Intégration TerminaleES/LIIntégraled’unefonctioncontinueetpositive

Terminale ES/L

I Intégrale d’une fonction continue et positive

I.1 Unité d’aire

Soit³ O,−→

ı ,−→



´

un repère orthogonal du plan.

L’unité d’aire, notée u.a, est l’aire du rectangle unitaire OIJK avecI(0; 1), J(0; 1) et K(1; 1).

0 x

y

~i

~j

I

J K

u.a.

I.2 Intégrale d’une fonction continue et positive

I.2.1 Définition

Soitf une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a;b] etC_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³

O,→−ı ,−→



´ .

L’intégrale def entreaetbest l’aire, en unités d’aire, du domaineD_f compris entre la courbeC_{f, l’axe} des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b

Ce nombre est noté : Zb

a f(x)dx Définition 1

0 x

y

~i

~j

I

J K

a b

C_f 1 u.a

Remarques

• Zb

a

f(x)dxse lit « intégrale deaàbdef(x)dx» ou encore « somme deaàbdef(x)dx».

• Les réelsaetbsont appelés les bornes de l’intégrale Zb

a

f(x)dx.

• La variablexest dite « muette », elle n’intervient pas dans le résultat. C’est à dire qu’on peut la remplacer par n’importe quelle autre variable distincte des lettresaetb:

Zb

a f(x)dx= Zb

a f(t)dt= Zb

a f(u)du

• Za

a f(x)dx=0, car le domaineD_f est alors réduit à un segment.

Calculons Z₄

−1(−0, 4x+3, 6) dx.

La fonction affine f définie pour tout réel x par f(x)= −0, 4x+3, 6 est continue et positive sur l’in- tervalle [−1; 4]

L’intégrale Z4

−1(−0, 4x+3, 6) dx est égale à l’aire du trapèzeABC D.

Z4

−1

(−0, 4x+3, 6) dx = (AD+BC)×AB 2

= (4+2)×5

2 =15

1 2 3 4

1 2 3 4

-1 ^O x

y

A B

C D

C_f Exemple 1

Soitf la fonction définie pour tout réelxparf(x)= 6

x²−4x+7dont la courbeC_f est représentée ci- dessous. Déterminer un encadrement de l’intégrale

Z3

−1f(x)dx.

1 2

1 2 3

-1 ^O x

y

C _f

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11

12 13

14 15 16 17 18 19 20 21

Sur [−1; 3], la fonctionf est continue et positive. L’intégrale Z₃

−1f(x)dxest égale à l’aire, en unités d’aire, du domaineD_f compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= −1 etx=3.

On peut déterminer un encadrement de l’intégrale Z3

−1

f(x)dxà l’aide du quadrillage.

• Un carreau bleu représente 1

16 d’unité d’aire donc la partie blue située sous la courbe représente 75× 1

16d’unités d’aire. L’aire cherchée est donc supérieure à cette valeur.

• On complète pour majorer l’aire cherchée par les 21 autres carrés ce qui représente : 21+75 16 =6 unités d’aire.

D’où l’encadrement

75 16É

Z3

−1f(x)dxÉ6 Exemple 2

I.3 Lien entre intégrale et dérivée

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On peut définir une nouvelle fonctionF qui à tout réelx de l’intervalle [a;b], associe l’intégrale def entreaetx:F(x)=

Zx a

f(t)dt

I.3.1 Théorème (Admis)

Soitf une fonction continue sur un intervalle [a;b].

La fonctionFdéfinie sur [a;b] par :

F(x)= Zx

a f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivéef. On a donc :

F(x)= Zx

a f(t)dt=⇒F^′(x)=f(x) Théorème 1

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [−1; 4] par f(x)= −1

2x+5 2

Sixest un réel de l’intervalle [−1; 4], la fonctionFdéfinie par : F(x)=

Zx

−1

f(t)dt est égale à l’aire du trapèze colorié. On a donc

F(x)=(3+(−0, 5x+2, 5))×(x+1)

2 = −x²

4 +5x 2 +11

4 La fonctionFest dérivable sur [−1; 4] et

F^′(x)= −x 2+5

2=f(x)

A=(AD+BC)×DC 2

avec





 AD=3

BC=f(x)= −0, 5x+2, 5 C D=(x+1)

1 2 3

1 2 3 4

-1 ^O x

C_f A

B

C D

A

Exemple 3

II Primitives d’une fonction continue

II.1 Définition

Soitf une fonction définie sur un intervalleI.

Une primitive def surIest une fonctionFdérivable surIet telle que pour tout réelxdeI,F^′(x)=f(x).

Définition 2

Soitf est la fonction définie surRparf(x)=5−3x Les fonctionsFetGdéfinies surRpar

F(x)= −3

2x²+5x et G(x)= −3

2x²+5x−p 2 sont des primitives def surR.

