Comme nous travaillerons dans des anneaux unitaires avec les lois+et., par convention :P
∅= 0 etQ
∅= 1, ce qui pourra aussi s'écrireP0
i=1= 0 ...
Chapitre 1
Cours
1.1 Dénitions générales
Dénition 1.1.1 SoitAune ensemble muni de lois de composition interne notées ” + ” et”.”. On dit que Aest un anneau si
? (A,+)est un groupe abélien
? (A, .)est associatif
? ∀a, b, c∈A, on a :a.(b+c) =a.b+a.cet(a+b).c=a.c+b.c
Si de plus la loi . est commutative, A est dit commutatif et si (A, .) possède un élément neutre (noté 1), A est dit unitaire. Si(A\ {0}, .)est un groupeA est dit un corps.
Remarques :
Pour tout a∈A, la multiplication à gauche (et à droite) par ade(A,+) dans (A,+) est un morphisme de groupes (ce qui est équivalent au troisième point), donc∀a∈A,a.0 = 0
Si0 = 1alorsA={0}qui est un anneau unitaire mais pas un corps (car ∅n'est pas un groupe).
Soit (G,+) un groupe abélien. Notons End(G) l'ensemble des morphismes de G dans G (pas seulement des automorphismes), on peut dénir sur End(G) une addition (i.e. (f +g)(x) = f(x) +g(x)) et (End(G),+, o) est un anneau non commutatif.
A partir de maintenant, tous les anneaux (et les corps) seront commutatifs et unitaires, sans qu'il soit besoin de le mentionner et on ne fera plus suivre (sauf mention du contraire) les lois de l'anneau qui seront toujours notées +et., le . étant lui-même souvent omis.
Exemples :
(Z,+, .)est un anneau, (Q,+, .)est un corps, (R,+, .)est un corps,
SiAest un anneau,A[X]est un anneau.
Remarque surA[X]: Cet anneau s'appelle anneau des polynômes à une indéterminée à coecients dansA, ces éléments s'écrivent :Pn
i=0aiXi oùn∈Netai∈A, et pourP6= 0(i.e. il existeai6= 0), on dénit le degré par le maximum de {i, ai6= 0} et on a donc sinest le degré deP,an6= 0qui est appelé coecient dominant deP; Pour P = 0, on peut dire (nous le ferons) que son degré vaut −∞et son coecient dominant vaut 0. Un polynôme est dit unitaire si son coecient dominant vaut1. L'addition et la multiplication se font usuellement, rappelons que pour la multiplication on a :(Pn
i=0aiXi)(Pm
i=0biXi) =Pn+m
i=0 ciXi avecci=Pi
k=0akbi−k et si leak (ou lebi−k) n'est pas déni il vaut0. Dénitions 1.1.2 SoitA un anneau et a∈A.
On dit que aest inversible si (et seulement si) il existeb∈Atel queab= 1.
On dit que aest diviseur de0 si (et seulement si)a6= 0 et il existeb6= 0tel que ab= 0. On dit que aest nilpotent si (et seulement si) il existen∈Ntel quean= 0.
Remarques :1 est toujours un élément inversible et 0 est toujours nilpotent. D'autre part il est aisé de voir que si a6= 0est nilpotent alors il est diviseur de0et si aest diviseur de0alors il n'est pas inversible.
On noteA× l'ensemble des éléments inversibles.
Proposition 1.1.3 SoitA un anneau. On a :(A×, .)est un groupe commutatif.
Preuve. Exercice !
Dénitions 1.1.4 SoitA un anneau.
On dit que Aest intègre siA6={0} et ne possède pas de diviseurs de 0. On dit que Aest réduit si Ane possède pas d'autres éléments nilpotents que 0.
3
Proposition 1.1.5 SoitAun anneau. On a : SiAest un corps alors il est intègre. SiAest intègre alors il est réduit.
Preuve. Exercice.
Dénition 1.1.6 SoitA un anneau etB⊂A. On dit que B est un sous-anneau si
? 1∈B
? ∀a, b∈B, a−b∈B
? ∀a, b∈B, a.b∈B
Proposition 1.1.7 SoientA un anneau,B un sous-anneau, pour S ⊂A, on peut regarderB[S]qui est le plus petit sous-anneau au sens de l'inclusion de B qui contientB etS.
Preuve. Il faut regarder que "le plus petit" a bien un sens, on montrera que les éléments de B[S] peuvent s'écrire : P
finiebisk11...sktt
i oùbi∈B sj∈S et kl∈N
Exemple :Z[i]est un sous-anneau deCoùi2=−1. Dénition 1.1.8 (morphisme d'anneaux)
SoientA etB des anneaux etf :A−→B une application.
On dit que f est un morphisme d'anneaux si (et seulement si) :
? ∀a, b∈A,f(a+b) =f(a) +f(b)
? ∀a, b∈A,f(a.b) =f(a).f(b)
? f(1A) = 1B.
Si de plusf est bijective alors on dit quef est un isomorphisme.
Remarques : A cause du dernier point, il n'existe pas de morphisme d'anneaux de{0}dansAsiA6={0}, en revanche il existe un (unique) morphisme d'anneaux deA dans{0}, pour tout anneauA.
Proposition 1.1.9 Soient A et B des anneaux et f : A −→ B un isomorphisme d'anneaux. Alors f−1 est un (iso)morphisme d'anneaux.
Preuve. exercice.
Proposition 1.1.10 Soient A etB des anneaux etf :A−→B un morphisme d'anneaux. Le morphisme d'anneaux f induit un morphisme de groupes de A× dansB×
Preuve. En eet sia∈A× alors il existe b∈A× tel queab= 1, d'oùf(a).f(b) = 1et doncf(a)∈B×, de même que f(b)d'ailleurs. Le reste est immédiat.
Dénition 1.1.11 (anneau produit)
Soient Ai des anneaux, ∀i ∈ I, on dénit sur l'ensemble Q
i∈IAi les lois additive et multiplicative composante par composante. AinsiQ
i∈IAi devient un anneau appelé anneau produit.
Proposition 1.1.12 Soient A et Ai des anneaux, ∀i∈ I. Les applications canoniquesπj de Q
i∈IAi dans Aj sont des morphismes d'anneaux et la donnée d'un morphisme d'anneaux deAdansQ
i∈IAi est équivalente à la donnée des morphimes fi=πi◦f deAdansAi pour touti∈I.
Preuve. Laissée au lecteur.
1.2 Idéaux
Dénition 1.2.1 SoientA un anneau etI⊂A. On dit que I est un idéal deA si (et seulement si) :
? (I,+)est un sous-groupe de (A,+)
? ∀a∈A,∀x∈I,ax∈I.
Remarques : {0}etA sont des idéaux deA.
Si Iest un idéal diérent de A, on dira que c'est un idéal propre.
Proposition 1.2.2 Soit Aun anneau et I⊂A I est un idéal si et seulement si
∀a, b∈I, a+b∈I
∀a∈I,∀x∈A, xa∈I ⇐⇒ ∀a, b∈I, ∀x, y∈A, xa+yb∈I SoitI un idéal de A, on a :I=A⇐⇒1∈I⇐⇒ ∃a∈A×, a∈I.
En particulierA est un corps si et seulement si il possède deux et seulement deux idéaux{0}et A.
1.2. IDÉAUX 5 Preuve. Laissée au lecteur.
Exemples :
Soit l'anneauZ. SiIest un idéal deZ, alorsI=nZpour un certainn∈NcarIest un groupe abélien. Réciproquement nZest un idéal (à vérier en exercice !)
Soitk un corps, si I est un idéal de k[X] alors il existe P ∈[X], tel queP est unitaire etI =P.k[X] (par division euclidienne).
