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EXERCICE CORRIGE
Enoncé :
On considère deux populations Normales A et B de moyennes respectives µA et µB inconnues.
Les écarts types des populations sont connus et sont tous deux égaux à 4.
Les hypothèses sont H0 : “ µA = µB ” et H1 : “ µA = µB + 5 ”.
Pour tester ces hypothèses, on prélève
• dans la population A, un échantillon aléatoire simple de taille 9. On note
X
A la moyenne aléatoire d’un tel échantillon etx
A la moyenne observée sur cet échantillon• dans la population B, un échantillon aléatoire simple de taille 16. On note
X
B la moyenne aléatoire d’un tel échantillon etx
B la moyenne observée sur cet échantillon.On retient la règle de décision suivante :
si
x
A -x
B < 3 ,on décide H0 et six
A -x
B ≥ 3 , on décide H1 .1)
Préciser la loi de probabilité de chacune des variables aléatoiresX
A etX
B.2)
En déduire la loi de probabilité de la variableX
A -X
B en justifiant votre réponse.3)
Représenter sur un même schéma les lois de probabilité de la variableX
A -X
B sous l’hypothèse H0 puis sous l’hypothèse H1 .4)
Calculer le risque de première espèce α relatif à la règle de décision retenue.5)
Calculer le risque de seconde espèce β relatif à la règle de décision retenue.6)
Illustrer ces deux risques par les surfaces qu’ils représentent sur le schéma précédent.________________________
Correction :
1)
Les populations mères A et B sont Normales ; la variableX
A est donc distribuée selon laloi normale
)
; n ( N
A A A
μ σ soit ici la loi
)
3
; 4 (
N
μA . De même la variableX
B estdistribuée selon la loi
)
; n ( N
B B B
μ σ soit ici la loi
N ( μ
B; 1 )
.2)
Les variablesX
A etX
B sont normales et indépendantes, la variableX
A -X
B est donc normale.Son espérance est telle que :
E(
X
A -X
B ) = E(X
A )-E (X
B ) d’où E(X
A -X
B ) = µA-µB. Comme les variablesX
A etX
B sont indépendantes, on a :ENFA - Bulletin du GRES n°10 – octobre 2000 page 15 Contact : Conf [email protected]
V(
X
A -X
B ) = V(X
A )+V(X
B ) d’où V(XA -X
B ) =9 1 25 3
4
22
=
⎥⎦ +
⎢⎣ ⎤
⎡
.La variable aléatoire
X
A -X
B est donc distribuée selon la loi) 3
; 5 (
N μ
A− μ
B .3)
Sous l’hypothèse H0 , la variableX
A -X
B est de loi) 3
; 5 0 ( N
Sous l’hypothèse H1 , la variable
X
A -X
B est de loi) 3
; 5 5 ( N
.4)
Le risque α est égal à la probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie. Calculons, sous H0, la probabilité de décider H1 :Puisque sous H0 , la variable
X
A -X
B est de loi) 3
; 5 0 ( N
,on pose
3 5
X U X
A−
B=
, U est donc de loi N(0;1).α = P(
X
A -X
B ≥ 3 ) ; α = P(3 5
X X
A−
B≥
3 5
3
) ; α = P( U ≥ 1,8 ) ;α = 1 - P( U < 1,8 ) ; α = 1 - 0,9641 ; donc α = 0,0359.
Le risque de première espèce associé à cette règle de décision vaut à 0,0359 (ou 3,6 % ).
5)
Le risque β est égal à la probabilité de décider H0 alors que H1 est vraie : Sous H1 , la variableX
A -X
B est de loi)
3
; 5
5
(
N
.ENFA - Bulletin du GRES n°10 – octobre 2000 page 16 Contact : Conf [email protected]
On pose
3 5
5 X U X
A−
B−
=
, U est de loi N(0;1).β = P(
X
A -X
B < 3 ) ; β = P(3 5
5 X X
A−
B−
<
3 5 5 3
−
) ; β = P( U < - 1,2 )β = 1 - P( U < 1,2 ) ; β = 1 - 0,8849 ; donc β = 0,1151.
Le risque de seconde espèce associé à la règle de décision vaut 0,1151 (ou 11,5 % ).
6)
Représentation graphique des risques.≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
