Physique. Devoir surveillé N°9 \ CB2.
Corrigé.
Exercice 1. Moteur automobile
I. THERMODYNAMIQUE DU MOTEUR
I.1. Questions préliminaires
I.1.1. Lors d'une transformation quelconque, la variation d'énergie interne U d'un système thermodynamique est égale à l'énergie qu'il échange avec l'extérieur sous forme de travail W et de chaleur Q: U = W + Q.
I.1.2. Le bilan entropique du système après mise en contact avec les thermostats {Ti} s'écrit S Qi/Ti . Si le système effectue un cycle fermé, S = 0 d'où Qi/Ti 0 (inégalité de Carnot-Clausius).
I.1.3. C'est la loi de Laplace des gaz parfaits des transformations adiabatiques quasistatique : P V = Cte, d'où l'on déduit d'après l'équation d'état PV = nRT, T V-1 = Cte et P1- T = Cte.
I.1.4. Comme dS = dQrév/T, si la transformation du système est réversible ou quasistatique et adiabatique, il vient dQrév = 0 donc S = Cte, d'où S = 0.
I.2. Cycle moteur ditherme théorique
I.2.1. Pour un cycle moteur, Qc>0, Qf<0 et W<0. Le rendement énergétique du moteur est défini par = − W/Qc. I.2.2. Sur un cycle fermé, U = 0 d'où W + Qf + Qc = 0 donc = (Qf + Qc )/Qc d'où = 1+ Qf /Qc .
I.2.3. Comme le Deuxième Principe implique Qc /Tc + Qf /Tf 0 et que Qc > 0, on en déduit Qf /Qc − Tf /Tc, d'où l’inégalité : 1 − Tf /Tc, rendement maximal théorique si toutes les transformations sont réversibles.
I.3. Modélisation du cycle moteur réel
I.3.1. Comme à V constant dQrév = nCvmdT, dS = dQrév/T = nCvmdT/T d'où T = A exp(S/nCvm): les branches isochores sont donc identiques et d'allure exponentielle, décalées parallèlement à l'axe T, celle de V =VH étant au- dessus de l'isochore VB car la température est plus élevée.
On peut aussi écrire dS = n(CvmdT/T +PdV/T) d'où l'on déduit T = T0(V0/V)-1exp[(S-S0)(-1)/nR].
I.3.2. De même, à P constante, dS = nCpmdT/T T = A exp(S/nCpm): la branche isobare a également une allure exponentielle, de pente plus faible que celle des isochores, de sorte qu'elle coupe l'isochore VH en un point de température T3, la température continuant de monter au-delà.
I.3.3. Comme S=Cte lors d'une transformation adiabatique quasistatique, les deux branches correspondantes sont verticales. On peut identifier directement les points et les transformations successives du cycle :
{1-2} compression adiabatique ; {2-3} échauffement isochore ; {3-4} échauffement isobare; {4-5} détente adiabatique; {5-1} refroidissement isochore.
I.3.4. Sur le diagramme {T,S}, les chaleurs échangées de manière réversible ou quasistatique sont les surfaces
comprises entre l'axe T = 0 K et les branches correspondantes car Q = TdS. Par conséquent, Qc est l'aire A1 sous la branche isobare 3-4, et le travail est l'aire A2 du cycle car W = - Qi = TdS. Le diagramme entropique permet donc de "visualiser" directement le rendement par A2/A1.
S1
T
S T1
S4
isochore VH
isobare PM
isochore VB
T5
T2
T3
T4
I.4. Paramétrage du cycle
I.4.1. A volume constant, Q23=
TT23nCvmdT, avec Cvm = R/(-1) d'où 23(
3 2)
1 T T n R
Q −
−
= .
A pression constante, Q34 =
TT34nCpmdT, avec Cpm = R/(-1) d'où 34(
4 3)
1 T T n R
Q −
−
= .
I.4.2. Comme Q12 = 0 et Q45 = 0 (transformations adiabatiques), le Premier Principe appliqué au cycle fermé (U=0) s'écrit W = − (Q23 + Q34 + Q51). Or Qc = Q23 + Q34 donc = (Q23 + Q34 + Q51)/( Q23 + Q34), soit encore
34 23
1 51
Q Q
Q + +
=
.
I.4.3. {5-1} étant isochore, 51
(
1 5)
1 T T n R
Q −
−
= ,d'où 1 T3 T21
(
T54 T3)
T T
−
+
− + −
=
.
