PROPAGATION D’UN SIGNAL
I Onde progressive sur une corde Toutes les questions sont indépendantes.
On considère une onde progressive qui se propage sur une corde à la vitesse c dans la direction +𝑒⃗!, c’est-à-dire dans le sens des x croissants. Elle est décrite par la fonction y(x, t) = f(x – c t).
On donne c = 4 m∙s-1.
La figure ci-contre représente l'aspect de la corde à la date t = 0 (x et y sont donnés en m).
1) Cette onde est-elle transversale ou longitudinale ? Justifier. Citer un exemple de chaque type d’onde.
2) Comment serait modifiée la fonction précédente y(x, t) pour une propagation dans la direction −𝑒⃗! (propagation dans le sens des x décroissants) ? Justifier rapidement.
3) Représenter la corde à l’instant t = 2 s.
4) La célérité c de l’onde est donnée par la formule 𝑐 = '"#, où T est la tension de la corde en Newton et µ sa masse linéique, c’est- à-dire sa masse par unité de longueur. Donner l’unité de µ en USI (unité du système international). Comment doit-on modifier la tension de cette corde pour doubler la valeur de c ?
5) Construire le graphe de la fonction y(0, t) en fonction de t, qui décrit le mouvement du point 0 au cours du temps lors du passage de l'onde. Il sera justifié en détaillant la méthode utilisée.
II Trous d’Young
La lumière rouge d’un laser He-Ne (λ = 632,8nm) tombe sur un écran muni de deux petits trous T1 et T2 séparés par la distance a = 0,50 mm.
Une figure d’interférence apparaît sur un écran situé à D = 2,0 m.
1) Justifier que les 2 ondes diffractées par les trous T1 et T2 interfèrent.
2) Au point O, la frange est-elle brillante ou sombre ?
3) Les franges brillantes sont équidistantes. La distance qui les sépare est appelée interfrange et notée i. On cherche à connaître les paramètres dont peut dépendre i (nature de la source, distances a, D) et à donner une expression parmi les propositions suivantes :
(1) $%& (2) 𝜆𝐷'
(3) &%$ (4) $&%.
a) Par analyse dimensionnelle, éliminer une ou plusieurs propositions.
b) En réalisant plusieurs expériences, où l’on fait varier un seul paramètre en laissant les autres identiques, on effectue les constatations suivantes :
• L’utilisation d’un laser vert montre que l’interfrange diminue.
• Si on éloigne l’écran, l’interfrange augmente.
• Les deux trous étant rapprochés de l’axe, les franges s’écartent les unes des autres.
En utilisant ces résultats expérimentaux, trouver l’expression correcte de l’interfrange en justifiant le raisonnement. Faire l’application numérique.
4) Déterminer les positions xs,p des franges sombres en fonction de i et d’un entier relatif p.
Réponse : 𝑖 =$%& = 2,5 𝑚𝑚 ; 𝑥(,*= 1𝑝 ++'3 𝑖.
III Ondes stationnaires 1) Corde vibrante
a) Quelle différence y-a-t-il entre une onde périodique progressive et une onde stationnaire du point de vue a) de son évolution temporelle ?
b) de son expression mathématique y(x, t) ?
b) Quelles sont les conditions d’obtention d’une onde stationnaire ?
c) a) Représenter sur le graphe l’onde stationnaire engendrée par les ondes 1 et 2 à la date t1. b) Préciser où se situent les nœuds et les ventres de vibration.
g) Représenter sur le même graphe l’onde résultante à la date t1 + T/2, T étant la période temporelle de l’onde.
d) Représenter sur le même graphe l’onde stationnaire quand son amplitude est maximale.
e) Déterminer la longueur d’onde l et la célérité c de l’onde ; on donne T = 50 ms et 1 carreau = 1 cm.
2) Onde sonore
Après avoir inspiré une bouffée d’hélium pur, à la pression atmosphérique, la voix est très nettement modifiée. Proposer une explication et faites une évaluation chiffrée en utilisant les informations ci-dessous.
