L'equilibre general

L'equilibre general

En resumant en deux mots tout ce que nous avons vu jusqu'a present, on peut dire qu'on a analyse le comportement des agents economiques et l'equilibre d'un seul marche. Comme on s'est limite a un examen d'une partie du systeme economique, les modeles developpes sont appeles des modeles d'equilibre partiel. Prenons le cas du consommateur. La fonction de demande a ete obtenue en supposant que les prix et le revenu etaient xes. Cette hypothese presente l'avantage de pouvoir se concentrer sur les caracteristiques propres de cet agent.

Toutefois, si l'on s'interesse plut^ot a la position du consommateur sur les dierents marches il faut tenir compte du fait que les prix dependent des quantites demandees et le revenu depend de l'ore et de la demande de travail. Cette derniere depend de la production de l'entreprise qui est, a son tour, une fonction de la demande des consommateurs. Il s'agit maintenant de reunir tous ces elements an d'analyser la determination simultanee des quantites produites et consommees.

Ici, on va s'interesser a l'equilibre general du systeme economique. La question fondamentale est celle de l'existence d'un equilibre economique. En eet, nous avons un tres grand nombre d'agents economiques qui ne considerent que leur propre inter^et et agissent independamment les uns des autres. Ce comportement est surtout celui de la concurrence parfaite et on fera alors l'hypothese que tous les marches sont conformes a ce modele. En eet, la theorie de l'equilibre general est essentiellement une theorie de l'equilibre concurrentiel. Recemment, on a etudie l'eet sur l'equilibre general d'une situation de concurrence imparfaite. On a trouve que les resultats du modele concurrentiel etaient assez robustes en ce sens qu'ils restaient valables m^eme avec des hypotheses de concurrence imparfaite.

On pourrait penser que sans une coordination des activites economiques individuelles, il est impossible d'arriver a un equilibre general de la m^eme maniere qu'il est impossible de nager sans une coordination des mouvements des dierentes parties du corps. Pourtant, le systeme economique qui s'est developpe depuis que le monde a depasse le stade de l'economie de subsistance trouve souvent un equilibre sans que personne ne s'occupe de la coordination des actions des differents agents economiques. On donne parfois l'exemple de l'approvisionnement en biens et services des habitants d'une grande ville. Il n'y a personne qui s'occupe des moyens logistiques a mettre en oeuvre an que les habitants puissent avoir tout ce qu'il leur faut.

Pourtant, une quantite innombrable de marchandises est a disposition des habitants d'une grande ville et il n'est m^eme pas necessaire de faire la queue pour se les procurer.

Comme on peut bien l'imaginer, ce phenomene a interesse toutes les personnes qui ont etudie la vie economique des nations. Il s'agit d'expliquer comment une economie decentralisee ou les agents economiques sont motives par leur propre inter^et et guides par des signaux representes par les prix, peut ^etre compatible avec un equilibre general. Par ailleurs, cet equilibre general represente un etat de l'economie qui est superieur, dans un sens qui sera deni plus tard, a d'autres alternatives possibles.

Adam Smith (1776) parle d'une \main invisible" qui conduit les agents economiques vers un equilibre ayant par ailleurs des proprietes d'ecacite remarquables. Voici ce qu'il dit:

\L'individu] ne cherche pas toujours, il est vrai, a promouvoir l'inter^et general et il ignore d'ailleurs dans quelle mesure il le sert. En preferant soutenir l'industrie nationale plut^ot que l'industrie etrangere, il ne se preoccupe que de sa propre securite; de m^eme qu'en dirigeant cette industrie de maniere que le produit ait la plus grande valeur, il n'a que son propre gain en vue et, comme dans d'autres cas, il est conduit par une main invisible a promouvoir une n qui n'etait pas dans ses intentions. Ce defaut d'intention n'est pas toujours un mal pour la societe. En poursuivant son propre inter^et, il promeut celui de la societe plus ecacement que s'il se proposait vraiment de le faire". Smith s'est inspire du livre de Bernard Mandville

intitule La fable des abeilles: vices prives, beneces publics. Selon cet auteur, les activites privees sont motivees par l'inter^et des individus mais le resultat est souvent beneque pour la societe.

La premiere analyse de l'equilibre general est celle de Leon Walras (1874). Les etudes furent poursuivies par Vilfredo Pareto (1909) et d'autres disciples qui forment ce qu'on appelle l'Ecole de Lausanne et dont Walras est le fondateur. La premiere preuve rigoureuse de l'existence de l'equilibre general a ete elaboree par A. Wald (1936). Apres la deuxieme guerre mondiale, des demonstrations plus generales et plus completes ont ete developpees.

La theorie de l'equilibre general analyse l'equilibre simultane de tous les marches. L'equilibre du marche est obtenu par une variation du prix. Cette variation a des eets indirects sur les autres marches. Lorsque tous les marches sont en equilibre on a l'equilibre general.

On commencera par l'etude de l'equilibre d'une economie sans production, appele economie d'echanges. On passera ensuite a l'examen de la production.

L'equilibre d'une economie d'echanges

Les consommateurs possedent un stock de biens et ils desirent echanger ces biens an d'obtenir une consommation plus equilibree et qui leur donne une satisfaction plus grande. Les premiers trocs entre les individus correspondent a une economie d'echanges. L'individu qui avait cueilli beaucoup de fruits sauvages echangeait une partie de ces fruits contre du poisson qu'un autre individu avait p^eche.

La demande nette du consommateur i pour le bien j est denie ainsi:

Eij = qij 0 q_ij^o

Il s'agit de la dierence entre la consommation (qij) et le stock possede (q_ij^o ). Si la demande nette est positive, le consommateur achete le bien j, si elle est negative, il y aura une vente.

Les depenses doivent ^etre egales aux recettes et alors:

P_m

j=1pjEij = 0 (i = 1; 2; : : : ; h)

ou pj est le prix du bien j, m le nombre de biens et h le nombre de consommateurs. Cette equation represente la contrainte budgetaire du consommateur.

En utilisant la denition de la demande nette, on peut ecrire:

Ppjqij 0P

pjq_ij^o = 0

!P

pjqij =P

pjq^o_ij = yi

La valeur du stock initial correspond alors au revenu du consommateur. Ce revenu n'est pas une variable exogene puisqu'il depend des prix des biens.

