127 – Exponentielles de matrices. A.

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127 – Exponentielles de matrices. A.

« Alors attention : même si un jour, vous êtes très ému, ne cherchez pas à montrer l’injectivité avec le noyau. Sinon, vous vous effondrez avec tous vos espoirs.»

Le plan :

I) Définitions, propriétés.

Définition de l’exponentielle de matrices. Norme de exp(A) (CVN). Propriétés générales avec opérations, dérivation, déterminant,… Surjectivité de exp de M

_n

( K ) sur GL

n

( K ). Exemple de non injectivité. Exp(A) est un polynôme en A. Valeurs propres.

II) Dunford et réduction.

Décomposition de Dunford. Application au calcul d’exp. Exp d’une matrice diagonalisable.

Décomposition de Dunford multiplicative de exp. Diagonalisabilité de exp. Lemme des noyaux.

III) Décomposition polaire et applications.

Homéomorphisme de S

_n

sur S

_n⁺⁺

, de H

_n

sur H

_n⁺⁺

. Décomposition polaire. Structure des groupes classiques. Décomposition de O(p,q).

IV) Régularité.

Envoie nilpotents sur unipotents. Difféomorphisme local autour de O

Mn(R)

sur un voisinage de I

n

. Csq : il n’y a pas de sous-groupe arbitrairement petit. L’exp est C

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127 – Exponentielles de matrices. A.

127 – Exponentielles de matrices. A.

« Alors attention : même si un jour, vous êtes très ému, ne cherchez pas à montrer l’injectivité avec le noyau. Sinon, vous vous effondrez avec tous vos espoirs.»

Le plan :

I) Définitions, propriétés.

Définition de l’exponentielle de matrices. Norme de exp(A) (CVN). Propriétés générales avec opérations, dérivation, déterminant,… Surjectivité de exp de M

( K ) sur GL

( K ). Exemple de non injectivité. Exp(A) est un polynôme en A. Valeurs propres.

II) Dunford et réduction.

Décomposition de Dunford. Application au calcul d’exp. Exp d’une matrice diagonalisable.

Décomposition de Dunford multiplicative de exp. Diagonalisabilité de exp. Lemme des noyaux.

III) Décomposition polaire et applications.

Homéomorphisme de S

sur S

, de H

sur H

. Décomposition polaire. Structure des groupes classiques. Décomposition de O(p,q).

IV) Régularité.

Envoie nilpotents sur unipotents. Difféomorphisme local autour de O

sur un voisinage de I

. Csq : il n’y a pas de sous-groupe arbitrairement petit. L’exp est C

. Application aux

équations différentielles linéaires. Comportement asymptotique et réduction.

Les développements :

A7 : Diagonalisabilité et exponentielle A23 : Décomposition polaire

A24 : Homéomorphisme de H

sur H

A29 : Décomposition de O(p,q) La bibliographie :

[Ser]-[Go1]-[MnT]-[BMP]-[HuW]