I.4.4. {1-2} étant isentropique, T1V1-1 = T2V2-1 , soit T2 = T1 (VB/VH)-1 donc T2 = T1 a-1 . De même, P1V1= P2V2 donc P2 = P1 a .
I.4.5. A volume constant, P/T=Cte, donc P3/T3 = P2/T2, d'où T3/T2 = P3/P2 = b d'où T3 = T1 b a-1 . A pression constante, V/T = Cte, d'où T4/T3 = V4/VH = r, donc T4 = T1 r b a-1 .
I.4.6. {4-5} étant isentropique, T4V4-1 = T5VB-1 , d'où T5 = T4 (V4/VB)-1 = (r/a)-1 , donc T5 = T1 b r .
I.4.7.
(
1 1 1)
1 1 1 1
1
1
1 − −1 − −
−
+
− + −
=
ba T rba T a
T ba T
br T
T donc
(
1)
1(
1)
11 −1 −
−
+
− + −
=
ba r a
b
br , soit encore
( ) ( )
1 1 1
1 1 − + −
− −
=
−
r b b a
br .
I.4.8. De P3 = P1, on obtient = b a. De T4 = T1, on tire = r b a-1 = r/a. Si on s'impose r = , on en déduit
a= , −
= 1
b .
I.4.9. A.N.: a = 1,554 / 9 d'où a = 9; b= 54 / 91,4 d'où b = 2,5;
= 1−(2,51,51,4−1)/90,4[2,5(1,40,5+1)−1] = 1−(2,51,8-1)/2,4(2,51,7−1) = 1−3,5/2,43,25 → 0,55.
I.4.10. T4 = 9300 d'où T4 = 2700 K. Le rendement de Carnot est c = 1−300/2700=8/9 soit c 0,89.
II. ASPECTS MÉCANIQUES DU MOTEUR
II.1. Cinématique du piston
II.1.1. La distance (H,Ox) est B sin = L sin .
II.1.2. La simple lecture du schéma donne x=Lcos+ B2−L2sin2.
II.1.3. V = VH + S (L + B − x) soit V =VH+SL
(
1−cos)
+B− B2−L2sin2 d'où VB = VH + 2 LS et la cylindrée C = 2 LS.II.1.4. La vitesse du piston est
−
−
−
=
=
2 2 2 2 P
sin cos sin sin
L B L L
x v
.
II.1.5. Avec h = L/B:
−
−
−
=
2 P 2
sin 1 2
2 sin sin
h h L L
v
; comme h2 << 1,
−
−
sin2
sin 2
P
hL
L
v .
II.1.6. La vitesse angulaire étant constante, P − L2 (cos + h cos 2).
II.2. Modèle dynamique du système {piston - bielle - vilebrequin}
II.2.1. D'après le Théorème de la Résultante Cinétique appliqué au piston dans le référentiel du moteur supposé galiléen, MP F RB/P RC/P
+ +
=
. Par projection sur Ox,MP =−
(
P−P1)
S+RB/Pcos, d'où le module de la réactionde la bielle sur le piston
( )
− +
=
cos
1 B/P P
S P P
R M .
II.2.2. D'après le Théorème des actions mutuelles appliqué successivement à l'ensemble {bielle, piston}, puis à l'ensemble {bielle, vilebrequin}:RB/P RP/B
−
= et RB/V RV/B
−
= .
D'autre part, la masse de la bielle étant négligée (ou reportée en partie sur le piston et le bilebrequin, ce qui revient au même qualitativement), la résultante des forces sur la bielle est nulle: V/B P/B 0
+R =
R , d'où l'on déduit
B/P
B/V R
R
−
= .
II.2.3. Le moment algébrique de la réaction de la bielle sur le vilebrequin par rapport à Oz est M(RB/V) = RB/V L sin (RB/V
,HO) = RB/V L sin(+) =
( ) (
+ )
− +
sin cos sin cos
cos
1
P P P S L
M . D'après la question
II.1.1, sin = h sin , d'où
( ( − 1)
− 2(
cos+ cos2) ) (
sin+ sin2)
B/V L P P S ML h h
MR .
II.2.4. La puissance mécanique fournie par l'ensemble des quatre pistons est Pm = 4 m.
A.N.: Pm = 441,63000/602 soit Pm 52000 W.
