DEA Universit´e de Paris 1 Equilibre g´en´eral, chˆomage et assurance incompl`ete Le Mod`ele d’Aiyagari [QJE,1994]

DEA Universit´e de Paris 1

Equilibre g´en´eral, chˆomage et assurance incompl`ete

Le Mod`ele d’Aiyagari [QJE,1994]

Franc ¸ois Langot

GAINS (Le Mans) & Cepremap

24 mars 2004

Risques sp´ ecifiques de revenu

A chaque p´eriode de sa vie active, l’individu fait face `a un risque sp´ecifique sur le march´e du travail. Par exemple, ce risque peut se traduire par la possibilit´e de connaˆıtre des ´episodes de chˆomage. Les transitions entre ces deux

´etats (e ou u) sont mod´elis´ees par le processus de Mar- kov :

t + 1 t

e u

e φ ₁ 1 − φ ₁ u φ ₂ 1 − φ ₂

Soit s la variable al´eatoire donnant le statut d’un indi- vidu sur le march´e du travail, on peut alors noter les pro- babilit´es de transition entre ces diff´erents ´etats comme les probabilit´es conditionnelles de la matrice d´efinie ci- dessus :

π(s ⁰ |s) = P r{s _t+1 = s ⁰ |s _t = s}

o`u s, s ⁰ ∈ S = {e, u}.

– si s = e, l’individu consacre son temps disponible au travail et re¸coit une r´emun´eration.

– si s = u, l’individu consacre tout son temps `a des ac-

tivit´es hors-march´e (production domestique, moins

productive que l’activit´e de production dans le sec-

teur marchand), et re¸coit des indemnit´es chˆomage

vers´ees par le gouvernement.

Pr´ ef´ erences

Les pr´ef´erences des agents sont r´esum´ees par la fonc- tion d’utilit´e suivante

X ∞ t=0 β ^t

 

 X

s _t+1 π(s _t+1 |s _t )u(c _t )

 

 (1)

o`u le facteur d’escompte psychologique v´erifie β ∈]0, 1[, la consommation c _t est strictement positive. Le flux ins- tantan´e d’utilit´e u est une fonction strictement concave de type CRRA :

u(c) = c ^1−σ 1 − σ

avec σ le coefficient d’aversion relative pour le risque. Les

m´enages ont acc`es `a un march´e financier, mais ne peuvent

pas s’endetter (contrainte d’endettement). De plus, les

titres sur les march´es financiers ne leur permettent pas

de s’assurer contre tous les risques individuels de revenu.

Le gouvernement

Le gouvernement taxe les revenus salariaux des m´enages afin d’effectuer des transferts vers les chˆomeurs, not´es b.

L’´equilibre de la contrainte budg´etaire du gouverne- ment est assur´e par l’ajustement du taux de cotisation sur le salaire, τ .

L’indemnit´e-chˆomage est suppos´ee inconditionnelle : ind´ependante du nombre de p´eriodes pass´ees au chˆomage (non-d´egressive), et il n’y a pas de dur´ee limite pour l’in- demnisation.

Une ´etude centr´ee sur les vertus et limites de l’allocation-

chˆomage devrait naturellement prendre en compte une

certaine d´egressivit´e jusqu’`a une non-´elligibilit´e.

Les r` egles de d´ ecisions des m´ enages (1)

Le vecteur des variables d’´etat pour le m´enage est le vecteur (k, s) o`u k repr´esente le stock de capital de d´ebut de p´eriode et s la r´ealisation sp´ecifique `a l’agent des

´ev´enements idiosyncratiques. Soit K l’ensemble des va- leurs admissibles du stock d’actif. Le programme r´esolu par le m´enage est le suivant :

v(k, s) = max

c≥0,k ⁰ ∈K



 u(c) + β

 

 X

s ⁰

π(s ⁰ |s)v(k ⁰ , s ⁰ )

 





 (2) sous les contraintes

c + k ⁰ = (1 + r)k + wν (s) (3) o`u v repr´esente la fonction-valeur du m´enage, r et w sont respectivement le taux d’int´erˆet et le taux de salaire. ν (s) repr´esente le gain net du m´enage issu de sa participation au march´e du travail :

wν (s) =

 



 

(1 − τ )w si s = e (θ + b)w si s = u

avec 1 − τ > θ + b. θ < 1 mesure l’´ecart d’efficacit´e

de la production domestique par rapport `a la production

marchande et b < 1 est le ratio de remplacement.

Les r` egles de d´ ecisions des m´ enages (2) Le probl` eme en certain

L = ^{X ∞}

t β ^t {u(c _t ) + λ _t [(1 + r )k _t + w − c _t − k _t+1 ] + µ _t [k _t+1 ]}

Conditions d’optimalit´e u ⁰ (c _t ) = λ _t

β ^t λ _t + β ^t µ _t = β ^t+1 λ _t+1 (1 + r) ⇐⇒ λ _t + µ _t = βλ _t+1 (1 + r) 0 = λ _t [(1 + r)k _t + w − c _t − k _t+1 ]

0 = µ _t [k _t+1 ] On en d´eduit que

u ⁰ (c _t ) ≥ u ⁰ (c _t+1 )β(1 + r) = si k _t+1 > 0 car µ _t = 0 – si k _t+1 > 0 alors la dynamique de la consommation

telle que c _t+1 < c _t car u ⁰ (c _t ) < u ⁰ (c _t+1 ) : comme ρ > r, peu d’incitation aux placements, donc on consomme plus aujourd’hui que de demain.