La fonction de demande nette est obtenue en maximisant l'utilite du consommateur i sous la contrainte budgetaire. On peut alors ecrire le lagrangien suivant:

L = ui(Ei1 + q_i1^o ; Ei2 + q^o_i2; : : : ; Eim+ q_im^o ) 0 P pjEij

Les conditions de premier ordre sont:

_@L

a@Eij = ^a_@E^@u_ijⁱ 0 pj = 0 (j = 1; : : : ; m)

@L

a@ = 0P

pjEij = 0

On peut generalement resoudre ce systeme d'equations et obtenir ainsi les fonctions de de- mande nette:

Eij = fij(p1; p2; : : : ; pm; q_i1^o ; q_i2^o ; : : : ; q_im^o ) i = 1; 2; : : : ; h ; j = 1; 2; : : : ; m

Les fonctions d'utilite sont supposees ^etre strictement quasi-concaves. La condition de deu- xieme ordre est alors satisfaite.

Les fonctions de demande nette sont des fonctions homogenes de degre zero par rapport aux prix, comme on peut le verier en prenant deux equations parmi les m premieres conditions de premier ordre.

Exemple

Si la fonction d'utilite du consommateur i est:

ui = qi1qi2

on obtient les fonctions de demande nette suivantes:

Ei1 = ^0pa1qi1o_2p^+p₁ ^2qoi2 Ei2 = ^pa1qi1o_2p^0p₂^2qi2o

Les fonctions de demande usuelles sont alors:

qi1 = Ei1+ q_i1^o = ^pa1qi1o_2p^+p₁^2qoi2 = ^a_2p^yi₁ qi2 = Ei2+ q_i2^o = ^pa1qi1o_2p^+p₂^2qoi2 = ^a_2p^yi₂

Soit F le point correspondant au stock initial et S l'equilibre du consommateur lorsque le rap- port des prix (p1=p2) est donne par la (valeur absolue de la) pente de la contrainte budgetaire AB (voir graphique E1). Le consommateur vend la quantite q^o_i2 0 q_i2³ du deuxieme bien (Ei2 < 0) et achete la quantite q³_i10 q^o_i1 du premier bien (Ei1 > 0).

Si le rapport des prix change, la droite du budget pivote autour de F. En eet, le consom- mateur peut toujours consommer les quantites correspondant a son stock initial.

La fonction de demande nette globale est obtenue en additionnant les fonctions individuelles:

Ej =P_h

i=1Eij (j = 1; 2; : : : ; m)

Pour des valeurs donnees des stocks initiaux, la demande nette globale depend uniquement des prix des biens:

Ej = fj(p1; p2; : : : ; pm)

Le marche du bien j est en equilibre lorsque la demande nette globale est nulle:

Ej = fj(p1; p2; : : : ; pm) = 0 On peut ecrire aussi:

P_h

i=1(qij 0 q^o_ij) = 0 qj =P_h

i=1qij =P_h

i=1q^o_ij = q^o_j

La demande globale doit ^etre egale au stock global.

L'equilibre general implique que tous les marches soient en equilibre. On a alors un systeme de m equations en m variables:

fj(p1; p2; : : : ; pm) = 0 (j = 1; 2; : : : ; m)

Toutefois, nous avons vu que les demandes nettes etaient des fonctions homogenes de degre zero par rapport aux prix. On peut alors ecrire, en multipliant tous les prix par 1=pm : fj(^a_p^p_m¹ ; ^a_p^p_m² ; : : : ; 1) = 0 (j = 1; 2; : : : ; m)

Par consequent, il n'y a que m 0 1 variables independantes (m-1 rapports de prix). En resolvant ce systeme, on ne peut obtenir que les prix relatifs. Walras donne l'exemple du ble et de l'avoine. Si 5 hectolitres de ble s'echangent contre 10 hectolitres d'avoine, le prix du ble en avoine (pb=pa) est de 2. On pourrait xer le prix (absolu) de l'avoine a 1 (pa = 1) et alors celui du ble serait de 2 (pb = 2). La determination des prix absolus sera examinee plus tard.

Si les m fonctions ci-dessus etaient lineaires, la demonstration de l'existence de l'equilibre general reviendrait a montrer que le nombre d'equations independantes est m 0 1. En eet,

on aurait le systeme suivant: Ap = 0. Si A est une matrice non-singuliere, la seule solution possible est p = 0. Si le rang de A, est inferieur a m, il existe une solution dierente de 0.

Walras et tous les economistes de son epoque, entre autres I. Fisher et V. Pareto, pensaient que cette condition etait susante dans le cas general de fonctions non lineaires. En montrant que le nombre d'equations independantes etait egal a celui des variables independantes, Walras pensait pouvoir demontrer que l'equilibre general existe. Nous savons aujourd'hui que cette condition n'est ni necessaire, ni susante mais la relation trouvee par Walras reste importante et utile. Elle est appelee la loi de Walras.

Comme les fonctions de demande individuelles doivent satisfaire la contrainte budgetaire, on peut ecrire:

P_m

j=1pjEij = 0

Cette relation est valable pour tous les consommateurs. Par consequent:

P_h

i=1

P_m

j=1pjEij = 0 P_m

j=1pjP_h

i=1Eij = 0 P_m

j=1pjEj = 0

Cette expression est la loi de Walras. Elle dit que si, par exemple, les m01 premiers marches sont en equilibre (Ej = 0 pour j = 1; 2; : : : ; m 0 1), alors le dernier doit l'^etre aussi. En eet, l'expression ci-dessus se reduit a pmEm = 0 et ceci implique Em = 0. Etant donne qu'on a utilise uniquement la contrainte budgetaire, cette loi est tres generale.

Dans le cas de deux biens et de deux individus representatifs, on peut illustrer graphiquement l'equilibre d'une economie d'echanges. Il ne s'agit pas d'examiner le cas ou il n'y a que deux consommateurs, car alors les hypotheses de la concurrence parfaite ne seraient pas valables.

Ce cas est presente uniquement pour illustrer graphiquement l'equilibre concurrentiel.

La courbe d'ore du premier consommateur est obtenue en faisant varier le rapport des prix des deux biens (voir graphique E1).

O10O₁⁰ represente les quantites demandees (ou consommees) par le premier individu lorsque les rapports des prix sont donnes par les dierentes pentes des contraintes budgetaires. Cette courbe est appelee la courbe d'ore m^eme si elle exprime simultanement une ore et une demande.