Dénition 1.2.3 (idéal engendré)
SoitAun anneau et (ai)i∈I une famille d'éléments de A(resp.S⊂A).
On appelle idéal engendré par(ai)i∈I (resp. parS) l'idéalJ déni parJ ={Pn
k=1xkaik,n∈N,xk ∈A}. (resp.J ={Pn
k=1xksk,n∈N,xk ∈A,sk ∈S})
Proposition 1.2.4 SoientAetB des anneaux etf :A−→B un morphisme d'anneaux. On a : 1. f(A) est un anneau.
2. SiJ est un idéal deB,f−1(J) est un idéal deA. 3. En particulierKer (f)est un idéal deA.
4. SiI est un idéal deAalors f(I)est un idéal def(A), donc deB sif est surjective.
5. SiAest un corps alorsf est injective ouf = 0 Preuve. Exercice.
Dénitions 1.2.5 (et propositions)
SoientAun anneau,I et J deux idéaux deA. Alors : I+J ={x+y, x∈I, y∈J},
I.J est l'idéal engendré parS ={xy, x∈I, y∈J} et I∩J
sont des idéaux.
Exemples et exercices : SoientA=Z, aet bdes entiers supérieurs ou égaux à 2. Vérier que aZ+bZ=dZ oùdest le pgcd deaetb;aZ∩bZ=mZoùmest le ppcm deaet b; aZ.bZ=abZ⊂mZ.
Proposition 1.2.6 Soient A1, . . . , An des anneaux. Un idéal I de Qn
i=1Ai s'écrit I1× · · · ×In où les Ii sont des idéaux deAi, et réciproquement (un produit d'idéaux est un idéal du produit).
Preuve. Pour tout(a1, . . . , an)∈I, commeπiest surjectif, on aπi(I) =Iiest un idéal deAietai∈Ii, réciproquement siai∈Ii, il existe xi∈Itel que πi(xi) =ai et donc(a1, . . . , an) =Pn
i=1(0, . . . ,1,0. . .0)xi∈I où le1 est mis à laie place. Le reste de la démonstration est laissée au lecteur.
Remarque : Cette proposition n'est valable que dans le cas d'un produit ni d'anneaux, sinon il existe des idéaux du produit qui ne s'écrivent pas ainsi (trouver un exemple en exercice).
1.2.1 Idéaux monogènes (principaux), divisibilité
Dénitions 1.2.7 SoientAun anneau,a, betpdes éléments deA. On dit qu'un idéal est monogène ou principal s'il est engendré par un seul élément.
On dit que adiviseb s' il existec∈Atel queb=ac.
On dit que pest irréductible si p /∈A× et∀a, b∈A,p=ab=⇒a∈A× oub∈A×. On dit que aetb sont associés s'il existeu∈A× tel quea=bu.
Proposition 1.2.8 Avec les mêmes notations que précédemment : adiviseb si et seulement si(b)⊂(a)
adivise1 si et seulement si a∈A×
La relation d'association est une relation d'équivalence.
aest associé à 1si et seulement si a∈A×. (a) =A si et seulement sia∈A×.
aest associé à bimplique(a) = (b).
pest irréductible impliquep6= 0 et(p)est maximal parmi les idéaux principaux propres.
Preuves. Montrons la dernière, les autres étant laissées au lecteur. Sipest irréductible,p6= 0car0 = 0.0et si0∈A× (cas exceptionnel oùA={0}), par dénitionp= 0n'est pas irréductible. On a donc(p)6=Acarpn'est pas inversible.
Prenonsa non-inversible tel que (p) ⊂(a) alors adivise pet p=ab. Comme pest irréductible et a non-inversible, b∈A× doncpetasont associés et(p) = (a).
La dernière implication (sans hypothèses supplémentaires) n'est pas une équivalence comme le montre l'exemple suivant :A=Z/6Zetp= 3. On montre aisément que(3)est maximal (tout court) alors que3 = 3.3donc3n'est pas irréductible.
L'avant-dernière implication (sans hypothèses supplémentaires) n'est pas une équivalence, comme le montre l'exemple ad hoc suivant :A=k[X, Y, Z]/(Z(1−XY))eta=Z,b=ZX=aX et donc commeZ=ZXY,a=ZXY =bY ; il faut vérier ensuite qu'il n'existe pas d'élément inversibleU tel que aU=b. Sinon montrer que :
1. Il existeU, V ∈R[X, Y, Z]tels que Z(U−X) = 0 (modZ(1−XY)), ZX(V −Y) = 0 (modZ(1−XY))et U V = 1 (mod Z(1−XY)).
2. Il existeP, Qet R∈R[X, Y, Z], tels que U =X+ (1−XY)P,V =Y + (1−XY)Q, etU V = 1 +Z(1−XY)R. 3. En déduire une équation dansR[X, Y, Z]impossible à vérier, après avoir faitZ = 0.
4. On peut aussi vérier que les seuls inversibles de A, sont les constantes non nulles, après avoir constaté que le
"degré" enZ pouvait être déni dans Aet qu'il vériait doZP.Q=doZP+doZQ(carR[X, Y]/(1−XY)est intègre -voir plus loin-). Ensuite il sut de voir queZ(X−λ)6= 0dansA, pour toutλ∈R∗.
Dénitions 1.2.9 (problématiques de premiers entre eux) SoientA un anneau,a, bdes éléments deA.
On peut dire que aetb sont premiers entre eux si(a, b) =A ou que
aet bsont premiers entre eux si ddiviseaetddiviseb entraîne dest inversible.
Remarque : Les deux dénitions précédentes ne sont pas équivalentes. La première implique la seconde de façon évidente, mais si on prendA=R[X, Y],a=X,b=Y, on peut dire queaet bsont premiers entre eux par la seconde dénition mais pas par la première. Il faudra toujours préciser ce qu'on appelle premiers entre eux dorénavant.
1.3 Anneau quotient
SoitAun anneau etIun idéal deA. Le goupe(A,+)étant abélien etIétant un sous-groupe deA, on peut regarder le quotient(A/I,+)qui est un groupe abélien.
Proposition 1.3.1 La multiplication de Apasse au quotient A/I.
Preuve. En eet, siaest en relation avecbi.e.a=b+i, pouri∈Ietc=d+j avecj ∈Ialorsac=bd+ia+jb+ij est en relation avecbdcarI est un idéal (et doncia∈I, . . .).
Dénition 1.3.2 et proposition
SoitAun anneau etIun idéal, on appelle anneau quotientAsurI l'ensembleA/I muni des lois+et.héritées deA. Ceci est un anneau et la surjection canonique de A dansA/I est un morphisme d'anneaux.
Théorème 1.3.3 (d'isomorphisme, et propriété universelle du quotient) Soient A et B des anneaux et f : A−→B un morphisme d'anneaux. Alors A/kerf −→f(A)est un isomorphisme d'anneaux.
Pour f comme ci-dessus et I un idéal de A etπ la surjection canonique de A vers A/I, on a :f passe au quotient c'est-à-dire il existe f¯:A/I−→B un morphisme tel quef = ¯f◦π(qui est alors unique) si et seulement siI⊂kerf. Preuve. On sait déjà quekerf est un idéal, quef(A)est un anneau et que A/kerf et f(A)sont isomorphes en tant que groupes. Il sut donc de vérier que f¯est compatible avec la multiplication, ce qui est évident car f est un morphisme d'anneaux. De même pour le reste.
Proposition 1.3.4 Soit A un anneau et I un idéal de A. On a alors une bijection donnée par l'image directe dans un sens et l'image réciproque dans l'autre entre :
Les idéaux de Acontenant I Les idéaux de A/I.