– si k _t+1 = 0 alors

c _t = (1 + r)k _t + w `a la date t

c _t+1 = w `a la date t + 1 car k <sub>t+1</sub> = 0 d’o`u c _t+1 − c _t = −(1 + r)k _t < 0.

La consommation est toujours d´ecroissante, jusqu’en t =

T , date `a partir de laquelle elle est constante (c _t = w)

Les r` egles de d´ ecisions des m´ enages (3) Le probl` eme en incertain

Soit la variable al´eatoire

M _t = β ^t (1 + r) ^t u ⁰ (c _t ) On sait que M _t ≥ 0 car u ⁰ (c _t ) ≥ 0.

La condition d’optimalit´e du programme du m´enage s’´ecrit alors

u ⁰ (c _t ) ≥ β (1 + r)E _t u ⁰ (c _t+1 )

⇐⇒ β ^t (1 + r) ^t u ⁰ (c _t ) ≥ β ^t+1 (1 + r) ^t+1 E _t u ⁰ (c _t+1 )

⇐⇒ E _t [M _t+1 − M _t ] ≤ 0

Th´eor`eme de convergence des “Supermartigales” : comme M _t n’est pas n´egatif, on a

M _t −→ M ¯ ≥ 0 .

– Si β (1 + r) > 1 ou si β (1 + r) = 1 :

la convergence de M _t = ⇒ u ⁰ (c _t ) −→ 0, i.e. c _t −→

+∞.

Ceci n’est alors possible que si k _t −→ +∞.

– si β(1 + r) < 1 :

la convergence de M _t laisse libre la suite des c _t : la

consommation est alors une variable al´eatoire pre-

Les r` egles de d´ ecision de l’entreprise

Les entreprises op`erent sur des march´es concurrentiels (output et inputs). Elles disposent toutes d’une techno- logie de production de type

Y = AK ^α L ^1−α

Le programme de l’entreprise, louant ces deux facteurs de production, s’´ecrit :

max K,L AK ^α L ^1−α − wL − (r + δ)K

Les conditions d’optimalt´e indiquent que les producti- vit´es marginales ´egalisent le coˆut unitaire. Le salaire moyen est alors d´etermin´e par la fronti`ere des prix des facteurs :

w = (1 − α)A



 r + δ αA





α−1 α

D´ efinition de l’´ equilibre

L’´equilibre stationnaire de cette ´economie est d´efini par l’ensemble des r`egles de d´ecision du m´enage {c(k, s), k ⁰ (k, s)}, les fonctions valeurs des m´enages v(k, s), les instrument de politique ´economique {τ, b}, une distribution de pro- babilit´e λ(k, s), un vecteur de prix (r, w), et le vecteur des variables agr´eg´ees (K, T, B). L’´etat stationnaire v´erifie alors :

(i) Les prix (r, w) v´erifient

w = ∂F (K, L)/∂L et r = ∂F (K, L)/∂K − δ (4) (ii) Les r`egles de d´ecision k ⁰ = g(k, s) et c = f (k, s) sont solutions du programme de maximisation des agents.

(iii) τ ´equilibre la contrainte budg´etaire du gouverne- ment pour un ratio de remplacement b donn´e,

B = T o`u B = ^X

k λ(k, u)bw et T = ^X

k λ(k, e)τ w (iv) La distribution de probabilit´e λ(k, s) est une dis-

tribution stationnaire associ´ee `a {g(k, s), π(s ⁰ |s)} v´erifiant : λ(k ⁰ , s ⁰ ) = ^X

s

X

k:k ⁰ =g(k,s)

λ(k, s)π(s ⁰ |s) ⁰ (v) Le capital agr´eg´e est alors d´efini par

K = ^X λ(k, s)g(k, s)

R` egles de d´ ecision

Fig. 1 – R`egles de d´ecision d’accumulation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2

Capital(t+1), r=r*

capital (t)

capital (t+1)

45°

Employé Chomeur

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

Capital(t+1), r=r*

capital (t)

capital (t+1)

45°

Employé Chomeur

Fig. 2 – R`egles de d´ecision de consommation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2

Consommation(t), r=r*

capital (t)

consommation (t)

Employé Chomeur

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Consommation(t), r=r*

capital (t)

consommation (t)

Employé

Chomeur

Equilibre g´ en´ eral : solution

Fig. 3 – Equilibre g´en´eral

0.005 5 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 10

15 20 25 30 35

CAPITAL

RENDEMENT DU CAPITAL (r)

Fig. 4 – Offre de capital

5 10 15 20 25 30 35

0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

OFFRE DE CAPITAL

CAPITAL

RENDEMENT DU CAPITAL (r)