La célérité c du son dans un gaz dépend d’une part de son coefficient de compressibilité χ, qui en première approximation ne dépend elle-même que de la pression du gaz, et d’autre part de sa masse volumique ρ selon la relation : 𝑐 = +
,-..
La masse volumique de l'air aux conditions usuelles de pression (1 bar) et de température (25°C) est d’environ 1,2 kg.m-3. Celle de l’hélium pur dans les mêmes conditions sera de 0,16 kg.m-3.
La hauteur du son produit par la voix dépend notamment des dimensions de la cavité résonnante environnant les cordes vocale (conduit vocal ou tractus), qui va sélectionner les fréquences qui lui sont accordées.
Réponse : pour obtenir la courbe de l’onde stationnaire, on somme les ordonnées des deux courbes fournies à la date t1 ; à la date t1 + T/2, on symétrise la courbe précédente par rapport à l’axe des abscisses ; amplitude maximale de 4 carreaux ; le son devient plus aigu car sa fréquence augmente, on passe par exemple du La3 au Ré4 à l’octave supérieure.
IV Onde progressive sans amortissement le long d’une corde
On étudie la propagation sans amortissement ni réflexion d’une perturbation le long d’une corde élastique. A la date t = 0, le front de l’onde quitte l’extrémité S de la corde. A la date t1 = 2,3 s, on prend un cliché photographique de la corde reproduit schématiquement sur le graphe ci-dessous. (Les échelles sont différentes pour la coordonnée horizontale x et la coordonne verticale y).
M1 est la position du front de l’onde à l’instant t1, N1 celle de la crête et P1 celle de la queue de l’onde de déformation.
1) L’onde qui se propage est-elle transversale ou longitudinale ? Quelle est son amplitude ? 2) Calculer la célérité de l’onde le long de la corde.
3) Quelle est la durée τ du mouvement d’un point de la corde au passage de l’onde ? 4) A la date t1, quels sont les points de la corde qui s’élèvent ? ceux qui descendent ?
5) Reprendre le graphe ci-dessous et ajouter sur ce graphe l’aspect de la corde à la date t2 = 3.6 s.
6) Soit Q1, point de la corde situé à 12 m de l’origine S.
a) A quelle date t3 Q1 commence-t-il à bouger ?
b) A quelle date t4 passe-t-il par un maximum d’altitude ? c) A quelle date t5cesse-t-il de bouger ?
Position de repos 0
d) A l’aide des résultats précédents, schématiser l’allure de la courbe yQ1 = f(t) représentant l’évolution de l’élongation yQ1 au point Q1 en fonction du temps.
Réponse : 1 cm ; 3,0 m.s-1 ; t = 1,0 s ; front d’onde à l’abscisse 11 m à la date t2 ; t3 = 4,0 s ; t4 = 4,3 s ; t5 = 5,0 s.
V Ondoscope
Un ondoscope dit « en échelle de perroquet » est constitué de segments métalliques reliés entre eux, pouvant subir des mouvements de rotation autour d’un axe vertical. On note (Ox) cette axe vertical, et l’on accepte que la déviation angulaire des segments successifs par apport à leur position de repos peut être décrit à l’aide d’une fonction d’onde y(x,t) où x est l’abscisse le long de l’axe (Ox) et t le temps.
L’axe (Ox) est orienté vers le haut, son origine x = 0 est située au niveau de l’excitateur.
Les valeurs de y seront décomptées en degrés (°).
On rappelle la relation trigonométrique : 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠/01' 𝑐𝑜𝑠/21' .
Un expérimentateur crée une situation d’ondes stationnaires sur cet ondoscope.
L’extrémité supérieure de l’ondoscope, d’abscisse x = L, laissée libre de mouvement, va présenter un ventre de vibration, c’est à dire un maximum d’amplitude de valeur 2Yo = 10°.
On suppose que les termes d’onde réfléchie yr(x, t) et d’onde incidente yi(x,t) ont même amplitude Yo. Ces deux ondes ont même pulsation ω. On note k le nombre d’onde.