On peut faire un graphique similaire pour le deuxieme consommateur et ensuite reunir les deux graphiques en utilisant une methode ingenieuse, suggeree par Edgeworth et representee pour la premiere fois par Bowley. On transpose le graphique du deuxieme de sorte que son origine soit en haut et a droite. On embo^te ensuite ce graphique sur celui du premier et on obtient une gure appelee la bo^te d'Edgeworth. La grandeur de la bo^te correspond aux quantites totales des deux biens (la somme des stocks possedes par les deux individus). Tout point a l'interieur de la bo^te donne une repartition des deux biens entre les deux individus.

Le point F represente le stock initial (voir graphique E.2).

Le premier consommateur prefere les points qui se trouvent en haut et a droite et le deuxieme ceux qui se trouvent en bas et a gauche. I 0I⁰ est la courbe d'indierence du premier passant par son stock initial et II 0 II⁰ celle du deuxieme.

L'equilibre est obtenu au point E ou les deux courbes d'ore se croisent. La droite du budget, correspondant aux prix d'equilibre, passe par le point initial F et le point d'equilibre E. La (valeur absolue de la) pente de cette droite donne le rapport des prix d'equilibre.

Au point E, les deux individus se trouvent sur une courbe d'indierence plus elevee que celle correspondant au stock initial. Par ailleurs, ce point se trouve sur la courbe optimale de

Pareto. Les proprietes de cette courbe, appelee ici courbe de contrat, seront examinees au chapitre V. Il convient de noter que si l'on est sur cette courbe, il est impossible d'augmenter l'utilite d'un individu sans diminuer celle de l'autre. Cette courbe peut ^etre obtenue en maximisant l'utilite du premier individu, sous la contrainte d'un niveau d'utilite donne (u^o₂) pour le deuxieme.

Soit le lagrangien:

L = u1(q11; q12) + [u2(q21; q22) 0 u^o₂] 0 1(q11 + q21 0 q₁^o) 0 2(q12 + q22 0 q^o₂) ou , 1 et 2 sont les multiplicateurs. Les conditions de premier ordre sont:

8>

>>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>>

>:

@L

a@q11 = ^a_@q^@u₁₁¹ 0 1 = 0

@L

a@q₁₂ = ^a_@q^@u₁₂¹ 0 2 = 0

@L

a@q21 = ^a_@q^@u₂₁² 0 1 = 0

@L

a@q22 = ^a_@q^@u₂₂² 0 2 = 0

@L

a@ = u20 u^o₂ = 0

@L

a@1 = 0(q11+ q21 0 q^o₁) = 0

@L

a@2 = 0(q12+ q22 0 q^o₂) = 0

En prenant les 4 premieres conditions on a:

@u1

a@q11

a^a@u1

@q12 = ^aa@q21@u2_@u2

a@q22 ! T MS_1;2^I = T MS_1;2^II

et ceci signie que le taux marginal de substitution du premier individu doit ^etre egal a celui du deuxieme. Il convient de noter que si les consommateurs sont confrontes avec les m^emes prix, cette egalite est automatiquement atteinte.

La courbe de contrat represente les points de tangence entre les deux ensembles de courbes d'indierence. Elle est obtenue en resolvant le systeme suivant:

8>

<

>:

@u1

a@q11

aa@u1

@q12 = ^aa@q21@u2_@u2

a@q22

q11+ q21 = q₁^o q12+ q22 = q₂^o

Le noyau est la partie de la courbe de contrat qui se trouve entre les courbes d'indierence correspondant au stock initial (courbe N 0 N⁰). En eet, les individus n'accepteraient pas un echange qui conduirait a une utilite inferieure a celle qu'ils ont en restant avec leur stock initial.

L'equilibre concurrentiel (E) se trouve dans le noyau. On peut montrer que, lorsque le nombre d'individus augmente (comme il le faut pour qu'il y ait concurrence parfaite), le noyau se reduit de plus en plus et, a la limite, il concide avec l'equilibre concurrentiel.

Exemple

Si les fonctions d'utilite et les stocks des deux individus sont:

u1 = q11q12 ; q₁₁^o = 4 ; q₁₂^o = 10 u2 = q21q₂₂² ; q₂₁^o = 15 ; q₂₂^o = 3

on a les fonctions de demande (usuelles et nettes) suivantes:

q11 = 2 + 5=p q12 = 2p + 5

E11 = 02 + 5=p E12 = 2p 0 5 q21 = 5 + 1=p

q22 = 10p + 2

E21 = 010 + 1=p E22 = 10p 0 1

ou p = p1=p2 est le prix relatif.

Les courbes d'ore sont obtenues en resolvant une premiere equation des demandes usuelles par rapport a p et en introduisant cette valeur dans la deuxieme. On trouve:

pour le premier: q12 = ^a_q^5q₁₁¹¹₀₂ pour le deuxieme: q22 = ^a_q^2q₂₁²¹₀₅

Les quantites d'equilibre sont obtenues en resolvant le systeme suivant:

8>

>>

<

>>

>:

q12 = ^a_q^5q₁₁¹¹₀₂ q22 = ^a_q^2q₂₁²¹₀₅ q11+ q21 = 19 q12+ q22 = 13 On trouve

q11 = 12 ; q12 = 6 ; q21 = 7 ; q22 = 7.

L'equilibre peut aussi ^etre obtenu en utilisant la condition de demande nette globale nulle:

E1 = E11+ E21 = 0 ! 012 + 6=p = 0 E2 = E21+ E22 = 0 ! 12p 0 6 = 0

Comme on peut le verier, la loi de Walras est satisfaite (pE1 + E2 = 0).

En resolvant l'une ou l'autre des deux equations ci-dessus, on trouve p = 0:5 et alors:

E11 = 8 ; E12 = 04 ; E21 = 08 ; E22 = 4 q11 = 12 ; q12 = 6 ; q21 = 7 ; q22 = 7

On aurait pu obtenir la solution d'equilibre en utilisant les fonctions de demande nette.

Analytiquement, c'est beaucoup plus simple que la methode utilisee ci-dessus. Les fonctions de demande nette du deuxieme consommateur sont obtenues en prenant le lagrangien suivant:

L = (E21 + 15)(E22 + 3)² 0 (p1E21 + p2E22) Les conditions de premier ordre sont:

8>

<

>:

@L

a@E21 = (E22 + 3)² 0 p1 = 0

@L

a@E22 = 2(E21 + 15)(E22 + 3) 0 p2 = 0

@L

a@ = 0(p1E21+ p2E22) = 0 d'ou l'on tire:

E21 = ^pa_p²₁ 0 10 E22 = 10^pa_p¹₂ 0 1

Les fonctions de demande nette du premier consommateur sont obtenues en mettant q₁₁^o = 4 et q^o₁₂ = 10 dans la demande nette tiree de la fonction d'utilite ui = qi1qi2 (voir ci-dessus).