OFFRE DE CAPITAL PREFERENCE POUR LE PRESENT

Equilibre g´ en´ eral : distribution du capital

Fig. 5 – Distribution du capital pour le taux d’int´erˆet d’´equilibre

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1 2 3 4 5 6

7 x 10

DISTRIBUTION TOTALE DU CAPITAL, r=r*

% DE MENAGES

CAPITAL

Fig. 6 – Distribution du capital : employ´es/chˆomeurs

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1 2 3 4 5 6

7 x 10

DISTRIBUTION DU CAPITAL DETENU PAR LES EMPLOYES, r=r*

% DE MENAGES

CAPITAL

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1.6x 10⁻⁴ DISTRIBUTION DU CAPITAL DETENU PAR LES CHOMEURS, r=r*

% DE MENAGES

CAPITAL

Principe de r´ esolution num´ erique (1)

1. Hypoth` ese centrale : On suppose que β (1 + r) < 1 2. Approximation :

Les m´enages accumulent un actif k _t ∈ K, o`u K est une grille de valeurs,

K = [0 < k ₂ < k ₃ < ... < k _n ]

dans laquelle l’agent est contraint de choisir son ´epargne (contrainte d’endettement implicite car k _t ≤ 0).

3. Choix optimaux :

Etant donn´es (w, r, τ, b) et des valeurs donn´ees de (k ₀ , s ₀ ), l’agent doit choisir la s´equence optimale de k _t+1 qui maximise la somme actualis´ee de ces flux d’utilit´e, sous ses contraintes budg´etaires, de non- endettement et de positivit´e de sa consommation.

Pour chaque h ∈ [1, ..., n] (le nombre de point de la grille), l’´equation de Bellman de ce programme est :

v(k _h , e) = max

k ⁰ ∈K {u((1 + r)k _h + w − k ⁰ ) +β [π _ee v(k ⁰ , e) + π _eu v (k ⁰ , u)]}

v (k _h , u) = max

k ⁰ ∈K {u((1 + r)k _h + b − k ⁰ )

+βπ _uu v(k ⁰ , u) + π _ue v (k ⁰ , e)}

Principe de r´ esolution num´ erique (2)

L’´equation de Bellman de ce probl`eme s’´ecrit : v(k, s) = max

k ⁰ ∈K {u((1+r)k + wν (s) − k ⁰ )+βE [v(k ⁰ , s ⁰ )|s]}

ou, ∀k ∈ K ⇐⇒ h ∈ [1, n] et ∀s ∈ S ⇐⇒ i ∈ [1, 2], v(k _h , s _i ) = max

k ⁰ ∈K

 



  u((1 + r)k _h + wν (s _i ) − k ⁰ ) + β ^{X 2}

j=1 π _ij v(k ⁰ , s _j )

 



 

D´eterminer une solution `a ce probl`eme consiste `a trou- ver la fonction v(k, s) qui maximise cette ´equation, ainsi que la r`egle de d´ecision k ⁰ = g(k, s) qui permet d’associer `a tout couple (k, s) le choix optimal de ca- pital pour la p´eriode future.

M´ ethode simple de r´ esolution : le cas o` u le nombre d’´ etats exog` enes est petit Soient deux vecteurs v _j , j = e, u, avec dim(v _j ) = n × 1. Les i lignes sont du type :

v _j (i) = v(k _i , s _j ) ∀i = 1, ..., n

Soient 2 matrices R _j , j = e, u, de taille n × n telles que : R _j (i, h) = u((1+r )k _i +s _j −k _h ) pour i = 1, ..., n, h = 1, ..., n Il est alors possible de d´eterminer une solution des

´equations de Bellman `a l’´etat stationnaire par de ”simple”

calculs matricielles.

Principe de r´ esolution num´ erique (3)

Principe de l’algorithme de r´ esolution : pro- cessus it´ eratif backward

1. On se donne une valeur d’amorce pour v(k ⁰ , s ⁰ ), i.e.

une valeur associ´ee `a tous les couples (k _h , s _j ), pour h ∈ [1, n] et j ∈ [1, 2]. Chacune des lignes de ces vecteurs de valeur v _j est alors supposer repr´esenter le maximum ”demain” pour le niveau d’actif k ⁰ ∈ K.

2. Le lien entre ce futur, donn´e et suppos´e optimal, et le pr´esent est donn´e par la fonction R(k, s, k ⁰ ).

La valeur maximale ”aujourd’hui”, v(k, s), corres- pond donc au maximum que l’on peut obtenir en combinant R(k, s, k ⁰ ) et v(k ⁰ , s ⁰ ) via l’´equation de Bellman.

3. Une fois cette valeur ”contemporaine” obtenue, on v´erifie si elle correspond `a la valeur ”future” que l’on avait suppos´ee optimale. Se ce n’est pas le cas, on uti- lise ce r´esultat pour r´e-amorcer une nouvelle boucle.

Ce processus it´eratif se poursuit jusqu’`a convergence.

Principe de r´ esolution num´ erique (4)

Soit un op´erateur T ([v _e , v _u ]) : [v _e , v _u ] → [tv _e , tv _u ].