On note : yi(x, t) = Yo.cos(ωt – kx + φi) yr(x, t) = Yo.cos(ωt + kx + φr) On néglige tout phénomène de réflexion en x = 0.
1. Les ondes incidentes et réfléchies vont se superposer selon la somme y(x, t) = yi(x,t) + yr(x,t).
1.1. Quels sont les sens de propagation des ondes yi(x, t) et yr(x, t) sur l’axe (Ox) ?
1.2. Montrer que l’onde y(x, t) résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie s’écrit sous la forme 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝑌3. 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑡), où l’on explicitera complètement les fonctions f(x) et g(t) en fonction des paramètres ω, k, φi , φr et des variables x ou t.
1.3. Commenter la forme obtenue. Quelle sera l’amplitude des oscillations en un point d’abscisse x donnée ?
2. L’expérimentateur impose à l’extrémité d’abscisse x = 0 un mouvement y(0, t) = b.cos(ωt).
L’ondoscope a une longueur totale L = 1,10 m. La fréquence imposée est f = 2,0 Hz.
2.1. On observe que la manipulation conduit à des ondes stationnaires de longueur d’onde λ = 80 cm. Calculer la célérité c des ondes, ainsi que la valeur de k.
2.2. Que peut-on dire du mouvement d’oscillation en l’abscisse x = 90 cm ? Comparer les mouvements observés en les abscisses x = 70 cm et x = 110 cm.
2.3. Tracer une allure de y(x, to) en fonction de x, pour 0 < x < L, à l’instant to où le déplacement angulaire y atteint une valeur maximale en l’abscisse x = L.
2.4. En considérant le mouvement y(0, t) imposé en x = 0, relier les constantes de phase φi et φr. Puis en considérant l’amplitude des oscillations en l’abscisse x = L, déduire les valeurs de φi et φr en fonction de L et λ (modulo un certain angle).
Proposer des valeurs numériques pour φi et φr.
2.5. Les conditions de réflexion en l’abscisse x = L amenant une amplitude A = 2Yo en cette extrémité, en déduire l’amplitude b qui devra être imposée par l’expérimentateur en x = 0, en fonction de Yo, L et λ. Calculer numériquement b.
3. L’expérimentateur souhaite maintenant obtenir une amplitude maximale pour les oscillations aux abscisses x = 0 et x = L. Pour obtenir cette situation, il diminue progressivement la fréquence f imposée aux oscillations à partir de la valeur f = 2,0 Hz. Il relève la valeur de fréquence fo immédiatement inférieure à f pour laquelle la situation voulue est réalisée.
3.1. Tracer une allure de y(x, t) à la fréquence fo, à un instant t quelconque.
3.2. Quelle doit être la valeur de fréquence fo pour atteindre ce comportement ?
3.3. Que se passe-t-il si l’expérimentateur impose une fréquence de valeur fo/2 ? Quelle sera alors l’amplitude de vibration au point P d’abscisse x = 55 cm ?
Réponse : 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 1𝑘𝑥 +4!24' "3 et 𝑔(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 1𝜔𝑡 +4!04' "3 ; onde stationnaire d’amplitude 2𝑌3|𝑓(𝑥)| ; 𝑐 = 𝜆𝑓 = 1,6𝑚. 𝑠_+ ; 𝑘 ='6$ = 7,9𝑟𝑎𝑑. 𝑚2+' ; nœud en x = 90 cm ; ventres avec opposition de phase pour x = 70 cm et x = 110 cm ;
𝜙7= −𝜙8= 2𝜋9$[𝜋] = 8,6𝑟𝑎𝑑 ; 2𝑌3O𝑐𝑜𝑠'69$ O = 7,1° ; 𝑓3=9:= 1,5𝐻𝑧; nœud en P.
VI LA PISCINE À VAGUES
On se propose dans ce problème d’étudier différentes techniques utilisées pour produire des vagues dans une piscine.
Partie A : Utilisation d’une plaque oscillante
La première technique consiste à produire des ondes progressives à une extrémité de la piscine par déplacement horizontal d’un panneau métallique. La superposition de cette onde avec l’onde réfléchie à l’autre bout de la piscine produira une onde stationnaire.