On trouve:

E11 = 5^pa_p²₁ 0 2 E12 = 2^pa_p¹₂ 0 5

Nous avons par consequent le systeme suivant:

E11 + E21 = 0 ! 5^pa_p²₁ 0 2 + ^pa_p²₁ 0 10 = 0 E12 + E22 = 0 ! 2^pa_p¹₂ 0 5 + 10^pa_p¹₂ 0 1 = 0

Si l'on resout la premiere equation ou bien la deuxieme on trouve ^pa_p²₁ = 2 et alors:

E11 = 8 ; E12 = 04 ; E21 = 08 ; E22 = 4 comme trouve ci-dessus.

Il est interessant de noter que tout point sur la droite des prix F-E donne une egalite entre les achats et les ventes. Par exemple, le point L represente la vente de 2 unites de q12 et l'achat de 4 unites de q11. Comme le rapport des prix est 2, il y a egalite. Toutefois, on peut encore faire des transactions (vente de 2 unites supplementaires de q12 et achat de 4 unites supplementaires de q11) et ameliorer la situation des deux consommateurs. En eet, les utilites sont:

q11 q12 q21 q22 u1 u2

F 4 10 15 3 40 135

L 8 8 11 5 64 275

E 12 6 7 7 72 343

Au point E on a la tangence entre les deux courbes d'indierence (u1 = 72 ; u2 = 343).

Comme l'equilibre du consommateur est obtenu lorsque le taux marginal de substitution est egal au rapport des prix, on a:

T MS₁₂^I = 0^aa@q11@u1_@u1

a@q12 = ^pa_p¹₂ T MS₁₂^I = 0^aa@q21@u2_@u2

a@q22 = ^pa_p¹₂

Par consequent, au point E il y a l'egalite entre les taux marginaux de substitution:

T MS₁₂^I = T MS₁₂^II

On verra plus tard la signication theorique de ce resultat. On peut deja remarquer qu'au point E il est impossible d'augmenter l'utilite d'un consommateur sans diminuer celle de l'autre.

Les points de tangence entre les courbes d'indierence sont obtenus en resolvant le systeme suivant:

q12

aq11 = ^a_2q^q₂₁²²²_q22 q11 + q21 = 19 q12 + q22 = 13

On trouve alors la courbe de contrat:

q12 = ^a_380q^13q11₁₁

L'equilibre d'une economie de propriete privee avec production

Dans une economie developpee, les dierents biens sont produits et ensuite echanges. Un modele general des activites economiques doit expliquer la production et l'echange des biens.

A c^ote des consommateurs, il faut alors introduire les entreprises qui, elles aussi, se com- portent selon les hypotheses de la concurrence parfaite. Les consommateurs possedent les ressources (le travail, la terre ou tout autre stock de biens) et ils contr^olent les entreprises.

On parle alors d'une economie de propriete privee. Le prot est distribue aux consomma- teurs proportionnellement a la part de l'entreprise qu'ils possedent (pensez a la distribution du dividende aux actionnaires d'une societe anonyme).

La quantite de travail consideree comme ressource est la quantite maximale que le consom- mateur peut fournir. Une partie de cette quantite sera consommee par le consommateur lui-m^eme et il s'agit alors d'une demande de loisirs. Si qir est la demande de loisirs du consommateur i, la quantite de travail oerte sera:

E_ir^c = qir0 q_ir^o

ou q_ir^o est la quantite maximale de travail et l'indice c precise qu'il s'agit de la demande nette du consommateur. Cette denition permet de traiter le travail comme n'importe quel autre bien.

La quantite du bien j demandee par le consommateur i sera designee par qij tandis que xkj

sera la quantite du bien j oerte (si xkj > 0) ou demandee (si xkj < 0) par l'entreprise k. Le nombre total de biens est m. Il y a h consommateurs et n entreprises.

Le revenu du consommateur i sera egal a la valeur de ses ressources plus le prot recu:

yi =P_m

j=1pjq_ij^o +P_n

k=12ikk

i = 1; 2; : : : ; h ou:

q_ij^o = ressource j possedee par le consommateur i

2ik = part de l'entreprise k possedee par le consommateur i k = prot de l'entreprise k

Etant donne que les consommateurs contr^olent entierement les entreprises, on a:

2ik 0 ; P_h

i=12ik = 1 (k = 1; 2; : : : ; n)

La contrainte budgetaire du consommateur i est:

P_m

j=1pjE_ij^c 0P_n

k=12ikk = 0 (i = 1; 2; : : : ; h)

ou E_ij^c = qij 0 q_ij^o est la demande nette.

En maximisant l'utilite, sous cette contrainte, on obtient les fonctions de demande nette. Soit le lagrangien:

L = ui(E_i1^c + q_i1^o ; E_i2^c + q^o_i2; : : : ; E_im^c + q_im^o ) 0 (P_m

j=1pjE_ij^c 0P_n

k=12ikk) Les conditions de premier ordre:

a@L

@E^c_ij = ^a_@E^@ucⁱ

ij 0 pj = 0 (j = 1; : : : ; m)

@L

a@ = 0(P

pjE_ij^c 0P

2ikk) = 0

permettent generalement d'obtenir les fonctions de demande nette suivantes:

E_ij^c = fij(p1; : : : ; pm; q_i1^o ; : : : ; q_im^o ;P

2ikk) (i = 1; 2; : : : ; h) ; (j = 1; 2; : : : ; m)

L'entreprise maximise le prot sous la contrainte donnee par la fonction de production im- plicite:

max k =P_m

j=1pjxkj

S:C: 'k(xk1; xk2; : : : ; xkm) = 0 Le lagrangien est:

L =P

pjxkj + 'k(xk1; xk2; : : : ; xkm) En resolvant les conditions de premier ordre:

_@L

a@xkj = pj + ^a_@x^@'_kj^k = 0 (j = 1; : : : ; m)

@L

a@ = 'k(xk1; xk2; : : : ; xkm) = 0

on obtient les fonctions d'ore d'output et de demande d'input de l'entreprise k:

xkj = gkj(p1; p2; : : : ; pm)

(j = 1; 2; : : : ; m ; k = 1; 2; : : : ; n)

Comme dans le cas d'une economie d'echanges, on suppose que les conditions de deuxieme ordre sont satisfaites a la suite de la forme usuelle des fonctions d'utilite et de production.