Cette application v´erifie :

tv _e = max{ R _e +βπ _ee 1 v _e ⁰

(n × 1) (n × n) (n × 1) (1 × n)

+βπ _eu 1 v _u ⁰ }

(n × 1) (1 × n)

tv _u = max{ R _u +βπ _ue 1 v _e ⁰

(n × 1) (n × n) (n × 1) (1 × n)

+βπ _uu 1 v _u ⁰ }

(n × 1) (1 × n)

Ici, l’op´erateur ”max” assigne dans la ligne i d’un vecteur tv le maximum de la colonne i du membre de gauche :

∀k ⁰ , i.e. ∀h indice des colonnes de R _j (i, h), on d´etermine le k optimal, i.e. la ligne i donnant la plus grande valeur.

Ces deux ´equations peuvent s’´ecrire :



  tv _e tv _u



  = max

 



 



  R _e R _u



  + β(π ⊗ 1)



  v _e ⁰ v _u ⁰



 

 



 

o`u ⊗ d´esigne le produit de Kronecker. L’´equation de Bell- man peut alors s’´ecrire

[v _e , v _u ] = T ([v _e , v _u ])

et peut ˆetre r´esolue en it´erant, jusqu’`a convergence de la suite suivante :

[v _e , v _u ] _m+1 = T ([v _e , v _u ] _m )

Calcul de la distribution stationnaire (1)

Les fonctions valeurs permettent de d´eterminer le lien entre un niveau d’actif quelconque i ∈ [1, n], le num´ero de la grille correspondant au choix optimal d’´epargne k ⁰ , i.e. h ∈ [1, n]. Cette correspondance permet de d´efinir les r`egles de d´ecisions individuelles k ⁰ = g(k, s).

Un fois ces r`egles d´efinies, il est possible de calculer la distribution stationnaire de la richesse de cette ´economie.

Cette distribution stationnaire se d´eduit de la distribu- tion inconditionnelle des pairs (k _t , s _t ) not´ee :

λ _t (k, s) = P rob(k _t = k, s _t = s)

La loi d’´evolution de cette distribution est donn´ee par P rob(k _t+1 = k ⁰ , s _t+1 ) = ^X

s _t

X

k _t P rob(k _t+1 = k ⁰ |k _t = k, s _t = s) P rob(s _t+1 = s ⁰ |s _t = s)P rob(k _t = k, s _t ) Etant donn´ee notre d´efinition de λ _t (k, s), ceci peut encore

s’´ecrire

λ _t+1 (k ⁰ , s ⁰ ) = ^X

s

X

k

λ _t (k, s)P rob(s _t+1 = s ⁰ |s _t = s)I (k, s, k ⁰ )

o`u I (k, s, k ⁰ ) est une variable indicatrice prenant la valeur

un quand k ⁰ = g(k, s) et z´ero sinon.

Calcul de la distribution stationnaire (2)

Par exemple, la probabilit´e d’avoir un niveau d’actif k ⁰ , ´etant donn´e que l’on est chˆomeur, est donn´ee par :

λ _t+1 (k ⁰ , u) = [λ _t (k, e)π _eu + λ _t (k, u)π _uu ]I (k, u, k ⁰ ) Le premier terme du membre de droite repr´esente la frac- tion des individus transitant par le chˆomage, la variable indicatrice donnant alors le choix k ⁰ des chˆomeurs pour l’ensemble de niveaux de richesse k.

La distribution stationnaire est alors obtenu en it´erant sur l’´equation suivante :

λ _t+1 (k ⁰ , s ⁰ ) = ^X

s

X

k:k ⁰ =g (k,s)

λ _t (k, s)P rob(s _t+1 = s ⁰ |s _t = s) Cette distribution stationnaire λ, t.q. λ _t+1 = λ _t , peut

´egalement s’interpr´eter comme une fraction de temps pen-

dant laquelle chaque individu passe un moment de sa vie.

Calcul de la distribution stationnaire (3)

Comment obtenir num´ eriquement la dis- tribution stationnaire ?

Afin de calculer la distribution stationnaire, on utilise le fait que l’´economie est ”markovienne” : chaque po- sition se r´esume par le couple (k, s) et ´evoluera en un couple (k ⁰ , s ⁰ ). On peut alors cr´eer la ”chaˆıne de Mar- kov” d´ecrivant l’´evolution de l’´economie `a l’´equilibre.

Soit λ, t.q. dim(λ) = 2n × 1, d´efinit par :

λ ⁰ = [λ(k ₁ , s ₁ ), ...., λ(k _n , s ₁ ), λ(k ₁ , s ₂ ), ..., λ(k _n , s ₂ )]

La variable indicatrice I (k, s, k ⁰ ), de taille n×n, repr´esente le probabilit´e conditionnelle d’avoir k ⁰ , sachant que l’on avait (k, s) et que l’on suit la r`egle de d´ecision optimale k ⁰ = g(k, s). On peut alors ´ecrire, avec s ₁ = e, s ₂ = u :

λ ⁰ _t+1 = λ ⁰ _t



  π _ee I (k, e, k ⁰ ) π _eu I (k, e, k ⁰ ) π _ue I (k, u, k ⁰ ) π _uu I (k, u, k ⁰ )



 

Une distribution est stationnaire si λ _t+1 = λ _t , d’o`u : λ ⁰ = λ ⁰ Π ⇐⇒ (I − Π ⁰ )λ = 0

o`u λ est alors le vecteur propre associ´e `a la valeur propre

1 de la matrice Π. On alors, si Π n’a qu’une seule valeur

propre ´egale `a un, une unique distribution stationnaire

v´erifiant :

Equilibre g´ en´ eral : m´ ethode de r´ esolution

1. Pour une valeur donn´ee du stock de capital agr´eg´e K = K _j , pour j = 0, on calcule les prix des facteurs (r, w) et on r´esout le probl`eme des m´enages. Etant donn´ees les r`egles de d´ecision k ⁰ = g _j (k, s), on en d´eduit la distribution stationnaire λ _j (k, s).