1) On donne la relation liant la célérité c des vagues à la profondeur H de la piscine, la masse volumique ρ de l’eau, l’accélération de pesanteur g, la longueur d’onde λ et le coefficient de tension superficielle A de l’interface eau – air.
𝑐'= 𝑔𝐻 +4𝜋'𝐻𝐴 𝜌𝜆' a) Quelle est la dimension de ρ ? En déduire celle de A.
b) On néglige l’effet de la tension superficielle en posant A = 0, en déduire l’expression liant c à g et H.
Application numérique : calculer H pour obtenir c = 4,0 m.s−1. On donne g = 9,8 m.s-2.
2) Onde incidente zi(x, t) : les oscillations à la pulsation ω du plateau métallique permettent de produire une variation sinusoïdale de la hauteur z(−L, t) du point de la surface de l’eau situé à l’extrémité gauche de la piscine, en x = −L (Figure 1 ci-dessous).
On posera k = ω/c.
On prend : zi(−L, t) = Zm.cos(ωt), expression de la hauteur zi, à l’instant t, de l’eau au point de la piscine d’abscisse x = −L.
Il apparait une onde progressive que l’on supposera sinusoïdale et se déplaçant sans atténuation dans le sens des x croissants à la célérité c.
a) Déterminer zi(x, t) l’expression de l’onde progressive en fonction des données Zm, ω, c et L, on justifiera avec soin. Vérifier explicitement que votre formule appliquée en x = −L donne bien l’expression proposée par l’énoncé ci-dessus pour zi(−L, t).
b) Donner l’expression zi(x, T/4 ) et tracer l’allure de l’onde incidente sur la piscine à t = T/4 où T est la période (temporelle) d’oscillation de la plaque. On fera apparaitre la période de zi(x, T/4) sur la figure.
3) Onde réfléchie zr(x, t) : à l’extrémité d’abscisse x = 0 de la piscine, apparait une onde réfléchie de même amplitude Zm et même célérité que l’onde incidente.
a) Quel doit être de déphasage entre zi(0, t) et zr(0, t) pour que l’amplitude de l’onde résultante (superposition de zi et zr) soit maximale en x = 0 ?
b) En déduire l’expression du signal zr(0, t) puis de l’onde progressive zr(x, t).
4) Onde stationnaire z(x, t) : la superposition des deux ondes progressives zi(x, t) et zr(x, t) donne naissance à une onde stationnaire z(x, t) = zi(x, t) + zr(x, t).
On pourra utiliser la formule trigonométrique : 𝑐𝑜𝑠𝑝 + 𝑐𝑜𝑠𝑞 = 2𝑐𝑜𝑠*0;' 𝑐𝑜𝑠*2;' .
a) Établir l’expression de z(x, t) sous la forme z(x, t) = f(x).g(t) où f(x) = 2 Zm cos(kx) et g(t) est une fonction dont on donnera l’expression.
b) On veut qu’il apparaisse également un nœud de vibration en x = −L. En déduire la relation liant λ et L.
c) Représenter l’onde stationnaire à différents instants dans le cas où la condition précédente est respectée et il y a uniquement quatre nœuds à la surface de la piscine (en comptant celui situé en l’abscisse x = -L).
d) Pour le mode de vibration précédent, quelle devrait être la longueur L de la piscine si l’on prend pour célérité c = 4,0 m.s−1 et une période d’oscillation de la plaque métallique T = 3,0 s ?
Partie B : Utilisation d’injecteurs
La seconde technique consiste à utiliser des injecteurs convenablement placés et synchronisés.
Les injecteurs sont des dispositifs qui pulsent puis aspirent verticalement et alternativement de l’eau. Ils sont placés au fond de la piscine sous les ventres de vibration (cf figure ci-dessus).
Un capteur de pression situé à une extrémité de la piscine permet de les synchroniser à une fréquence optimale f correspondant à un mode de vibration de l’onde stationnaire.
1) Placement des injecteurs : dans le mode représenté ci-dessus (Figure 2), on peut placer deux injecteurs. À quelle distance d du bord de la piscine de longueur L doivent-ils être placés ? (justifier).