Preuve. On appelle π la surjection canonique deAsur A/I. Comme le cas des groupes nous donne déjà la bijection pour les groupes il sut de vérier que l'image directe par π d'un idéal contenantI est un idéal de A/I (ce qui est vrai carπ est surjective voir proposition) et que l'image réciproque d'un idéal deA/I est un idéal deA contenantI (voir même proposition).
1.3.1 Idéaux radicaux, premiers et maximaux
SoitAun anneau, rappelons queAest dit intègre siA6={0}et ∀a, b∈A,ab= 0 =⇒a= 0oub= 0et queAest dit réduit sian= 0 impliquea= 0.
Proposition 1.3.5 Soit A un anneau. S'il existe un anneau intègre (resp. réduit) B et f :A −→B un morphisme d'anneaux injectif alors Aest intègre (resp. réduit).
1.3. ANNEAU QUOTIENT 7 Ceci est un cas particulier (mais important, on a même le sous-cas particulier où B est un corps qui est important) d'une proposition plus générale qui sera vue plus loin.
Preuve. Pour l'intégrité, premièrement A 6= {0}, car il n'y a pas de morphisme d'anneaux de {0} dans un anneau diérent de {0} (ce dernier n'est pas intègre). De plus si ab = 0 (resp. an = 0) alors f(ab) =f(a)f(b) = 0 (resp.
f(a)n = 0), et comme B est intègre (resp. réduit)f(a)ouf(b) est nul (resp. f(a) = 0) et comme f est injectif cela signie queaoubest nul.
Proposition 1.3.6 SoitA un anneau intègre, alors : 1. a6= 0 etab=ac=⇒b=c.
2. (a) = (b)si et seulement si aetb sont associés.
3. pest irréductible si et seulement si p6= 0et(p)est maximal parmi les idéaux principaux propres.
4. A[X] est intègre.
Preuves.
1. En eetab=ac=⇒a(b−c) = 0 et doncb−c= 0cara6= 0.
2. Si(a) = (b)alors on a : a=buetb=avavecuetv dansA. D'oùa=bu=avusia= 0alorsb= 0et0 = 0.1(cas inintéressant) sinona=auvimplique queuv= 1 grâce au premier point et doncaet bsont associés.
3. Supposons que (p) est maximal parmi les idéaux principaux propres et que p = ab avec a non inversible alors (p) ⊂ (a) avec (a) 6= A donc (p) = (a) et grâce au point précédent p et a sont associés (donc non-nuls), donc p=ab=au avecuinversible et grâce au premier casb=uest inversible.
4. L'application degré (do) sur A[X]\ {0}vérie : do(P.Q) =do(P) +do(Q). C'est un calcul immédiat de voir que le produit des coecients dominants est non nul siAest intègre donc il est le coecient dominant du produit.
Dénitions 1.3.7 SoitA un anneau,I un idéal.
Cet idéalI est dit radical siA/I est réduit.
Cet idéalI est dit premier siA/I est intègre.
Cet idéalI est dit maximal siA/I est un corps.
Remarque : Un idéal premier ou maximal est forcément diérent deA(car{0}n'est ni intègre, ni un corps).
Proposition 1.3.8 SoitA un anneau etI un idéal. Alors : 1. A est réduit si et seulement si{0} est radical.
2. A est intègre si et seulement si {0}est un idéal premier.
3. A est un corps si et seulement si{0} est un idéal maximal.
4. SiI est maximal alorsI est premier.
5. SiI est premier alorsI est radical.
6. I est radical si et seulement si pour touta∈A,an∈I=⇒a∈I
7. I est premier si et seulement siI6=Aet∀a, b∈A,ab∈I=⇒a∈I oub∈I. 8. I est maximal si et seulement siI6=AetJ ⊃I=⇒J =AouJ =I.
Preuves. Les points1.,2.et 3.résultent immédiatement des dénitions. Les points4.et5.ont déjà été vus.
Les points suivants étant des propriétés caractéristiques elles sont quelquefois prises comme dénitions.
6. Si I est radical et an ∈I alors en appelant π le morphisme canonique deA dansA/I, on a π(an) = 0et comme A/I est réduitπ(a) = 0 eta∈I. Réciproquement siα∈A/I est nilpotent, commeα=π(a), on va avoirπ(an) = 0 doncan ∈I...
7. SupposonsI premier alors I 6=Acomme déjà vu et si ab∈I alors on obtient π(a).π(b) = 0et donc comme A/I est intègreπ(a) = 0 ouπ(b) = 0 c'est-à-direa∈I oub∈I. Réciproquement, soit αβ= 0 dansA/I on a :α=π(a) etβ =π(b)carπest surjectif, ...
8.Rappelons que les idéaux deAcontenantIsont en bijection avec les idéaux deA/I, et que le seul idéal propre d'un corps est{0}. SiI est maximal alors A/I est un corps, on en déduit qu'il n'existe pas d'idéal propre contenantI et diérent deI. Réciproquement siI est maximal parmi les idéaux propres alorsA/I ne contient aucun idéal autre que {0}et A/I, d'où six∈A/I, etx6= 0,(x) =A/I ce qui signie quexest inversible. Donc A/I est un corps.
Proposition 1.3.9 SoitAun anneau etIun idéal. Les idéaux deA(resp. radicaux, premiers, maximaux) contenantI correspondent aux idéaux deA/I(resp. radicaux, premiers, maximaux). De plus, si on appelleπla surjection canonique deAsur A/I, on a pour J contenant I, l'isomorphisme A/J'(A/I)/π(J).
Preuve. On montre la dernière partie par le théorème d'isomorphisme : le morphisme A −→ A/I −→ (A/I)/π(J) étant surjectif de noyauJ (carJ contient I). Le reste en est une conséquence.
Proposition 1.3.10 Soient A etB des anneaux et f :A −→B un morphisme d'anneaux. L'image réciproque d'un idéal premier (resp. radical)I deB est premier (resp. radical).
Preuve. Soient aet b∈A tels queab∈f−1(I)(resp.an ∈f−1(I)) alorsf(ab)∈I (resp.f(a)n ∈I) et commeI est supposé premier (resp. radical) on af(a)ouf(b)∈I (resp.f(a)∈I), ce qu'on voulait.
Remarques : Ceci est bien une généralisation de la propriété oùf était supposé injectif et où on regardait l'idéal(0). D'autre part cela ne fonctionne pas avec l'image directe, et l'image réciproque d'un idéal maximal n'est pas forcément un idéal maximal (en exercice, trouver un contrexemple).
Proposition 1.3.11 SoitA un anneau intègre etp∈A,p6= 0. Si (p)est un idéal premier alorspest irréductible.
Preuve. En eet(p)étant un idéal premier(p)6=Aet donc pn'est pas inversible. De plus sip=ab alorsab∈(p)et donca∈(p)par exemple. D'oùa=pcdoncp=ab=pbcavecb, c∈A, commeAest intègre,b (etc) est inversible.
Remarque : La réciproque est fausse. PrenonsA=Z[i√
5](où(i√
5)2=−5évidemment). CommeA⊂C,Aest intègre.
On vérie aisément que6 = 2.3 = (1 +i√
5).(1−i√
5). Donc(2)n'est pas premier car(1 +i√
5).(1−i√
5) = 6∈(2)et ni (1 +i√
5), ni(1−i√
5)n'appartiennent à(2)(c'est-à-dire ne sont divisibles par2). Pourtant2 est irréductible car si2 =abaveca, b∈A on aura|a|2|b|2= 4et dans Aaucun élément n'a un module au carré qui vaut2donc|a|2= 1 par exemple, d'oùa=±1 est inversible (calculs aisés).
Proposition 1.3.12 Soit A un anneau etI un idéal. Il existe un plus petit idéal radical contenantI, il est noté√ I et il est décrit par :√
I={x∈A, il existen∈N,xn∈I}. Preuve. On va voir que pour I = {0}, √
I est l'ensemble des nilpotents puis utiliser le fait que les idéaux de A/I correspondent aux idéaux deAcontenantI.