2. On calcule alors le stock de capital offert dans l’´economie : K _j ^s = ^X

k,s λ _j (k, s)g _j (k, s)

3. Pour un param`etre ξ donn´e, t.q. ξ ∈ (0, 1), on cal- cule le nouvelle valeur de K :

K _j+1 = ξK _j + (1 − ξ)K _j ^s

4. On r´ep`ete cette boucle jusqu’`a obtenir le point fixe

sur le stock de capital.

Calibration

1. Pr´ ef´ erences : l’aversion pour le risque est fix´ee `a 2 et le facteur de pr´ef´erence pour le pr´esent `a 0,985 (Cooley [1995]).

2. Risques sur le march´ e du travail : la proba- bilit´e de sortie du chˆomage est fix´ee `a 31%, ce qui implique une probabilit´e de sortie de l’emploi ´egale

`a 3,45% afin de se caler sur un taux de chˆomage de 10%.

3. R´ emun´ eration des facteurs : le taux d’int´erˆet r´eel de r´ef´erence est ´egal `a 0,5%, le taux de d´epr´eciation

`a 3%, et la part du capital dans le produit `a 36%.

Le travail domestique permet d’atteindre un revenu

´equivalent `a 15% du salaire, tandis que l’allocation- chˆomage correspond `a un ratio de remplacement de 60%. Le salaire est d´etermin´e par la fronti`ere des prix des facteurs.

4. Grille : a ∈ [0, 15] et n = 1000.

Tab. 1 – Etalonnage

σ β r δ α θ K φ ₁ φ ₂

2 0,985 0,05 0,03 0,36 0,15 [0,15] 0,9655 0,31

March´ es complets : allocation optimale

Le probl`eme d’allocation optimale est d´efini par : max ^{X ∞}

t=0 β ^t [N _t u(c ⁿ _t ) + (1 − N _t )u(c ^u _t )]

s.c.

 



 

N _t c ⁿ _t + (1 − N _t )c ^u _t ≤ N _t w _t + (1 − N _t )θw _t N _t ≤ N

o`u N <sub>t</sub> est le taux d’emploi, c <sup>n</sup> <sub>t</sub> et c <sup>u</sup> <sub>t</sub> les consommations des employ´es et des chˆomeurs, et w <sub>t</sub> et θw <sub>t</sub> les productions des employ´es et des chˆomeurs. De plus, N repr´esente la limite de la valeur admissible pour N <sub>t</sub> , ´etant donn´ee la matrice π gouvernant les changements d’´etat exog`enes sur le march´e du travail. Ce probl`eme est une suite de probl`emes statiques ayant comme solution :

c _t ≡ c ⁿ _t = c ^u _t o`u c _t = Nw _t + (1 − N )θw _t

Cette allocation correspond `a celle que l’on obtiendrait dans une ´economie de march´e avec assurance compl`ete.

Contre une cotisation de τ w _t lorsque l’agent est employ´e,

on toucher une indemnit´e de (1 − θ)Nw _t , en cas de

chˆomage. Si le march´e de l’assurance est concurrentiel,

la condition de libre entr´ee donne la prime d’´equilibre

τ = [(1 − N )/N ]b. Ainsi, `a l’´equilibre de march´e, on a

une indemnit´e chˆomage ´egale `a (1 − θ)Nw, sachant que

c ⁿ _t = c ^u _t .

Coˆ ut des fluctuations

A quel montant de consommation permanente les m´enages vivant dans une ´economie avec assurance compl`ete doivent- ils renoncer pour supporter des syst`emes assurantiels in- complets ?

A la suite de Lucas [1987], nous d´eterminons la frac- tion constante de consommation dont seraient priv´es les m´enages s’ils devaient passer d’une ´economie o`u l’assu- rance compl`ete est possible `a des ´economies o`u seuls des syst`emes incomplets d’assurance sont `a leur disposition (march´es financiers, allocation-chˆomage ou pas d’assu- rance).