Les entreprises ne possedent pas de stock de biens et alors on peut ecrire A^e_kj = xkj = gkj(p1; p2; : : : ; pm)

ou A^e_kj est la fonction d'ore nette.

Les fonctions d'ore sont homogenes de degre zero par rapport aux prix, comme on peut le verier en prenant les conditions de premier ordre ci-dessus. Par consequent, le prot est une fonction homogene de degre 1. On peut alors determiner l'homogeneite de la fonction de demande nette. La contrainte budgetaire ne change pas si, par exemple, on double les prix.

Par ailleurs, en prenant le rapport de deux equations des conditions de premier ordre, on remarque que les prix interviennent uniquement sous forme de rapport. On peut alors dire que la fonction de demande nette est homogene de degre zero par rapport aux prix.

Les demandes et les ores globales sont obtenues en additionnant les fonctions individuelles:

(a) demande nette des consommateurs pour le bien j: E_j^c =P_h

i=1E_ij^c (b) ore nette des entreprises pour le bien j: A^e_j =P_n

k=1A^e_kj

L'equilibre du marche implique l'egalite entre l'ore et la demande globales. Le systeme a resoudre pour trouver les prix d'equilibre est alors:

E_j^c0 A^e_j = 0 j = 1; 2; : : : ; m k 0P

pjA^e_kj = 0 k = 1; 2; : : : ; n

Nous avons m + n equations en m + n variables (les m prix et les n prots). Toutefois, les demandes et les ores nettes sont des fonctions homogenes de degre zero et seulement les prix relatifs peuvent ^etre obtenus en resolvant ce systeme.

La loi de Walras est valable aussi dans une economie avec production. En faisant la somme des contraintes budgetaires, on a:

P

i

P

jpjE_ij^c 0P

i

P

k2ikP

jpjA^e_kj = 0 P

jpjP

iE_ij^c 0P

kP

i2ikP

jpjA^e_kj = 0 P_m

j=1pjE_j^c0P_m

j=1pjP_n

k=1A^e_kj = 0 P_m

j=1pj(E_j^c 0 A^e_j) = 0

Si m 0 1 marches sont en equilibre, le marche restant doit l'^etre lui aussi. Supposons que les marches de 2 a m soient en equilibre (E_j^c = A^e_j pour j = 2; 3; : : : ; m). On a alors:

p1(E₁^c0 A^e₁) = 0

et ceci signie que le premier marche est en equilibre.

Pour un equilibre a long terme, il faut ajouter la condition que le prot est nul. En eet, si le prot est positif il y aura de nouvelles entreprises qui se creent et alors l'ore globale change.

Les prix vont changer jusqu'au moment ou le prot dispara^t.

Comme nous l'avons fait pour une economie d'echanges, il convient de presenter, ici aussi, le cas ou le nombre limite de biens permet une representation graphique fort utile des dierents equilibres.

Prenons tout d'abord l'equilibre de la production. Supposons que deux entreprises emploient deux facteurs de production. Chaque entreprise produit un seul bien en utilisant les deux facteurs. La distribution des deux facteurs entre les deux entreprises peut ^etre representee en utilisant une bo^te d'Edgeworth mais en mettant les deux entreprises a la place des deux consommateurs.

Les points de tangence entre les deux ensembles d'isoquantes correspondent a la courbe op- timale de Pareto. Si l'on est sur cette courbe, appelee ici la courbe de production, il est impossible d'augmenter la production d'une entreprise sans diminuer celle de l'autre.

Cette courbe donne les points d'egalite entre les taux marginaux de substitution des deux entreprises. Comme chaque entreprise minimise les co^uts en egalisant le taux marginal de substitution avec le rapport des prix des facteurs et celui-ci est le m^eme pour les deux en- treprises, en concurrence parfaite les deux entreprises se trouvent sur la courbe de production.

Cette optimalite de la concurrence parfaite en ce qui concerne la production sera examinee au chapitre V.

Si l'on passe du point S^o au point S¹ (voir graphique E.3), on obtient une augmentation de la production de la premiere entreprise (q1) et une diminution de celle de la deuxieme (q2).

Le rapport des facteurs utilises change lui aussi. Dans le graphique on a represente le cas ou la premiere entreprise utilise relativement plus de travail que de capital, par rapport a la deuxieme. On dit que la premiere entreprise utilise de maniere (relativement) intensive le travail tandis que la deuxieme utilise de maniere intensive le capital.

Si la production de l'entreprise qui utilise de maniere intensive le travail augmente, on observe alors une hausse du rapport K/L pour les deux entreprises. Cette hausse n'est pas un paradoxe de la production mais le resultat de l'allocation des ressources entre les deux entreprises. En eet, si le rapport ne change pas, il est impossible d'obtenir un nouvel equilibre. Comme la premiere entreprise utilise plus de travail que de capital et les facteurs supplementaires ne peuvent provenir que de la deuxieme entreprise, qui libere plus de capital que de travail, il faut que les entreprises modient leur rapport K/L pour qu'un nouvel equilibre puisse s'etablir.

Le rapport des prix des facteurs aura change lui aussi. Le prix du travail aura augmente par rapport au prix du capital et ceci justie une modication du rapport K/L.

En conclusion, une augmentation de la production d'un bien qui utilise de maniere intensive le travail conduit a une hausse du prix du travail par rapport au prix du capital. Il y aura alors une redistribution des revenus entre les proprietaires de ces deux ressources. Une analyse d'equilibre general permet d'examiner tous ces eets directs et indirects.

Nous avons represente une courbe de production qui se trouve toujours du m^eme c^ote de la diagonale de la bo^te d'Edgeworth. On dit alors qu'il y a irreversibilite de l'intensite des facteurs. Si les deux fonctions de productions sont homothetiques on a ce cas, souvent utilise dans la theorie des echanges internationaux.

Si l'on veut examiner simultanement la production et l'echange des biens, il convient de representer la courbe des possibilites de production. Chaque point de la courbe de production (voir graphique E.3) donne la production des deux biens (il sut de regarder l'isoquante qui passe par ce point). En partant de la courbe de production, on peut alors construire la courbe des possibilites de production A-B (voir graphique E.4).