Montrons que les éléments nilpotents forment un idéal : si aest nilpotent et x∈Aalors axest nilpotent (facile). Si maintenant aet b sont nilpotents alorsan = 0 et bm = 0, pour certainsn et m, un calcul (élémentaire) montre que (a+b)n+m = 0. De plus cet idéal est radical car si an est nilpotent alors (an)m = 0 est a est lui-même nilpotent.
Enn si J est radical etaest nilpotent alors an = 0 et doncan ∈J et comme J est radicala∈J. Cela signie que les nilpotents sont inclus dans J. Finalement pour I un idéal quelconque, l'idéal des nilpotents de A/I correspond à un idéal contenant I et c'est le même que celui qui est décrit par √
I. De plus les idéaux radicaux contenant I correspondant aux idéaux radicaux deA/I,√
I est bien le plus petit.
Proposition 1.3.13 SoitA un anneau on a les propriétés suivantes : I⊂J =⇒√
I⊂√ J, I est radical ⇐⇒I=√
I,
√IJ=√
I∩J =√ I∩√
√ J
I⊂ ∩p oùp décrit l'ensemble des idéaux premiers contenantI.
Preuve. En exercice, le dernier point résulte du fait queI⊂pentraîne que√
I⊂ppar le premier point et le deuxième puisqu'un idéal premier est radical. Notons enn que la dernière inclusion est une égalité comme nous le verrons plus loin.
1.4 Le théorème chinois
Lemme 1.4.1 (chinois) Soient A un anneau, et (Ii)i={1,...,n} des idéaux vériant : ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j =⇒ Ii+Ij=A.
On note πi la surjection canonique de Adans A/Ii.
Soientx1, . . . xn∈A, alors il existe x∈A, tel queπi(x) =πi(xi)pour touti∈ {1, . . . , n}. Remarque : On peut noter, par analogie avec A=Z,πi(x) =πi(xi)parx≡ximodIi.
Preuve. Prenons n = 2, on a alors I1+I2 = A et donc il existe a1 ∈ I1 et a2 ∈ I2 tels que a1+a2 = 1. Par un calcul élémentaire, on obtient : π1(a1) = 0 et π2(a1) = 1, ainsi que les relations "symétriques" poura2. Posons x=x2a1+x1a2, on vérie aisément queπ1(x) =π1(x1)etπ2(x) =π2(x2).
Généralisation : Pour touti < j, on sait qu'il existeai,j∈Ii et aj,i∈Ij tels que ai,j+aj,i= 1. Doncπi(ai,j) = 0et πj(ai,j) = 1pouri6=j (il faut remarquer que ces équations sont vraies aussi bien pour (i, j)que pour(j, i)).
Posons maintenant ak =Q
i6=kai,k. On remarque que ak ∈Ii pour i6=k; en eetai,k ∈Ii et doncπi(ak) = 0pour i6=k. D'autre partπk(ai,k) = 1, pour touti6=k, doncπk(ak) = 1.
Il ne reste plus qu'à poserx=Pn
k=1xkak et vérier queπk(x) =πk(xk)pour toutk∈ {1, . . . , n}.
Théorème 1.4.2 (chinois) Soient Aun anneau, et (Ii)i={1,...,n} des idéaux vériant :∀i, j∈ {1, . . . , n}, i6=j=⇒ Ii+Ij=A.
AlorsA/∩ni=1Ii−→A/I1× · · · ×A/In est un isomorphisme.
1.5. LOCALISATION, CORPS DES FRACTIONS 9 Preuve. On note comme précédemment, πi la surjection canonique de A sur A/Ii. Le morphisme f : A −→
A/I1× · · ·A/In déni par f(x) = (π1(x),· · ·, πn(x)) (qui est bien un morphisme !) est surjectif grâce au lemme précédent. Calculonskerf ={x∈A, tel que πi(x) = 0 pour tout i= 1, . . . , n} ={x∈A tel que x∈Ii pour tout i= 1, . . . , n}=∩ni=1Ii.
Exercice : Montrer que sous ces hypothèses,∩ni=1Ii=Qn i=1Ii.
Remarque : Souvent on dit queIetJ sont des idéaux premiers entre eux, pour dire queI+J =A. S'il s'agit d'idéaux, on n'a pas vraiment d'autre dénition possible, mais s'il s'agit d'idéaux monogènes, comme on l'a vu les dénitions sont plus ambiguës.
1.4.1 Application, exercice : indicateur d'Euler
Dénition 1.4.3 Soitn≥1un entier. On noteφ(n)(l'indicateur d'Euler de n), l'entier naturel suivant : φ(n) = Card(Z/nZ)×.
Proposition 1.4.4 Soitn≥1 un entier eta∈ {0, . . . , n−1}. L'image deaappartient à(Z/nZ)× si et seulement si aetnsont premiers entre eux (i.e. aZ+nZ=Z).
Proposition 1.4.5 Soitpun nombre premier etn≥1, on aφ(pn) = (p−1).pn−1. Indication : regarder{a∈ {0, pn−1}tels queaet pn ne sont pas premiers entre eux}.
Proposition 1.4.6 SoientA1, . . . , Am, Aet B des anneaux et f :A−→B un isomorphisme d'anneaux. Alors 1. (A1×A2× · · · ×Am)×=A×1 × · · · ×A×m;
2. f× :A×−→B× est un isomorphisme (de groupes).
Théorème 1.4.7 Soitn∈N avecn≥2. Ecrivonsn=pn11. . . pnmm avec pi premier,ni>0 etpi6=pj sii6=j, on a : φ(n) =φ(pn11). . . φ(pnmm)
1.5 Localisation, corps des fractions
SoitA un anneau.
Dénition 1.5.1 SoitS⊂A. La partieS est dite multiplicative si
? 1∈S
? ∀a, b∈A,a∈S etb∈S=⇒ab∈S.
Remarque :1 ∈ S nous assure que S 6=∅, ce qu'il faut toujours supposer. Enn si S vérie le deuxième point alors S∪ {1}devient une partie multiplicative, par conséquent obliger une partie multiplicative à contenir 1 est sans eet contraignant.
Exemples :
S=A× est une partie multiplicative.
SiI est un idéal premier alorsA\I est une partie multiplicative. En eet forcémentI 6=Adonc1∈S, car 1∈/ I. De plus siaet bn'appartiennent pas à I, commeI est premierab /∈I.
SiAest un anneau intègre alorsS=A\ {0} est une partie multiplicative (car{0} est un idéal premier).
Soita∈Aalors{an, n∈N}est une partie multiplicative. Ceci est évident, remarquons que sian'est pas inversible (ce qui est souvent le cas) alors on ne peut pas parler dean pourn <0 (mais on a toujoursa0= 1).
1.5.1 Construction de S
−1A
Lemme 1.5.2 SoitAun anneau etS une partie multiplicative. La relation surA×S dénit par(a, s)∼(a0, s0)si et seulement si il existes00∈S tel que(as0−a0s)s00= 0 est une relation d'équivalence.
Preuve. La preuve est assez facile, mais faisons tout de même la transitivité, on a : (a1, s1) ∼ (a2, s2) donc (a1s2−a2s1)s= 0 et(a2, s2)∼(a3, s3)donc(a2s3−a3s2)t= 0avecs, t, s1, s2, s3∈S.
On vérie que a1s2ss3t−a3s2ts1s = 0 (on a éliminé les a2), d'où (a1s3−a3s1)s2st = 0 et (a1, s1) ∼ (a3, s3) car s2st∈S. Remarquons que les00 dans la dénition est crucial car si on l'omet, on se retrouve avec(a1s3−a3s1)s2= 0 et non(a1s3−a3s1) = 0.