Cette fraction de consommation perdue est calcul´ee comme le pourcentage µ de consommation permanente (C ) d’une ´economie avec une assurance compl`ete qu’il faudrait retirer aux agents vivant dans cette ´economie pour qu’ils soient indiff´erents entre l’assurance compl`ete et l’assurance incompl`ete. µ est tel que le niveau de bien- ˆetre atteint par un syst`eme de march´es complets co¨ıncide avec celui, U , d’une ´economie avec assurance incompl`ete :

U = 1 1 − β

(C (1 − µ)) ^1−σ

1 − σ

R` egles de d´ ecision

Fig. 7 – R`egles de d´ecision d’accumulation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

CAPITAL(t+1), r=r*

CAPITAL(t+1)

CAPITAL(t)

45°

EMPLOYE CHOMEUR

Fig. 8 – R`egles de d´ecision de consommation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

CONSOMMATION, r=r*

CONSOMMATION

CAPITAL

EMPLOYE

CHOMEUR

Auto-assurance versus allocation-chˆ omage

Tab. 2 – Evaluation du rˆole de l’´epargne de pr´ecaution (en %) µ M C→AC µ M C→M F µ MC→0

0,43 0,73 30,27

Les notations correspondent `a une ´economie

1. avec une allocation-chˆomage et sans march´es finan- ciers (not´ee AC ),

2. avec march´es financiers mais sans allocation-chˆomage (not´ee MF ),

3. ne poss´edant aucun des deux m´ecanismes d’assu- rance (not´ee 0)

Ces r´esultats montrent que la possibilit´e de se constituer une ´epargne de pr´ecaution aboutit `a des r´esultats rela- tivement proches du syst`eme d’allocation-chˆomage, pour un ratio de remplacement r´ealiste.

Ainsi, un m´enage vivant dans une ´economie o`u le risque

de chˆomage est mutualis´e via le syst`eme d’allocation chˆomage

ne verrait sa consommation permanente baisser que de

0, 30% s’il ne pouvait plus que s’auto-assurer (µ _AC→MF ).

Auto-assurance et allocation-chˆ omage

Si l’on couple auto-assurance et assurance publique, on diminue le coˆut des fluctuations jusqu’`a

µ _{MC →AC+MF} = 0, 29%

De fa¸con g´en´erale, l’´evaluation des gains de l’auto- assurance et de l’allocation-chˆomage sont indissociables : (i) le montant de l’´epargne de pr´ecaution d´epend des risques sur le march´e du travail qui d´ependent de l’allocation-chˆomage,

(ii) tandis que les coˆuts associ´es `a une baisse de l’allocation- chˆomage d´ependent de la possibilit´e de s’auto-assurer.

Ceci peut se mesurer en comparant les gains de l’intro- duction de l’assurance chˆomage dans une ´economie sans march´es financiers `a ceux o`u il existe des march´es finan- ciers :

1. Dans une ´economie sans march´es financiers, l’intro- duction de l’assurance chˆomage r´eduit le coˆut des fluctuations

(µ _MC→0 ) − (µ _{MC →AC} ) = 29, 84 points

2. Lorsque l’on peut pr´ealablement s’auto-assurer, il n’est diminu´e que de

(µ _{MC →MF} ) − (µ _{MC →AC+MF} ) = 0, 44 point

Mesure de l’´ epargne de pr´ ecaution

Que repr´esente le montant moyen de l’´epargne de pr´ecaution (K ) ? Pour l’´etalonnage de r´ef´erence, il repr´esente 4,11

fois le niveau du salaire. La provision optimale que consti- tue cette ´epargne de pr´ecaution est donc de l’ordre d’une ann´ee de salaire. Evidemment, ce montant d´epend du risque associ´e au march´e du travail et d´ecroˆıt avec la g´en´erosit´e de l’allocation-chˆomage.

Tab. 3 – Montant de l’´epargne de pr´ecaution et niveau du risque b 0 0, 30 0, 60

K

w 4,11 1,29 0,07

Pour un risque correspondant `a l’allocation-chˆomage effectivement vers´ee, on constate que l’´epargne de pr´ecaution correspond `a un niveau n´egligeable d’´epargne.

La faiblesse de cette derni`ere ne constitue toutefois pas

la preuve que les agents ne souhaitent pas utiliser dans

l’absolu cette forme d’auto-assurance. Il s’agit du mon-

tant d’´epargne optimal pour les m´enages ´etant donn´e le

niveau de l’allocation-chˆomage.

Les comportements sous-jacents

Tab. 4 – Variance de la consommation et syst`emes d’assurance

MC MF AC 0

0 0.11 0.028 0.61

Fig. 9 – Historique des transferts

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

TRANSFERT

PERIODES

MC AC MF

D´efinition des transferts : si assurance chˆomage T r =

τ w, si ´epargne de pr´ecaution T r = k ⁰ − k − rk (effort

d’´epargne net de la r´emun´eration des placements).

Les limites de l’´ epargne de pr´ ecaution : la transition

A l’´etat stationnaire, des ´economies avec un syst`eme public ou avec de l’´epargne de pr´ecaution seraient relati- vement ´equivalentes en termes de bien-ˆetre. Cependant, la prise en compte de la dynamique de transition rend coˆuteuse l’auto-assurance. La constitution d’une ´epargne de pr´ecaution suppose en effet de renoncer dans un pre- mier temps `a de la consommation.

Tab. 5 – Evaluation du rˆole de l’´epargne de pr´ecaution avec transition µ _{M C→M F} µ _{M C→AC}

9,6 0,43

Ainsi, on constate que le coˆut des fluctuations atteint

9, 6% au lieu de 0, 73% lors d’une simple comparaison

entre ´etats stationnaires. Comme le coˆut des fluctuations

avec allocation-chˆomage reste inchang´e, la diff´erence est

maintenant beaucoup plus importante.