Cette courbe indique les quantites des produits que l'on peut avoir avec une quantite xe des ressources. Au chapitre II, elle a ete utilisee pour representer le cas des productions jointes.

En situation d'autarcie, un individu est oblige de choisir la combinaison qu'il prefere parmi l'ensemble des points de cette courbe. On donne souvent l'exemple de Robinson Crusoe sur une ^le du Pacique Il peut utiliser les heures de travail dont il dispose (sa seule ressource) pour la p^eche et alors sa production sera OA (voir graphique E.5 ou q1 represente la quantite de poisson). S'il se consacre entierement a la cueillette de fruits sauvages, la production de poisson sera nulle et celle de fruits de OB (q2 est la quantite de fruits sauvages). Entre ces deux points, il y a toutes les combinaisons possibles de poissons et de fruits, obtenues en repartissant de maniere dierente les heures de travail disponibles. La solution choisie par

Robinson est le point de tangence entre la courbe d'indierence et celle des possibilites de production (point S1).

Supposons maintenant que Robinson rencontre Vendredi et peut echanger les poissons et les fruits au rapport des prix correspondant a la (valeur absolue de la) droite P P⁰. Dans ce cas, il produit les quantites q²₁; q²₂ et consomme les quantites q₁³; q₂³. Ceci signie qu'il vend la quantite q₁² 0 q³₁ de poissons et achete la quantite q³₂ 0 q₂² de fruits sauvages . Il peut ainsi se placer sur une courbe d'indierence plus elevee. Un graphique de ce type est utilise en theorie des echanges internationaux pour montrer qu'un petit pays a inter^et a choisir le libre echange plut^ot que l'autarcie.

Le rapport des prix depend des ores et des demandes globales. La fonction d'ore de Robin- son peut ^etre obtenue en prenant dierents rapports des prix et en regardant les quantites qu'il achete et qu'il vend a ces prix. On peut aussi tracer directement la courbe d'ore en prenant une droite de rapport des prix qui passe par l'origine des axes et en faisant glisser le bloc des possibilites de production jusqu'au moment ou l'on obtient la tangence avec la courbe d'indierence la plus elevee possible (voir graphique E.5).

L'origine du bloc des possibilites de production trace ainsi la courbe d'ore car la dierence par rapport a l'origine des axes donne les quantites achetees (si positives) et vendues (si negatives) des deux biens.

On peut faire la m^eme chose pour Vendredi et ensuite reunir les deux courbes en utilisant un graphique a quatre quadrants (voir graphique E.6).

Le graphique du premier producteur-consommateur se trouve en haut et a droite tandis que celui du deuxieme se trouve en bas et a gauche. L'equilibre general est atteint au point S ou les deux courbes d'ore se croisent. Dans l'exemple du graphique E.6, le premier consommateur achete la quantite OB du deuxieme bien et vend la quantite SB du premier bien. La consommation est q³₁₁ et q₁₂³ . L'achat du premier individu correspond a une vente du deuxieme et vice versa.

Ce graphique est appele le papillon de Meade a cause de sa forme et de l'auteur qui l'a propose pour illustrer un modele d'equilibre general dans la theorie des echanges internationaux.

Existence de l'equilibre general

Comme nous l'avons deja dit, la loi de Walras n'est pas une condition susante pour que l'equilibre general existe.

Exemple

ui = q²_i1+ q_i2² q_i1^o = 4 ; q_i2^o = 3 Il y a 3 cas possibles:

1) si p = ^pa_p¹₂ > 1, le consommateur demande uniquement le bien 2:

qi2 = 3 + 4p ! Ei1 = 04 ; Ei2 = 4p

E1 = E11+ E21 = 08 6= 0 ! pas de prix d'equilibre

2) si p = ^pa_p¹₂ < 1, le consommateur demande uniquement le bien 1:

qi1 = 4 + ^3a_p ! Ei1 = ^3a_p ; Ei2 = 03

E1 = E12+ E22 = 06 6= 0 ! pas de prix d'equilibre

3) si p = ^pa_p¹₂ = 1, on a le cas 1) ou le cas 2) et nous avons vu que dans ces cas l'equilibre n'existe pas.

Les demonstrations modernes de l'existence de l'equilibre general utilisent des theoremes mathematiques dits de "point xe" dont le plus simple est celui de Brouwer (1911).

Soit X un ensemble convexe et compact (c'est-a-dire ferme et borne) de R^m (l'espace euclidien a m dimensions). Le theoreme de Brouwer dit que si '(x^o) est une application univoque continue de X dans lui-m^eme, il existe un vecteur x^o de X tel que '(x^o) = x^o. On appelle x^o le point xe de la fonction '(x).

Cet enonce contient plusieurs termes mathematiques qu'il convient d'expliquer. Un ensemble est ferme s'il contient tous les points de sa frontiere (ou fermeture). Par exemple, l'ensemble A = fxj0 x 1g est ferme tandis que l'ensemble B = fxj0 < x < 1g est ouvert.

Un ensemble est borne si la distance entre deux points quelconques de l'ensemble est nie.

Soit la fonction (ou application univoque):

y = f(x1; x2; x3)

Cette fonction transforme les variables x1; x2 et x3 en une variable y. Comme x1; x2; x3

constitue un point dans un espace a trois dimensions (s'il s'agit de l'espace des nombres reels on ecrit R³ ou 3 est la dimension), on dit que cette fonction est une application de R³ dans R¹. Lorsque les deux ensembles sont les m^emes, on parle d'application de l'ensemble X dans lui-m^eme.

Un exemple tres simple du theoreme de Brouwer est donne par une fonction continue denie dans l'intervalle 0 x 1. L'ensemble X = fxj0 x 1g est convexe et compact. La fonction '(x) = 0:4+0:5x est une application continue de X dans lui-m^eme. Selon le theoreme de Brouwer, il y a une valeur x^o telle que '(x^o) = x^o. Graphiquement, ceci signie que la fonction doit couper au moins une fois la diagonale (voir graphique E.7).

Le point xe est ici x^o = 0:8 car '(0:8) = 0:8. Un autre exemple, dans un espace a deux dimensions, est l'application suivante, denie dans l'espace X = fxj0 xi 1g:

'(x) = Ax = 0:2 0:6 0:4 0:7

x1

x2

avec x = [x1 x2]^T. Les points xes sont x^o = [0 0]^T et x^o = [0:6 0:8]^T.