Remarque importante : SiA est intègre et0∈/ S,(as0−a0s)s00= 0est équivalent à as0−a0s= 0.
Dénition 1.5.3 (et notation) SoitAun anneau etS une partie multiplicative. L'ensemble quotient A×S∼ est noté S−1AouAS et s'appelle le localisé deA enS. Ses éléments(a, s)se notenta/s ou as.
Remarques : On aa/s= (at)/(st)pour toutt∈S.
Regardons le cas où0∈S, cela peut paraître bizarre d'écrirea/0par exemple. Le fait est que l'on a alorsS−1A={0}
(plus précisément ne contient qu'un seul élément que l'on note0). En eet, pour touta∈Aets∈S,(a, s)est toujours équivalent à (0,1), il sut de prendres00= 0∈S dans la relation d'équivalence.
Proposition 1.5.4 Soit Aun anneau et S une partie multiplicative. Les deux applications suivantes sont des lois de compositions internes sur S−1A etS−1Amuni de ces deux lois est un anneau.
+ :S−1A×S−1A−→S−1Aest déni par a/s+a0/s0= (as0+sa0)/ss0 et .:S−1A×S−1A−→S−1A est déni par as.as00 =aa0/ss0.
Preuve. Il s'agit surtout de voir que les applications sont bien dénies, ce qui est fastidieux mais aisé.
Les autres propriétés sont immédiates par calculs ; l'élément neutre de l'addition vaut0/1, l'opposé dea/sétant−a/s; l'élément neutre pour la multiplication étant 1/1.
Proposition 1.5.5 Soit A un anneau et S une partie multiplicative. L'application f de A dans S−1A déni par f(a) =a/1 est un morphisme d'anneaux appelé morphisme canonique deA dansS−1A.
De plus pour tout s∈S,f(s)est inversible dansS−1A (d'où la notation).
Si Aest intègre et0∈/S alors f est injectif et on identie A etf(A).
Preuve. Il sut de vérier quea/1 +b/1 = (a+b)/1, que(a/1).(b/1) =ab/1, etf(1) = 1/1ce qui est immédiat.
Si s∈S alorsf(s) =s/1et on vérie facilement que 1/squi existe dans S−1Aest l'inverse def(s).
Ennf(a) =a/1 = 0équivaut à il existes∈S tel queas= 0. SiAest intègre, commes∈S ne peut pas être nul, on a a= 0et par conséquentf est injectif.
Exercice : Décrire le noyau de l'application canoniquef.
Proposition 1.5.6 (propriété universelle) Soit g : A −→ B un morphisme d'anneaux. Soit S une partie multiplicative deA.
Si pour touts∈S, g(s) est inversible dansB alors il existe ˜g un morphisme d'anneaux de S−1A dansB unique qui vérieg˜◦f =g oùf est le morphisme canonique de A dansS−1A.
Preuve. Dénissonsg˜:S−1A−→Bparg(a/s) =˜ g(a)[g(s)]−1et montrons que˜gest bien déni. En eet sia/s=a0/s0 alors il existe t ∈ S tel que as0t = a0st, donc comme g est un morphisme g(a)g(s0)g(t) = g(a0)g(s)g(t). Or pour tout u ∈ S, g(u) est inversible, on peut donc multiplier par [g(t)]−1[g(s)]−1[g(s0)]−1 des deux côtés et obtenir g(a)[g(s)]−1=g(a0)[g(s0)]−1.
Le fait que ce soit un morphisme qui vérie˜gof =gse montre par des calculs faciles.
Enn montrons que ce morphisme est unique. En eet, soitφ:S−1A−→B un morphisme vériant queφ(a/1) =g(a) pour touta∈A. Alorsφ(a/s) =φ[(a/1).(1/s)] =φ(a/1).φ(1/s) =g(a).φ(1/s). Comme1/sest inversible dansS−1A, d'inverses/1, forcémentφ(1/s)est l'inverse deφ(s/1) =g(s). Donc nalementφ(a/s) =g(a)[g(s)]−1= ˜g(a/s). Dénition 1.5.7 Soit A un anneau intègre. On appelle corps des fractions deA, l'anneau (qui est un corps)S−1A oùS=A\ {0} et on le note Frac(A)
Remarque : Cet anneau est bien un corps car tout élément non nul est inversible, en eet sia/b6= 0alorsa6= 0(best déjà supposé non nul) donca∈S et b/a∈Frac(A)vérie(a/b)(b/a) =ab/ab= 1.
Exercice : En se servant de la proposition, montrer que siS⊂T sont des parties multiplicatives on a :A−→S−1A−→
T−1Aet en particulier pourAintègre et0∈/S, on aA⊂S−1A⊂Frac(A).
Proposition 1.5.8 SoitAun anneau. AlorsAest intègre si et seulement si il existe un morphisme d'anneaux injectif deA dans un corps.
Preuve. Nous avions déjà vu un sens, l'autre est maintenant immédiat : ll sut de prendreK= Frac(A)et le morphisme canoniquef deAdans son localisé en A\ {0}, qui est bien injectif.
Exemples de corps de fractions : Evidemment tous les anneaux intègres déjà vus et en particulierZdont le corps des fractions est ... le corps des fractions rationnellesQqui est construit de cette façon.
Si kest un corps,k[X]est intègre, et son corps des fractions est k(X) ={P(X)/Q(X)avecQ(X)6= 0}.
Exercice : Montrer que si Aest intègre de corps des fractions K, alorsA[X] est aussi intègre de corps des fractions K(X).
SoitAun anneau etIun idéal, nous avons déjà vu que les idéaux (resp. radicaux, premiers, maximaux) contenant I sont en bijection (croissante) avec les idéaux (resp. idem) de A/I. Regardons ce qui se passe pour la localisation.
SoitAun anneau et S une partie multiplicative.
Proposition 1.5.9 Soit I un idéal deA, l'image deI dansAS (n'est pas forcément un idéal) engendre un idéal noté IS ouS−1I qui est décrit parIS={a/s, oùa∈I ets∈S}.
1.6. ANNEAUX EUCLIDIENS, PRINCIPAUX, FACTORIELS, NOETHERIENS 11 Preuve. En eet, les éléments deIS s'écrivent par dénition :P
(a/s)(i/1)et il s'agit de voir (en réduisant au même dénominateur) que cela peut se réécrire sous la forme annoncée.
Proposition 1.5.10 SoitI un idéal de A, on a la propriété suivante : IS =AS ⇐⇒I∩S6=∅.
Preuve. Exercice.
Théorème 1.5.11 Soit A un anneau, S une partie multiplicative. On note f : A −→AS le morphisme canonique.
On a :
SoitI un idéal deA,f−1(IS)est un idéal contenantI. De plus si I est premier et S∩I=∅ alors f−1(IS) =I. SoitJ un idéal deAS, alors [f−1(J)]S =J.
En particulier on a une bijection entre :
les idéaux premiers deA ne rencontrant pasS et les idéaux premiers deAS.
Preuve. Plus précisément, on montre quef−1(IS) ={a∈Atels que ∃s∈S, avec as∈I} (exercice) qui évidemment contientI. SiI est premier etS∩I =∅alorsas∈I entraînea∈I, cars /∈I. On voit quexappartient à [f−1(J)]S si et seulement si il s'écritx=a/s aveca/1∈J doncx= (a/1).(1/s)∈J et réciproquement en exercice.
Remarque : Il n'y a pas vraiment de théorème concernant les idéaux maximaux, si ce n'est que la description donnée ci-dessus nous dit qu'un idéal deAS est maximal s'il est maximal parmi les idéaux premiers ne rencontrant pasS, ce qui est le cas sim est maximal etm∩S =∅.