Les limites de l’´ epargne de pr´ ecaution : le niveau du taux d’int´ erˆ et

Le taux d’int´erˆet, ou plus pr´ecis´ement son inverse, d´etermine le prix de l’auto-assurance. C’est pourquoi les gains en

bien-ˆetre induits par l’´epargne de pr´ecaution croissent avec r.

Tab. 6 – Evaluation du rˆole du taux d’int´erˆet

r K K/Y µ M C→M F µ M C→M F

(sans trans.) (avec trans.)

0% 8,68 3,72 3,76 10,91

0,5% 9,8 3,95 0.73 9,6

1% 12,7 5,1 -4.2 7,90

1,38% (r ^? ) 24 8,17 -14 6,43

Cette d´ependance par rapport au taux d’int´erˆet plaide

pour une analyse en ´equilibre g´en´eral dans laquelle le

taux d’int´erˆet r´esulte de la confrontation de l’offre et de

la demande de capital.

Les limites de l’´ epargne de pr´ ecaution : Epargne de pr´ ecaution et in´ egalit´ es (1)

Deux crit`eres `a distinguer (Flinn (2002)) :

– in´egalit´es permanentes bas´ees sur des mesures de fonction valeur (utilit´es intertemporelles)

– in´egalit´es transitoires bas´ees sur des mesures de fonc- tion d’utilit´e instantan´ees.

Pour prendre en compte dans la mesure du bien-ˆetre col- lectif la dimension sp´ecifique aux in´egalit´es, consid´erons la fonction de bien-ˆetre g´en´erale de la forme suivante :

W _T = ^{X ∞}

t=0 β ^{t µZ} _K ^Z _S λ _t (k, s)u(c _t (k, s)) ^1−ξ dkds ^{¶ 1−ξ 1} W _P = ^µZ _K ^Z _S λ _t (k, s)v(k, s) ^1−ξ dkds ^{¶ 1−ξ 1}

o`u ξ est un indicateur d’aversion aux in´egalit´es. Plus il est

´elev´e, plus la soci´et´e se pr´eoccupe des agents les moins

favoris´es. A la limite, lorsque ξ → ∞, on retrouve un

indicateur rawlsien dans la mesure o`u seul compte le sort

de l’individu le moins bien loti.

Les limites de l’´ epargne de pr´ ecaution : Epargne de pr´ ecaution et in´ egalit´ es (2)

Tab. 7 – Epargne de pr´ecaution et In´egalit´es

Crit`ere de Bien-ˆetre utilit´e instantan´ee u() utilit´e intertemporelle v() µ M C→M F µ M C→AC µ M C→M F µ M C→AC

Utilitariste ξ =0 0.643 0.430 0.643 0.430

Rawlsien ξ → ∞ 83.540 9.333 4.330 0.439

On constate que lorsque l’on prend en compte une aver- sion pour l’in´egalit´e, le coˆut des fluctuations est bien plus

´elev´e dans une ´economie avec ´epargne de pr´ecaution que dans une ´economie avec une allocation-chˆomage.

L’h´et´erog´en´eit´e introduite par la diversit´e des trajec- toires d’accumulation rend la situation d’auto-assurance relativement plus in´egalitaire.

Le chˆomeur le plus pauvre a, `a une date donn´ee, l’op- portunit´e de devenir employ´e et alors d’accumuler de l’´epargne de pr´ecaution. Ainsi, les in´egalit´es cr´e´ees par le MF ont tendance `a d´ecroˆıtre avec l’horizon temporelle consid´er´e.

Toutefois, la d´ependance temporelle induite par les

MF implique une plus forte h´et´erog´en´eit´e entre les indi-

vidus.

Les limites de l’´ epargne de pr´ ecaution : Epargne de pr´ ecaution et in´ egalit´ es (3)

Fig. 10 – Histoires compar´ees : MF versus AC

0 20 40 60 80 100

1 2 3 4 5 6 7 8

Consumption under FM

C

t

u w

0 20 40 60 80 100

5 5.5 6 6.5 7

Consumption under UI

C

t

u w

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20 25 30

Individual wealth

K

t

u

w

Codes Matlab du programme

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Aiyagari QJE 1994

% programmation a la Sargent

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear

delete aiya.out diary aiya.out;

disp(’aiyagari QJE 1994’);

disp(’’);

%

% set parameter values

%

sigma = 1.50; % risk aversion

beta = 0.98; % subjective discount factor

prob = [ .97 .03; .3 .7]; % prob(i,j) = probability (s(t+1)=sj | s(t) = si)

delta = 0.0; % 1 - depreciation

A = 1.00; % production technology

alpha = 0.6; % capital’s share of income

theta = 0.60; % non-rental income if unemployed is theta*wage rstart = 0.0018; % conjecture initiale sur taux d’int{\’e}r{\^e}t

g = 0.1; % param{\‘e}tre de relaxation

b = 0; % borrowing constraint ad-hoc

%

% calculate aggregate labor supply

%

D = prob^10000; % determination de la distribution stationnaire pempl = D(1,1); % taux d’emploi