De façon générale, toute fonctionGdéfinie surRparG(x)= −3

2x²+5x+c , oùc est un réel, est une primitive def surR.

Exemple 4

II.2 Ensemble des primitives d’une fonction

II.2.1 Propriété (Admise)

Toute fonctionf continue sur un intervalleIadmet des primitives surI.

Théorème 2

II.2.2 Théorème

SiFest une primitive def sur un intervalleI, alors les primitives def surIsont les fonctionsGdéfinies pour tout réelxdeIpar

G(x)=F(x)+k oùkest un réel.

Théorème 3

Preuve.

SoientFune primitive de la fonction f surIetkest un réel.

• Si pour tout réelxdeI,Gest la fonction définie parG(x)=F(x)+k, alors G^′(x)=F^′(x)+0=f(x) doncGest aussi une primitive def surI.

• SoientGetFdeux primitives def surI.

On considère la fonctionHdéfinie surIparH(x)=G(x)−F(x), alorsHest dérivable surIet H^′(x)=G^′(x)−F^′(x)=f(x)−f(x)=0

La dérivéeH^′est la fonction nulle surIce qui signifie queHest une fonction constante surI.

• Ainsi, pour tout réelxdeI,H(x)=koùCest un réel. Soit

G(x)−F(x)=C=⇒G(x)=F(x)+k

II.2.3 Interprétation graphique

Si on connaît la courbeCreprésentative d’une primitive def surI, alors les courbes des pri- mitives de f surI se déduisent deC _{par une} translation de vecteurk~j oùkest un réel.

Un point M(x0;y0) étant donné, il n’existe qu’une seule courbeC_F de la famille passant par ce point.

O x

y

~i

~j

C_F

x0 y0

M

II.3 Primitive vérifiant une condition

Soitf une fonction admettant des primitives sur un intervalleI. Soitx0un réel de l’intervalleIety0un réel quelconque.

Il existe une unique primitiveFdef surItelle queF(x0)=y0. Théorème 4

Preuve.

SiGest une primitive def surI, alors toute primitiveFdef surIest définie parF(x)=G(x)+kaveckréel.

La conditionF(x0)=y0s’écritG(x0)+k=y0d’oùk=y0−G(x0).

Il existe donc une seule primitiveFdef surItelle queF(x0)=y0, définie par F(x)=G(x)+y0−G(x0)

III Calcul de primitives

III.1 Primitives des fonctions usuelles

f est définie surIpar . . . Une primitiveFest donnée par . . . Validité

f(x)=a(aest un réel) F(x)=ax surR

f(x)=x F(x)=1

2x² surR

f(x)=xⁿ(nest un entier naturel) F(x)=xⁿ⁺¹

n+1 surR

f(x)=1

x F(x)=ln(x) sur ]0 ;+∞[

f(x)= 1

x² F(x)= −1

x sur ]− ∞; 0[ ou sur ]0 ;+∞[

f(x)= 1

xⁿ (nentier,n>1) F(x)= − 1

(n−1)xⁿ⁻¹ sur ]− ∞; 0[ ou sur ]0;+∞[ f(x)= 1

px F(x)=2p

x sur ]0 ;+∞[

f(x)=e^x F(x)=e^x surR

f(x)=u^′(x) e^u(x)avecudérivable surR

F(x)=e^u(x) surR

III.2 Linéarité

• SiFetGsont des primitives respectives des fonctionsf etgsur un intervalleI, alorsF+Gest une primitive def+gsurI.

• SiFest une primitive de la fonctionf sur un intervalleIetαun réel, alorsαFest une primitive de αf surI.

Théorème 5

Preuve.

SiFetGsont des primitives respectives des fonctionsf etgsurI, alorsF+GetαFsont dérivables surI.

• (F+G)^′=F^′+G^′=f +gdoncF+Gest une primitive def+gsurI.

• (αF)^′=αF^′=αf doncαFest une primitive deαf surI.

Soitf la fonction définie surI=]0;+∞[ parf(x)=x²−3 x.

• La fonctionudéfinie paru(x)=x²admet comme primitive la fonctionUdéfinie parU(x)=x³ 3 car U^′(x)=x²=u(x) surI.

• Sur l’intervalleI=]0;+∞[ la fonctionx7→1

x admet pour primitive la fonctionx7→lnxcar surIon a (lnx)^′=1

x.

• Donc sur l’intervalle ]0;+∞[ la fonctionvdéfinie parv(x)= −3

x admet comme primitive la fonction V définie parV(x)= −3lnx.