Théorème 1.5.12 SoitAun anneau et I un idéal, on a alors :
√I=∩p oùpdécrit l'ensemble des idéaux premiers contenantI. Preuve. Nous avions déjà une inclusion, on va montrer que six /∈√
Ialors il existe un idéal premier contenantImais pasx. Pour cela, on remarque quexn∈/I, pour toutn≥0, et donc on forme la partie multiplicativeS={xn, n∈N}. On a :I∩S=∅doncIS 6=AS et doncAS contient un idéal premier (maximal par exemple)qcontenantIS, on note p=f−1(q)oùf est le morphisme canonique deAdans son localisé. Il s'agit de vérier quepest un idéal premier qui contientI (car il contientf−1(IS)) et quex /∈p(carp∩S=∅).
1.6 Anneaux euclidiens, principaux, factoriels, noetheriens
Dénition 1.6.1 SoitAun anneau. On appelle division euclidienne sur Aune application v:A−→Nvériant :
? v(0)< v(a)pour touta6= 0;
? Pour touta, b∈A, sib6= 0 alors il existeq etr∈A, tels que a=bq+r avec v(r)< v(b).
Remarques : On peut remplacervpard:A\ {0} −→Nvériant : Pour touta, b∈A, sib6= 0alors il existeqetr∈A, tels quea=bq+ravecr= 0oud(r)< d(b).
En eet, il sut de remarquer que si on dénitv parv(a) =d(a) + 1poura6= 0 etv(0) = 0, on obtient une division euclidienne.
Enn q et r ne sont pas supposés uniques, d'ailleurs même dansZ, ils ne le sont pas. Par exemple, 3 = 2.1 + 1 = 2.2 + (−1),v est la valeur absolue dans ce cas.
Dénition 1.6.2 (anneau euclidien)
SoitAun anneau. On dit que Aest euclidien s'il possède une division euclidienne.
Exemples : Les exemples les plus connus sontZet k[X]oùkest un corps (pourk[X], on prenddle degré). On peut montrer que siA=Z[i]alorsv(a+ib) =a2+b2 est une division euclidienne (exercice).
Dénition 1.6.3 (anneau principal)
SoitAun anneau. Il est dit principal si tout idéal est principal (= monogène).
Remarque : Certains "auteurs" veulent qu'un anneau principal soit intègre, ce n'est pas mon cas ; il faut donc vérier ce que l'on appelle principal si on consulte un livre.
Dénition 1.6.4 (anneau factoriel)
SoitAun anneau 6={0}. Il est dit factoriel s'il existeP un ensemble d'éléments irréductibles vériant : Touta6= 0 deAs'écrit de façon unique a=uQ
p∈Spnp avec u∈A×,S ⊂ P est ni, et np>0 pour toutp∈ S. Remarques :S peut être l'ensemble vide, et c'est l'ensemble vide si et seulement sia∈A×.
On peut aussi écrire (et c'est parfois utile)a=uQ
p∈Ppnp(x), oùnp(x)∈Netnp(x) = 0sip /∈ SoùSest un ensemble ni.
Dénition 1.6.5 (anneau noetherien)
SoitAun anneau. Il est dit noetherien si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire i.e. soient(In)n≥1des idéaux vériant In⊂In+1 pour toutn≥1, alors il existen0≥1tel que In=In0 pour toutn≥n0.
Théorème 1.6.6 (propriété caractéristique) SoitAun anneau. Il est noetherien si et seulement si tout idéal est niment engendré
Preuve. SiAest noetherien, soit Iun idéal, alors :
Si I= (0)c'est ni, sinon il existe a06= 0∈I, on a alors(0)((a0)⊂I.
Si I= (a0)c'est ni, sinon il existea1∈/ (a0),a1∈I, on a alors(0)((a0)((a0, a1)⊂I. Si I= (a0, a1)c'est ni, sinon il existea2...
Ce processus doit s'arrêter après un nombre ni d'étapes car sinon on aurait une suite strictement croissante d'idéaux, d'où une contradiction.
Réciproquement SoitInune suite croisante d'idéaux, on forme l'idéalI=∪n∈NIn. C'est bien un idéal car on a toujours In⊂Imou le contraire. Il est par hypothèse niment engendré disons para1, . . . , ar. Comme on a un nombre ni de termes, on sait qu'il existeIN qui les contient tous. Par conséquentI= (a1, . . . , ar)⊂IN ⊂In ⊂I, pour n≥N et doncIn =IN =I pourn≥N.
Théorème 1.6.7 Soit Aun anneau. On a les implications suivantes : 1. Aeuclidien=⇒Aprincipal.
2. Aprincipal =⇒Anoetherien.
3. Afactoriel =⇒A intègre.
4. Aprincipal et intègre=⇒Afactoriel.
Preuves.
1. SiAest euclidien etIun idéal6= (0)deA. Regardons{n∈N, tel que il existea∈I,a6= 0etn=v(a)}=v(I\ {0}). C'est un ensemble non-vide deN, donc il possède un plus petit élément. On a doncb∈Itel quev(u)≥v(b)pour tout u∈I\ {0}. Commeb∈I,(b)⊂I. Réciproquement, sia∈I, on a par division euclidiennea=bq+ravecv(r)< v(b). Commea, b∈I, on en déduit quea−bq=r∈I doncr= 0, par minimalité de v(b)d'où a∈(b).
2. SupposonsAprincipal, tout idéal étant monogène, il est niment engendré.
3. SoitAfactoriel etab= 0, aveca6= 0, on peut donc écrire :a=uQ
p∈Ppnp eta=a(1 +b). Comme1 +b6= 0,1 +b s'écrit(1 +b) =vQ
p∈Ppmp d'où a(1 +b)s'écrit :uvQ
p∈Ppnp+mp.
Remarquons qu'on a toujours np+mp ≥0, uv∈A×, donc les deux écritures de acoïncident, puisque l'écriture est unique. On a doncuv=ud'oùv= 1caruest inversible,np+mp =np, donc
mp= 0, pour toutp∈ P, il sut de remarquer maintenant que1 +b= 1, doncb= 0. 4. Par hypothèse on a :
(1)A est intègre
On sait quepest irréductible si et seulement sip6= 0et(p)est maximal parmi les idéaux propres principaux. Comme A est principal tous les idéaux sont principaux, on a doncpirréductible si et seulement sip6= 0 et(p)est maximal, donc(p)est premier. On a déjà vu que(p)premier etp6= 0entraînait quepest irréductible. D'où :
(2)pirréductible ⇐⇒(p)est premier et p6= 0
CommeAest principal,Aest noetherien et donc en particulier : (3)Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire
A l'aide des hypothèses(1),(2)et(3), on va montrer queAest factoriel ; on pourrait montrer queAfactoriel entraîne (1),(2)et(3) mais nous ne nous servirons que deAfactoriel entraîne (1)(déjà démontré) et(2)(voir plus loin).
Préliminaires et rappels : CommeA est intègre, on sait que(p) = (q)si et seulement sipet qsont associés et que la relation d'association est une relation d'équivalence. On restreint cette relation à{p∈A, tel quepest irréductible}et on dénitP en faisant le choix d'un et d'un seul élément par classe d'équivalence. Cette opération est possible dans le cas général par l'axiome du choix, mais dans les cas concrets, c'est beaucoup plus simple : Par exemple, dansZon choisit les premiers positifs et dans k[X], on choisit lesP irréductibles unitaires (i.e. de coecient dominant1). On obtient alors que : sipetq∈ Petpetqsont associés alorsp=qd'une part et que sipest irréductible alors il existe un uniqueq∈ P, tel que(p) = (q)d'autre part.
Montrons maintenant queAest factoriel avec ce P.