Si l'on veut utiliser le theoreme de Brouwer, il faut montrer que la recherche des prix d'equilibre revient a trouver le point xe d'une application et que les conditions du theo- reme sont satisfaites.

Comme les fonctions de demande nettes sont homogenes de degre zero, on peut normaliser les prix de telle sorte que leur somme soit egale a l'unite. Il sut d'appliquer la transformation suivante:

pj = p^a_j=P p^a_k

ou p^a_k indiquent les prix absolus, non normalises. L'ensemble des prix normalises a une forme particuliere qui peut ^etre illustree dans les cas de deux et trois prix.

Si les prix non normalises sont p^a₁ = 3 et p^a₂ = 2 on obtient, en appliquant la transformation ci-dessus, les prix normalises p1 = 0:6 et p2 = 0:4. Graphiquement, on a transforme le vecteur OA en un vecteur OB dans l'espace OSS⁰ (voir graphique E.8).

Trois prix normalises doivent se trouver dans le tetraedre (voir graphique E.9).

Ces ensembles sont appeles des simplexes unitaires que l'on designe de la maniere suivante:

Sm = fpjP

pk = 1; p 0g

ou p = [p1 p2 : : : pm]^T est le vecteur des prix normalises. Le simplexe est un ensemble convexe et compact. La normalisation des prix transforme le vecteur p^a dans l'espace R^m en un vecteur qui se trouve dans le simplexe.

Il faut maintenant preciser la notion d'equilibre. Tout d'abord, la fonction de demande nette est denie de la maniere suivante:

Ej = E_j^c 0 A^e_j = qj0 q_j^o 0 xj

ou

qj = quantite demandee du bien j;

xj = quantite du bien j oerte (si xj > 0) ou demandee (si xj < 0) par les entreprises q_j^o = stock initial du bien j.

L'equilibre est obtenu lorsque toutes les demandes nettes sont nulles. Toutefois, cette condi- tion ne peut pas ^etre satisfaite lorsque l'ore est superieure a la demande m^eme a un prix nul.

En eet, il faudrait prendre des prix negatifs pour arriver a une demande nette nulle. Nous avons ici le cas d'un bien gratuit dont la demande nette est toujours negative. L'equilibre de ce marche n'exige pas une demande nulle. Il est obtenu avec un prix nul et une demande nette qui reste negative. Il faut considerer aussi ce cas dans la denition de l'equilibre. Par consequent, le vecteur p³ represente un equilibre lorsque:

p³_j 0 j = 1; 2; : : : ; m

Ej(p³₁; p³₂; : : : ; p³_m) 0 j = 1; 2; : : : ; m Si Ej(p³₁; p³₂; : : : ; p³_m) < 0 alors p³_j = 0

Walras propose la procedure suivante pour arriver au prix d'equilibre:

(1) augmenter les prix des biens dont la demande nette est positive;

(2) baisser les prix des biens dont la demande nette est negative, pourvu que le prix ne devienne pas negatif.

Les nouveaux prix seront alors:

~pj = pj si Ej(p) = 0

~pj = pj + si Ej(p) > 0

~pj = max(0; pj 0 ) si Ej(p) < 0

ou est une constante positive. Ces nouveaux prix seront renormalises an que leur somme soit egale a l'unite.

Soit T (p) la transformation des prix decrite ci-dessus. On a les prix d'equilibre lorsque T (p³) = p³. Par consequent, le vecteur p³ correspond au point xe de l'application T (p). On peut utiliser le theoreme de Brouwer si l'on montre que T (p) est une application continue de Sm dans lui-m^eme.

Soit la demande nette modulee (car elle n'est jamais negative):

Mj(p) = max [0; kjEj(p)]

ou kj est une constante positive. Cette expression possede les proprietes suivantes:

(1) Mj(p) 0

(2) Mj(p) > 0 si et seulement si Ej(p) > 0 (3) Mj(p) = 0 si Ej(p) 0

(4) pj + Mj(p) 0

Soit Tj(p) la transformation suivante:

Tj(p) = ^a₁₊^pjP^+Mj(p)

M_k(p)

En prenant tous les biens, on peut ecrire:

T (p) = ^a_1+i^p+M(p)TM(p)

ou i^T est le vecteur unite [1 1 : : : 1] et alors i^TM(p) =P

Mj(p) (M(p) est deni de la m^eme maniere que T (p)).

Comme pj + Mj(p) 0 et 1 +P

Mk(p) > 0, on a Tj(p) 0. Si pj > 0, alors Tj(p) > 0.

Par ailleurs:

i^TT (p) = ^iaT_1+i^p+iT^TM(p)^M(p) = 1

et T (p) est donc une application de l'ensemble Sm dans lui-m^eme. Si Mj(p) est une fonction continue, alors Tj(p) le sera aussi, car il s'agit d'un rapport de deux fonctions continues. Nous avons ainsi tous les elements pour montrer l'existence de l'equilibre general.

Lorsque les fonctions de demande satisfont aux conditions suivantes:

(1) elles sont univoques et continues;

(2) elles verient la loi de Walras;

on peut utiliser le theoreme de Brouwer et prouver l'existence de l'equilibre general.

Nous avons vu que T (p) est une application de Sm dans lui-m^eme. Comme Ej(p) est par hypothese une fonction univoque et continue, Tj(p) sera aussi univoque et continue. Par consequent, le theoreme de Brouwer nous dit qu'il existe un vecteur p³ tel que:

p³ = T (p³) = ^a_1+i^p3+M(pTM(p³³⁾)

Il sut alors de montrer que p³ est le vecteur des prix d'equilibre et on pourra ainsi dire que l'equilibre general existe.

De l'expression ci-dessus on tire:

p³_ji^TM(p³) = Mj(p³)

Soit = i^TM(p³). On peut ecrire, en multipliant a droite et a gauche par Ej(p³):

p³_jEj(p³) = Mj(p³)Ej(p³)

La loi de Walras dit que la somme de ces valeurs est egale a zero:

PMj(p³)Ej(p³) = P

p³_jEj(p³) = 0

D'autre part, comme Mj(p)Ej(p) 0 (voir les proprietes de la demande nette modulee), chaque terme de la somme a gauche doit ^etre egal a zero:

Mj(p³)Ej(p³) = 0

Si Ej(p) > 0, Mj(p) > 0 et alors le produit ne peut pas ^etre nul. Par consequent, Ej(p³) 0 et ceci correspond a la premiere partie de la denition de l'equilibre (demande nette nulle ou negative). D'autre part, commeP

p³_jEj(p³) = 0, si Ej(p³) < 0 il faut que p³_j = 0 et alors une demande nette negative a l'equilibre implique un prix nul. La demonstration est complete et par consequent l'equilibre general existe.