• Donc la fonctionf =u+vadmet comme primitive la fonctionF=U+Vdéfinie par F(x)=x³

3 −3lnx Exemple 5

Point Bac

Les exercices du bac ne proposent généralement pas de calculer directement une primitive mais de montrer qu’une fonction donnéeF est la primitive d’une autre f. La méthode dans ce cas est de dériverF et de montrer que l’on retrouvef.

On considère la fonction définie surI=]0 ;+∞] par : f(x)=lnx

Montrer que la fonctionFdéfinie ci-dessous est une primitive def surI: F(x)=xlnx−x

La fonctionFest définie et dérivable surI. Elle est de la formeuv−wdonc de dérivéeu^′v+uv^′−w^′avec pour tout réelxdeI:

u(x)=x u^′(x)=1 v(x)=lnx v^′(x)=1 x w(x)=x w^′(x)=1 Pour tout réelxdeI:

F^′(x)=1×lnx+x1 x−1 F^′(x)=lnx+1−1

F^′(x)=lnx

La dérivée deFsurIest doncf ce qui prouve que la fonctionFest une primitive def surI.

Exemple 6(Comme au Bac)

Remarque

Il existe des fonctions continues dont on ne connait pas de forme explicite de primitive. Par exemple la fonction x7−→e^−x2est continue donc admet des primitives mais on ne sait pas les exprimer sous forme explicite.

IV Intégrale d’une fonction continue

IV.1 Définition

Soitf une fonction continue sur un intervalle [a;b] etFune primitive de la fonctionf sur [a;b].

L’intégrale def entreaàbest le nombre réel égal àF(b)−F(a) que l’on note£

F(x) ¤b asoit : Zb

a f(x)dx=£

F(x) ¤b

a=F(b)−F(a) Théorème 6

Remarques

• Le choix de la primitiveFn’influe pas sur la valeur de l’intégrale.

En effet, siGest une autre primitive def surI, il existe un réelktel queG(x)=F(x)+kd’où G(b)−G(a)=(F(b)+k)−(F(a)+k)=F(b)−F(a)

• Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] alors l’intégrale Zb

a

f(x)dx=F(b)−F(a) est l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=aetx=b.

Ze 1

µ x−1

x+ e x²

¶ dx=

·x²

2 −ln(x)−e x

¸^e

1

= µe²

2 −ln( e )−e e

¶

− µ1²

2 −ln(1)−e 1

¶

= e² 2 +e−5

2 Exemple 7

IV.2 Premières propriétés

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR. Pour tout réelaappartenant àI.

Za

a f(x)dx=0 Théorème 7

Preuve.

SoitFune primitive def surI.

Za a

f(x)dx=F(a)−F(a)=0

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR,aetbdeux réels appartenant àI.

Zb a

f(x)dx= − Za

b

f(x)dx Théorème 8

Preuve.

SoitFune primitive def surI.

Zb

a f(x)dx=F(b)−F(a) et Za

b f(x)dx=F(a)−F(b)

V Propriétés de l’intégrale

V.1 Positivité

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels appartenant àI.

SiaÉbetf Ê0 sur l’intervalle [a;b], alors Z_b

a f(x)dxÊ0.

Théorème 9

Preuve.

SoitFune primitive def surI. Pour tout réelxde l’intervalleI,F^′(x)=f(x).

Orf Ê0 sur l’intervalle [a;b] doncFest croissante sur [a;b]. Par conséquent, siaÉb, alorsF(a)ÉF(b).

On en déduit queF(b)−F(a)Ê0 et Zb

a

f(x)dxÊ0.

Attention la réciproque est fausse :

Soitf la fonction définie surRparf(x)= −x²+3x+1 Z3

−2

¡−x²+3x+1¢ dx=

·

−x³ 3 +3

2x²+x

¸³

−2

= µ

−9+27 2 +3

¶

− µ8

3+6−2

¶

=5 6 Ainsi

Z3

−2

f(x)dxÊ0 maisf(−1)= −3

V.2 Linéarité

Soitf etgcontinues sur un intervalleIdeR. Pour tous réelsaetbappartenant àI, et pour tout réelα Zb

a

¡f(x)+g(x)¢ dx=

Zb a

f(x)dx+ Zb

a

g(x)dx et Zb

a

αf(x)dx=α Zb

a

f(x)dx Théorème 10

Preuve.

1. SiF etGsont deux primitives respectives des fonctions f etg surI, alorsF+G est une primitive surI de la fonctionf+g.

Zb a

¡f(x)+g(x)¢

dx=(F(b)+G(b))−(F(a)+G(a))

=(F(b)−F(a))+(G(b)−G(a))

= Zb

a f(x)dx+ Zb

a g(x)dx 2. SoitFune primitive def surIetαun réel.