Il s'agit de prouver que tout a∈A non nul s'écrit de façon unique a=uQ
p∈Spnp avec u∈A×,S ⊂ P est ni, et np>0pour toutp∈ S.
Existence : Supposons que a6= 0eta /∈A×, montrons qu'il existep∈ P tel que(a)⊂(p). Sinon, on a : pour toutp irréductible(a)6⊂(p). En particulier an'est pas irréductible, donc il existe a1, b1 tel que a=a1b1 aveca1 et b1 non
1.7. CALCUL DANS LES ANNEAUX FACTORIELS 13 inversibles. D'où(a)⊂(a1), mais(a)6= (a1)car commeAest intègre, cela signierait queaeta1 seraient associés et b1serait inversible. De plusa1vérie la même hypothèse queac'est-à-dire que pour toutpirréductible(a1)6⊂(p), on peut donc recommencer et ainsi on obtient une suite d'idéaux principaux strictement croissante, ce qui est impossible par(3).
Soita∈Aaveca6= 0, siaest inversible c'est ni cara=aconvient.
Sinon, on sait qu'on peut trouverp1∈ Ptel que(a)⊂(p1). Si on a l'égalitéaetp1sont associés eta=u1p1 convient caru1∈A×.
Sinona=p1a1 aveca1 ∈/ A× eta1 6= 0on a donc (a)⊂(a1)et (a)6= (a1). On recommence en écrivant (a1)⊂(p2) avecp2 ∈ P. Si on a l'égalité a1 et p2 sont associés et a1=up2 avecuinversible. Sinon on a a1=p2a2 aveca2 non inversible, donc(a1)((a2). On recommence, mais on ne peut recommencer qu'un nombre ni de fois car sinon on aurait une suite strictement croissante d'idéaux monogènes.
(a)((a1)((a2)· · ·((an)· · ·
D'où il existentel que an est irréductible donc il existepn ∈ Ptel que an=upn avecuinversible.
En récapitulant, on a :a=up1p2. . . pn et en regroupant lespi qui sont les mêmes, on obtient bien la forme souhaitée.
Unicité : Soita=uQ
p∈Ppnp=vQ
p∈Ppmp, avec les conditions voulues (c'est-à-dire np= 0pour p /∈ S1 et mp= 0 pourp /∈ S2.
Démontrons quenp=mp pour toutp∈ P (doncS1=S2) etu=v par récurrence surn=P
p∈S1np.
sin= 0 alorsS1 =∅, montrons queS2 =∅. En eet, sinon (a)⊂(p) pourp∈ S2 alors que aest inversible d'après S1=∅. D'oùa=u=vdoncu=v.
si n ≥ 1, soit p1 ∈ S1, alors (a) ⊂ (p1), on a vQ
q∈S2qmp ∈ (p1) et comme (p1) est premier par l'hypothèse (2), cela entraîne que un des facteurs est dans (p1). Commev est inversible, il ne peut pas être dans(p1) donc il existe q1 ∈ S2 tel que q1 ∈ (p1), donc q1 = p1u, mais q1 étant irréductible, et p1 non inversible, u est inversible. Par conséquent p1 et q1 sont associés mais comme ils sont dans P on a p1 = q1. En divisant a par p1, on obtient : upn1p1−1Q
p∈P,p6=p1pnp=vpm1p1−1Q
p∈P,p6=p1pmp. Par hypothèse de récurrence, on obtient queu=vetmp=nppour p∈ P,p6=p1 etnp1−1 =mp1−1, doncmp=np pour toutp∈ P.
1.7 Calcul dans les anneaux factoriels
SoitAun anneau factoriel etPl'ensemble des irréductibles intervenant dans la décomposition en facteurs irréductibles.
On noteS ={Q
p∈Spnp,S ⊂ P,Snie etnp >0}. On vérie (par un calcul) queSest une partie multiplicative (c'est la partie multiplicative engendrée parP) et que touta∈Anon-nul, s'écrit de manière unique (c'est la décomposition) a=ubavecu∈A× etb∈S. En particulier sic etc0 appartiennent à Set sont associés, (on peut écrirec= 1.c=uc0 avecu∈A×), alorsc=c0 (et u= 1).
Dénitions 1.7.1 (ppcm, pgcd)
SoientAun anneau factoriel etP l'ensemble déni précédemment. Soient(ai)i∈I une famille nie d'éléments non-nuls deA.
Ecrivonsai=uiQ
p∈Sipnp,i.
On dénit le pgcd et le ppcm comme suit : pgcd{(ai)i∈I}= Y
p∈∩i∈ISi
pmin{np,i}; ppcm{(ai)i∈I}= Y
p∈∪i∈ISi
pmax{np,i}
Remarques : Dans ces dénitions le pgcd et le ppcm sont vraiment dénis (et non pas à un inversible près) et appartiennent àS oùS est l'ensemble multiplicatif engendré parP.
Il est tentant dans ce cas (et nous le ferons tant que nous serons dans des anneaux factoriels) de dire queaetbsont premiers entre eux si leur pgcd vaut 1.
Proposition 1.7.2 SoientAun anneau factoriel et(ai)i∈I une famille nie d'éléments non-nuls deA. On a alors : ppcm{(ai)i∈I} est le plus petit multiple commun auxai et
pgcd{(ai)i∈I}est le plus grand diviseur commun auxai. Preuve. Exercice.
Proposition 1.7.3 (Bezout)
SoitAun anneau principal et intègre. Pour toute famille (nie) (ai)i∈I d'éléments non nuls deA, on a :P
(ai) = (d) où(d)est le pgcd des (ai)i∈I, oùPdésigne la somme des idéaux principaux (ai).
Soientaetb non nuls,aet bsont premiers entre eux si et seulement si il existe uetv dansAtels que au+bv= 1.
Remarque : Il convient d'insister sur le fait que cette propriété importante qui dit que les deux dénitions de premiers entre eux coïncident a lieu dans les anneaux principaux (et intègres).
Preuve. Tous les idéaux étant principaux, on a donc queP
(ai) = (d). Reste à voir que le pgcd noté δpeut être choisi commedorddivise tous lesai (car(ai)⊂(d) =P
(ai)), donc diviseδet on a toujoursP
(ai)⊂(δ)dans un anneau factoriel donc δdivised. Le reste est de la proposition est laissé lecteur.
Proposition 1.7.4 (Lemme de Gauss)
SoitA un anneau factoriel eta,bet cdes éléments non nuls. Si adivisebc etaest premier avec balors adivisec. Preuve. Calcul (après avoir tout décomposé en facteurs irréductibles)
Corollaire 1.7.5 Soit Aun anneau factoriel. Alors pour tout élément irréductible p, on a :(p)est un idéal premier.
Preuve. Prendre a = p et remarquer que le pgcd de p et b vaut p si et seulement si p divise b (sinon il vaut 1).
Remarquons que sip6= 0, on avait déjà la réciproque. Donc dansAfactorielpest irréductible si et seulement sip6= 0 et (p)est premier (c'était notre hypothèse(2)). Nous nous en servirons fréquemment par la suite.
Proposition 1.7.6 SoitA un anneau factoriel, posonsK= FracA. Tout élément deK∗ s'écrit de façon uniqueua/b avec u∈A×,aet b∈S,aet bpremiers entre eux.
Preuve. On écrit x=y/z en décomposanty etz et on simplie ce qu'il faut. Montrons l'unicité, siua/b=vc/d alors commeAest intègre on a :uad=vcb, détant premier àvc,ddiviseb, de mêmeb divisedet doncd=bcar ils sont tous les deux dansS, de la même façon a=c et par conséquentu=v.
Remarque : Soit x∈ K∗ si on l'écrit x=ua/b, avec u∈ A×, a et b ∈ S et premiers entre eux, on a : x∈ A si et seulement si b= 1(par l'unicité).