2) Réglage des jets : on considère que les injecteurs sont réglés à la même fréquence f.
(a) Pour le même mode, exprimer f en fonction de L et de la célérité c des ondes (progressives) à la surface de la piscine. Faire l’application numérique pour L = 12 m et c = 4,0 m.s−1.
(b) Les jets doivent-ils être injectés au même instant par les deux injecteurs ? Si non, quel doit être le retard temporel ∆t ? 3) Combien d’injecteurs faudrait-il, où devrait-on les placer et comment devrait-on régler les jets pour obtenir le mode de vibration correspondant à un nœud de plus dans la même piscine ?
Réponse : [A] = M.T-2 ; 𝑧7(𝑥, 𝑡) = 𝑍<𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 − 𝑘(𝑥 + 𝐿)] ; 𝑧71𝑥,"=3 = 𝑍<𝑠𝑖𝑛𝑘(𝑥 + 𝐿) ; 𝑧8(𝑥, 𝑡) = 𝑍<𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝑘(𝑥 − 𝐿)] ; 𝐿 =$=+ 𝑛$' ; L = 21 m ; d = L/3 ; 𝑓 =>:'9= 0,50𝐻𝑧 ; Dt = 1,0 s ; 3 injecteurs distants de L/4 avec f = 0,67 Hz et Dt = 0,75 s.
VII INTERFERENCES ACOUSTIQUES
Un microphone M est situé à des distances respectives r1 et r2 de deux haut- parleurs HP1 et HP2 émettant des signaux sonores de fréquence 100 Hz, en phase.
On donne la célérité du son dans l’air c = 340 m.s-1.
L’onde de pression p1(r, t) parvient en M avec une pression acoustique d’amplitude PM1 = 0,10 Pa.
L’amplitude de l’onde sonore issue de HP2 est PM2 = 0,050 Pa.
Les haut-parleurs sont assimilés à des sources d’ondes acoustiques ponctuelles.
1) Déterminer l’amplitude globalement perçue en M si r1 = r2.
2) Pour quelle(s) valeurs de r1 et r2 aura-t-on une amplitude minimale ? Que vaudra-t-elle ?
3) On déplace le microphone et l’on mesure des distances r1 et r2 telles que r2 = r1 + d, avec une valeur d = 0,85 m. Quel est alors le déphasage entre les deux ondes ? Quelle est l’amplitude prévisible en M (on pourra s’appuyer sur une représentation de Fresnel) ?
4) Quelle est la valeur en dB de l’intensité acoustique perçue dans les situations étudiées dans les questions 1. 2. et 3. ? On donne l’intensité acoustique : I = PM²/(2ρc) où PM est l’amplitude et r la masse volumique de l’air et l’on rappelle que la mesure en décibel de cette intensité répond à : 𝐼?@= 10𝑙𝑜𝑔A A
#"$ avec Imin = 10-12 W.m-2(log représente le logarithme décimal).
Dans les conditions ambiantes, la masse volumique de l’air vaut : r = 1,2 kg.m-3. Commenter les résultats obtenus.
5) Proposer une méthode permettant une construction graphique des lieux géométriques correspondant aux positions des maxima et des minima d’intensité sonore. On considèrera les haut-parleurs comme des sources ponctuelles. Tracer un schéma pour une distance d = 10,0 m entre les haut-parleurs (échelle 1 cm pour 1 m).
Réponse : PM = 0,15 Pa ; PM = 0,05 Pa pour r2 – r1 = (2n+1) l/2 ; p/2 rad ; PM = 0,11 Pa ; LdB1 = 74 dB ; LdB2 = 64 dB ; LdB3 = 72 dB.
r1
r2
M
HP1 HP2
VIII Mesure d’une vitesse de propagation
On utilise un oscilloscope et on observe, en bicourbe, les tensions délivrées par deux microphones, un fixe en O et l’autre mobile en M captant une onde progressive sinusoïdale émise par un haut-parleur (figure 1. ci-contre). Lorsque les deux microphones sont placés en O, on observe sur un oscilloscope la figure 2.