Exemple

u1 = q11q12 ; q^o₁₁ = 4 ; q₁₂^o = 10 u2 = q21q₂₂² ; q^o₂₁ = 15 ; q₂₂^o = 3 Les demandes nettes sont:

E1 = 6^pa_p²₁ 0 12 ; E2 = 12^pa_p¹₂ 0 6

Si l'on prend les prix normalises p1 = p2 = 0:5 et k = 0:1 on a:

E1 = 06 ! M1 = max[0; 00:6] = 0 E2 = 6 ! M2 = max(0; 0:6) = 0:6

p = 0:5

0:5

+ 0 0:6

a1:6 = 0:3125

0:6875

Si p1 = ^1a₃ ; p2 = ^2a₃ alors E1 = E2 = 0 et on trouve les prix d'equilibre.

On peut montrer l'existence de l'equilibre general en prenant des hypotheses moins restric- tives en ce qui concerne les demandes nettes mais il faut alors utiliser des developpements mathematiques plus compliques. En particulier, nos hypotheses impliquent que la demande nette est nie lorsque le prix est nul et ceci n'est pas conforme a l'hypothese de non satiete que nous avons adoptee lors de l'examen de la theorie du consommateur.

Le theoreme de Brouwer n'indique pas comment calculer le point xe d'une transformation.

Toutefois, on a recemment construit un procede ecient qui permet de calculer le point xe. Aujourd'hui, la determination de l'equilibre general est obtenue en utilisant dierents algorithmes.

Stabilite et unicite de l'equilibre

Dans le chapitre precedent, on a etudie la stabilite d'un marche isole en prenant tout d'abord une approche statique et en passant ensuite a une analyse dynamique. On procedera de la m^eme maniere pour la stabilite de l'equilibre general.

A. La stabilite statique

La condition de stabilite walrasienne devient, lorsque la demande nette depend des prix de tous les biens:

@E_j

a@pj < 0

Hicks a generalise cette condition en tenant compte des eets indirects sur tous les autres marches. Dans un premier cas, il considere que les prix des autres biens se sont ajustes pour permettre a ces marches de retrouver l'equilibre. En eet, si l'on modie le prix d'un bien on perturbe tous les marches puisque les demandes nettes dependent des prix de tous les biens.

Comme les demandes nettes sont des fonctions homogenes de degre zero, on peut xer le prix d'un bien egal a l'unite et exprimer tous les autres prix par rapport a ce bien que Walras appelle le numeraire (voir ci-dessous). Les fonctions de demande nette des autres biens sont:

Ej(1; p2; p3; : : : ; pm) (j = 2; 3; : : : ; m)

L'equilibre est imparfaitement stable selon Hicks si la demande nette diminue lorsque le prix augmente et ceci dans le cas ou les autres marches ont retrouve l'equilibre. La derivee totale par rapport au prix doit ^etre negative:

dEj

adpj < 0 (tous les autres prix ajustes)

En prenant la dierentielle totale des fonctions de demande nette on obtient:

8>

>>

<

>>

>:

dE2 = F22dp2+ F23dp3+ 1 1 1 + F2mdpm

dE3 = F32dp2+ F33dp3+ 1 1 1 + F3mdpm

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dEm = Fm2dp2+ Fm3dp3 + 1 1 1 + Fmmdpm

ou Fij = @Ei=@pj (i; j = 2; 3; : : : ; m).

Comme tous les autres m-2 marches sont en equilibre (dEk = 0 pour k 6= j), on a, en utilisant la regle de Cramer:

dpj =

F22 F23 : : : 0 : : : F2m

F32 F33 : : : 0 : : : F3m

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fj2 Fj3 : : : dEj : : : Fjm

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fm2 Fm3 : : : 0 : : : Fmm

a

F22 F23 : : : F2j : : : F2m

F32 F33 : : : F3j : : : F3m

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fm2 Fm3 : : : Fmj : : : Fmm

Le denominateur contient toutes les derivees partielles (de premier ordre) du systeme d'equa- tions. Ce determinant, appele le jacobien, sera designe par la lettre J. On peut alors ecrire:

Jdpj = dEjJjj

ou Jjj est le co-facteur de l'element @Ej=@pj. La condition de stabilite imparfaite devient alors:

dEj

adpj = ^a_J^J_jj < 0

Hicks donne aussi une condition de stabilite parfaite en supposant que les autres marches ne sont pas necessairement en equilibre. La demande nette doit diminuer, lorsque le prix augmente, m^eme si tous les autres marches ne sont pas en equilibre. On peut alors ecrire:

dEj

adpj < 0 (pour un sous-ensemble des autres prix ajustes)

Lorsque le sous-ensemble comprend tous les prix, on retrouve la condition de stabilite impar- faite qui est alors un cas particulier de la condition de stabilite parfaite. Si le sous-ensemble est vide, c'est-a-dire si tous les autres prix ne changent pas, on a:

dE_j

adpj = Fjj = ^@Ea_@pj^j < 0 (j = 2; 3; : : : ; m)

et ceci correspond a la condition de stabilite walrasienne.

Prenons maintenant le cas ou un autre prix (pk) s'ajuste. On obtient:

8>

<

>:

dE2 = F2jdpj+ F2kdpk

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dEm = Fmjdpj + Fmkdpk

En prenant les eets sur les deux marches j et k on a:

dpj =

dEj Fjk

0 Fkk

a

Fjj Fjk

Fkj Fkk

La condition de stabilite parfaite est alors:

dEj

adpj = (D=Fkk) < 0

ou D est le denominateur de l'expression ci-dessus. Comme Fkk doit deja ^etre negatif (voir ci-dessus), il faut que ce determinant soit positif.

On peut maintenant faire varier deux autres prix et ainsi de suite. On obtient comme condi- tion que les determinants d'ordre pair doivent ^etre positifs et ceux d'ordre impair negatifs.

B. La stabilite dynamique