N = 2; % nombre d’etat (E/U)

%

% loop to find fixed point for r

%

liter = 1;

maxiter = 100;

toler = 0.01;

metric = 10;

r = rstart;

disp(’ITERATING ON r’);

while (metric > toler) & (liter <= maxiter);

%

% calculate the endegenous wage and borrowing constraint

%

wage = (1-alpha)*(A*(alpha/(r+delta))^alpha)^(1/(1-alpha));

if r<=0 phi = b;

else

phi = min(b,wage/r);

end

% -phi is borrowing limit, b is adhoc

% the second term is natural limit

%

% capital grid

%

maxkap = 4; % maximum value of capital grid minkap = -phi; % borrowing constraint

inckap = 0.1; % size of capital grid increments kap = minkap:inckap:maxkap; % state of assets

nkap = length(kap); % number of grid points

%

% initialize some variables

%

v = zeros(nkap,N);

decis = zeros(nkap,N);

test = 10;

cons = zeros(nkap,nkap,N);

util = zeros(nkap,nkap,N);

[rs,cs] = size(util1);

%

% tabulate the utility function such that for zero or negative

% consumption utility remains a large negative number so that

% such values will never be chosen as utility maximizing

%

util1=-10000*ones(nkap,nkap); % utility when employed util2=-10000*ones(nkap,nkap); % utility when unemployed for i=1:nkap; % nkap est le nombre de points

kap=(i-1)*inckap;

for j=1:nkap;

kapp = (j-1)*inckap; % tous les K’ pour un K donne cons1 = wage + (r + delta)*kap - kapp;

if cons1 > 0 ;

util1(j,i)=((cons1)^(1-sigma)-1)/(1-sigma);

% tous les niveaux de u pour K end;

cons2 = theta*wage + (r + delta)*kap - kapp;

if cons2 > 0;

util2(j,i)=((cons2)^(1-sigma)-1)/(1-sigma);

end;

%

% iterate on Bellman’s equation and get the decision

% rules and the value function at the optimum

%

while test ~= 0;

for i=1:cs;

r1(:,i)=util1(:,i)+beta*(prob(1,1)*v(:,1)+ prob(1,2)*v(:,2));

r2(:,i)=util2(:,i)+beta*(prob(2,1)*v(:,1)+ prob(2,2)*v(:,2));

end;

[tv1,tdecis1]=max(r1); % tv1 = valeur associee {\‘a} chaque K ;

% tdecis1=K’ correspondant [tv2,tdecis2]=max(r2);

tdecis=[tdecis1’ tdecis2’];

tv=[tv1’ tv2’];

test=max(any(tdecis-decis)); % le k’ qui max est-il le precedent?

v=tv;

decis=tdecis;

end;

decis=(decis-1)*inckap+minkap; % calculer le capital correspondant au rang optimal

%

% form transition matrix

% trans is the transition matrix from state at t (row)

% to the state at t+1 (column)

% The eigenvector associated with the unit eigenvalue

% of trans’ is the stationary distribution.

%

g2=sparse(cs,cs);

g1=sparse(cs,cs);

for i=1:cs

g1(i,tdecis1(i))=1; % faire le choix en situation d’employe g2(i,tdecis2(i))=1; % faire le choix en situation de chomeur end

trans=[ prob(1,1)*g1 prob(1,2)*g1; prob(2,1)*g2 prob(2,2)*g2];

trans=trans’; % probabilite conditionnelle (k,s) probst = (1/(N*nkap))*ones(N*nkap,1); % amorce de la distribution

% loi uniforme

%

% iteration pour determiner la distribution stationnaire

%

test = 1;

while test > 10^(-12);

probst1 = trans*probst;

test = max(abs(probst1-probst));

probst = probst1; % probabilite inconditionnelle end;

%

% vectorize the decision rule to be conformable with probst

% calculate new aggregate capital stock meanK

%

kk=decis(:);

meank=probst’*kk;

lambda=zeros(nkap,N);

lambda(:)=probst;

%

% calcul du taux de chomage agrege

%

emp=sum(lambda(:,2));

cho=sum(lambda(:,1))

%

% iteration sur le taux d’interet

%

rold=r;

meanr=alpha*A*((meank/emp)^(alpha-1))-delta;

rnew = g*meanr + (1-g)*rold;

metric = abs((rold-meanr)/rold);

r = rnew;

disp([ liter metric rnew rold cho]);

liter = liter+1;

end;

%

% calculate stationary distribution of k

%

probk(1:nkap)=sum(lambda’); % stationary distribution of ‘captal’

%

% graphiques

%

plot(kap,condecis1,’-’,kap,condecis2,’-.’);

legend(’u’,’n’);pause;print conso;clg plot(kap,v(:,1),’-’,kap,v(:,2),’-.’);

legend(’u’,’n’);pause;print valeur;clg

plot(kap,decis(:,1),’-’,kap,decis(:,2),’-.’);

legend(’u’,’n’);pause;print cap;clg plot(probk);

pause;print distk;clg plot(lambda(:,1));

print lamb1;clg plot(lambda(:,2));

print lamb2;clg