1.8 Calculs dans A[T ]
1.8.1 préliminaires
Proposition 1.8.1 SoitAun anneau etIun idéal deA, on appelle πla surjection canonique deAdansA/I. Alors : L'applicationφ:A[T]−→(A/I)[T] dénie parφ(Pn
k=0akTk) =Pn
k=0π(ak)Tk est un morphisme surjectif de noyau {f ∈A[T], f =Pn
k=0akTk avec ak∈I pour toutk}. Preuve. Exercice
Proposition 1.8.2 Soit Aun anneau intègre. On a : 1. A[T] est intègre
2. Les éléments inversibles de A[T] sont les éléments inversibles deA.
Preuve. Remarquer que l'application degré est bien dénie et vérier que le degré du produit est la somme des degrés.
Proposition 1.8.3 (Division euclidienne généralisée)
Soit A un anneau, (que l'on peut supposer intègre pour simplier, mais ce n'est pas nécessaire) et Q un polynôme de A[T] de coecient dominant inversible. Pour tout P ∈ A[T], il existe R, S ∈ A[T] avec doS < doQ tels que P =QR+S.
Preuve. Exercice, indication : par récurrence sur le degré de P, en commençant par vérier "d'un coup" pour doP < doQ.
Corollaire 1.8.4 SoientAun anneau et Qun polynôme deA[T]de coecient dominant a6= 0. Pour tout polynôme P ∈A[T], il existe n∈N,R,S∈A[T]tels quedoS < doQetanP=QR+S.
Preuve. On peut supposer a non nilpotent, car sinon l'écriture est juste (avec R = S = 0), mais sans intérêt. On regarde la situation dans AS le localisé de A en la partie S ={an, n∈N} et on remarque que AS[T] =A[T]S (car il sut de mettre en facteur au dénominateur le plus grand exposant des coecients). Dans cette situation, Q/1 a un coecient dominant inversible, et on peut utiliser la proposition précédente. P/1 = (Q/1).(R/an) +S/am. On remarque qu'en multipliant par une puissance quelconque deaun polynôme, on ne peut que diminuer le degré (dans le cas oùAest intègre, on conserve le degré) et dans le cas deQ, on ne peut pas le diminuer (caran'est pas nilpotent).
On obtient bien après multiplication convenable par une puissance de a (ne pas oublier la dénition de la relation d'équivalence) l'écriture voulue.
1.8. CALCULS DANSA[T] 15
1.8.2 A factoriel
A partir de maintenant et dans toute cette partie, nous adopterons les conventions suivantes : On désigne par A un anneau factoriel, on note P l'ensemble des premiers irréductibles intervenant dans la décomposition en facteurs irréductibles etS la partie multiplicative engendrée parP. On note aussiKle corps des fractions deA.
Dénition 1.8.5 SoitA factoriel, et f ∈A[T], avec f 6= 0. On désigne parC(f)le pgcd des coecients (non nuls) def. SiC(f) = 1, on dit quef est primitif.
Remarques :C(f)∈S et sif est de degré0, (c'est-à-dire sif ∈A) alorsC(f)∈S est associé à f etf =uC(f)avec u∈A×.
On obtient donc quef est de degré0 etC(f) = 1si et seulement sif ∈A×.
Proposition 1.8.6 SoientAfactoriel,f etg∈A[T]non nuls. On a alorsC(f g) =C(f)C(g).
On peut écrire f = C(f)f1 avec C(f) ∈ S et C(f1) = 1, ainsi que g = C(g)g1 avec C(g) ∈ S et C(g1) = 1. D'où f g=C(f)C(g)f1g1 et C(f)C(g)divise C(f g). Pour montrer l'autre inégalité et comme nous sommes dansS, il sut de montrer que C(f1g1) = 1. Supposons que p ∈ P divise tous les coecients de f1g1 alors si on regarde φ:A[T]−→A/(p)[T], on remarque que φ(f1g1) = φ(f1)φ(g1) = 0. Comme A/(p)[T] est intègre carA/(p)l'est (car (p)est irréductible), on en déduit queφ(f1)ouφ(g1)est nul ce qui est impossible car sinon tous les coecients def1
(par exemple) serait divisible parp, ce qui n'est pas carC(f1) = 1. Montrons une proposition surK[T].
Proposition 1.8.7 Soit f ∈K[T], si f 6= 0 alors f s'écrit de manière unique :f = (p/q)f1 avec p∈S,q∈S tels quepetq soient premiers entre eux,f1∈A[T] etC(f1) = 1. De plus qf ∈A[T] etp=C(qf) Quand nous parlerons de la décomposition def ∈K[T](sans autres précisions) il s'agira de celle-ci.
Preuve. Ecrivons f = Pn
k=0ak/bkTk. On prend le ppcm des bk, qu'on note m, d'où m = bkrk pour tout k donc mf =PakrkTk ∈A[T]doncmf =df1avecf1∈A[T]etC(f1) = 1. En écrivantd/m=p/qavecpetq∈Spremiers entre eux (ce qui est possible cardet m∈S), on a le résultat (en fait on pourrait montrer que si on a pris la forme réduite pour lesak/bk alorsdet msont premiers entre eux).
Unicité : Si f = (p/q)f1 = (p0/q0)f10 avec toutes les conditions alors on a : qq0f = q0pf1 = p0qf10 ∈ A[T]. Donc C(qq0f) =q0p=p0qcarC(f1) =C(f10) = 1, d'oùpdivisep0q, mais commepest premier avecq,pdivisep0 et de même p0 divisep(en échangeant les termes). Commepet p0 sont dansS ils sont égaux ; de même pourqet q0 et nalement f1=f10.
Remarques : Soitf non nulle appartenant àA[T], si on peut l'écrire : f = (p/q)f1 avecp, q∈S, premiers entre eux, f1∈A[T]et C(f1) = 1, grâce à l'unicité, on aura :p=C(f)et q= 1.
Sif ∈K[T]est non nulle et de degré0 , cette décomposition coïncide avec celle vue précédemment pour les éléments deK∗.
Lemme 1.8.8 Soitf ∈A[T] de degré0. Alorsf est irréductible dans A[T]si et seulement si f est irréductible dans A.
Preuve. Se ramener àApar des considérations de degrés ! Lemme 1.8.9 (de Gauss)
Soitf ∈A[T] de degré supérieur ou égal à1. On a :
f est irréductible dans A[T]si et seulement si C(f) = 1etf est irréductible dansK[T].
Preuve. Supposonsf est irréductible dansA[T], en écrivant f =C(f).f1, on s'aperçoit queC(f)doit être inversible car f1 est de degré diérent de 0 donc n'est pas inversible. Comme le seul inversible de S vaut 1, on a C(f) = 1. Soitf =g.h avecg et h∈K[T]. On peut écrireg = (p/q)g1 et h= (r/s)h1 avecp, q, r, s ∈S, g1 et h1 ∈A[T] tels queC(g1) =C(h1) = 1. Comme C(f) = 1, on a par unicité de la décomposition dansK[T],pr/qs = 1et g1h1 =f. Commef est irréductible on a (par exemple) g1=uinversible et doncg= (p/q)u∈K∗.
Réciproquement : Ecrivonsf =ghavecgeth∈A[T]; commeC(f) = 1on en déduit queC(g)etC(h)sont inversibles donc valent1. La décomposition de gdans K[T] vautg=g, de même pourh. Commef est irréductible dansK[T], on a (par exemple) g∈K∗. La décomposition dansK[T] et dansK coïncidant,g ∈A× carg∈A[T], de degré0 et C(g) = 1.
Théorème 1.8.10 SoitAun anneau factoriel alors A[T] est factoriel.