Zb

a k f(t)dt=αF(b)−αF(a)

=α(F(b)−F(a))

=α Zb

a

f(x)dx

V.3 Relation de Chasles

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR. Pour tous réelsa,betcappartenant àI Z_b

a f(x)dx= Z_c

a f(x)dx+ Z_b

c f(x)dx Théorème 11

Preuve.

SoitFune primitive def surI. Pour tous réelsa,betcappartenant àI Zc

a f(x)dx+ Zb

c f(x)dx=(F(c)−F(a))+(F(b)−F(c))

=F(b)−F(a)

= Zb

a f(x)dx Interprétation graphique

Dans le cas oùf est une fonction continue et positive sur [a;b].

L’aire du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best égale à la somme des aires du domaine compris entre la courbe C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx =aet x=cet du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des

abscisses et les droites d’équationsx=cetx=b 0 x

y

~i

~j

a c b

C_f 1 u.a

V.4 Ordre

Soientf etgdeux fonctions continues sur un intervalleI,aetbdeux réels appartenant àItels queaÉb.

Si pour tout réelxappartenant à [a;b],

f(x)Ég(x), alors Zb

a

f(x)dxÉ Zb

a

g(x)dx Théorème 12

Preuve.

Si pour tout réelxappartenant à [a;b],f(x)Ég(x), alorsf(x)−g(x)É0. Commef etgsont deux fonctions continues sur [a;b], la fonctionf −gest continue sur [a;b].

Par conséquent, siaÉbetf−gÉ0 alors Zb

a (f−g)(x)dxÉ0⇔ Zb

a f(x)dx− Zb

a g(x)dxÉ0

Attention la réciproque est fausse :

Considérons les fonctionsf etgdéfinies surRparf(x)=4−x²etg(x)=x²+x−2.

Z3

−4

¡4−x²¢ dx=

· 4x−x³

3

¸3

−4

= µ

12−27 3

¶

− µ

−16+64 3

¶

= −7 3 et

Z3

−4

¡x²+x−2¢ dx=

·x² 3 +x²

2 −2x

¸3

−4

= µ27

3 +9 2−6

¶

− µ

−64 3 +16

2 +8

¶

=77 6 Ainsi,

Z₃

−4f(x)dxÉ Z₃

−4g(x)dxmais nous ne pouvons pas conclure que sur l’intervalle [−4; 3],f(x)Ég(x) comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous.

4 8 12

-4

-8

-12

1 2 3 4

-1 -2

-3

-4 0 x

y

C_f C_g

VI Compléments et applications

VI.1 Intégrale d’une fonction continue et négative

Sif est une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] alors, la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [a;b] par g= −f est une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire du domaineD_f compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best égale à l’aire du domaineD_g compris entre la courbeC_g, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

0 x

y

~i

~j

I

J K

a b

C_f C_g 1 u.a

VI.1.1 Définition

Soit f une fonction définie, continue et négative sur un intervalle [a;b] etC_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³

O,→− ı ,−→



´ .

L’intégrale de la fonction f entreaetbest égale à l’opposé de l’aireA, exprimée en unités d’aire, du domaineD_f compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b:

Zb a

f(x)dx= −A Définition 3

VI.2 Calculs d’aires

Sif etgsont des fonctions continues et positives sur [a;b] telles quef(x)≤g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface comprise entre les courbesC_{f et}C_get les droites d’équationx=aetx=best égale à :

Zb a

¡g(x)−f(x)¢ dx Théorème 13

Soit f etg deux fonctions telles que f(x)=lnxetg(x)=x. Sur l’intervalle [1 ; 5] on a montré lors du chapitre précédent quex−lnx>0. L’aireA se la surface comprise entre les courbes représentatives def etget les droites d’équationx=1 etx=3 est donc égale en unité d’aire à :

A= Z3

1

(x−lnx) dx Or

• une primitive dex7−→xestx7−→x² 2 ;

• une primitive de la fonctionx7−→lnxestx7−→xlnx−x(voir exemple 6)

• donc une primitive def est la fonction :

F : x7−→F(x)=x²

2 −(xlnx−x) et on a















F(3)=9

2−(3ln 3−3)=15 2 −3ln 3

F(1)=1 2−



1ln 1

| {z }

0

−1



=3 2 On a donc :

Z3 1

(x−lnx) dx=£

F(x) ¤3

1=F(3)−F(1)

=15

2 −3ln 3−3 2 Z₃

1 (x−lnx) dx=6−3ln 3

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

Exemple 8

VI.3 Valeur moyenne

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] deR(a<b).

On appelle valeur moyenne def sur [a;b] le réelµ= 1 b−a

Zb a f(x)dx Théorème 14

Interprétation graphique.

Dans le cas oùf est une fonction continue et positive sur [a;b]

L’aire du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=aetx=best égale à l’aire du rectangle de côtésµetb−a

×

~i

~j

0 x

y

a b

C_f µ