Tous les résultats seront fournis avec deux chiffres significatifs.
1) Quelle est la fréquence f de l’onde ?
Figure 2 Figure 3
Figure 4 Figure 5
Les quatre graphes des figures 2, 3, 4 et 5 présentent en bicourbe les tensions délivrées par le microphone en O et le second microphone situé respectivement en quatre points d’abscisses x2, x3, x4 = 21 cm et x5.
Les situations des oscillogrammes s’observent périodiquement lorsqu’on éloigne M de O. Les oscillogrammes sont obtenus lors des premières observations, lorsque M est au plus proche de O.
2) Quelle est la longueur d’onde de l’onde sonore ? 3) Que vaut la vitesse de propagation c de l’onde sonore ? 4) Déterminer les abscisses x3 et x5.
Réponse : 800 Hz environ ; x4 = l/2 donne l = 42 cm ; c = l.f = 34.101 m.s-1 ; x5 = l = 42 cm ; x3 = 6,7 cm.
IX Comment accorder une guitare
Partie A - Recherche des solutions en ondes stationnaires
On considère une corde homogène initialement au repos et confondue avec l’axe Ox, inélastique, de masse linéique μ (masse par unité de longueur), tendue par une tension pratiquement uniforme et constante T (en N). La corde est tendue par une masse par l’intermédiaire d’une poulie. La corde est fixée au point O et un guidage impose y = 0 à chaque instant à l’abscisse x = L.
On étudie les petits mouvements transversaux de la corde dans le plan xOy, autour de la position d’équilibre.
L’élongation transversale à l’instant t du point M d’abscisse x est notée y(x,t).
1) Une étude de l’équation d’onde (non demandée) montre que l’on peut chercher les fonctions y(x,t) sous la forme suivante : y(x,t) = y0 sin(kx + j1) sin(wt + j2) avec k = w/c.
a) Quelle est le nom de la constante k ? Donner sa dimension puis son unité. Justifier.
b) Donner la relation entre k et l la période spatiale de l’onde. Justifier.
c) Que peut-on dire de l’élongation aux points x = 0 et x = L à chaque instant ?
d) En déduire que k ne peut prendre qu’une série de valeur discrètes kn, appelées valeurs propres. Définir n.
e) En déduire l’expression de L en fonction de ln et n.
f) Exprimer la fréquence propre fn en fonction de c et L.
2) À chaque valeur de fn correspond un mode propre. Le mode n = 1 (correspondant à la plus petite fréquence non nulle définie ci- dessus) est appelé mode fondamental. Les modes correspondant à n supérieur à 1 sont les harmoniques.
Exprimer l’élongation yn(x, t) du mode d’indice n avec les variables n, c, L et j2.
Donner une représentation graphique de la corde en mouvement (à un instant donné) pour le fondamental et les deux premiers harmoniques. Montrer la position des nœuds et des ventres.
3) Expliquer comment l’utilisation d’un stroboscope permet de mesurer les fréquences propres d’une corde. Indiquer aussi le cas échéant les problèmes que l’on peut rencontrer lors de ces mesures.
Partie B - Application à une corde de guitare
Les frettes placées le long du manche d’une guitare permettent au musicien de modifier la hauteur du son produit par la corde. En pressant la corde contre une frette, il diminue sa longueur, provoquant une augmentation de la fréquence fondamentale de la vibration de la corde.
1) À l’aide de la partie précédente, donner la fréquence de vibration fondamentale d’une corde de longueur L le long de laquelle les ondes se propagent à la célérité c.
2) La note monte d’un demi-ton lorsque la fréquence est multipliée par 21/12. Pour cela, comment faut-il modifier la longueur de la corde (on attend une réponse quantitative) ?
3) En plaçant le doigt sur les frettes successives, on monte chaque fois la note d’un demi-ton.
Combien de frettes peut-il y avoir au maximum, sachant que la distance d entre la dernière frette et le point d’accrochage de la corde doit être supérieure à L/4 ?
4) On cherche la formule de la célérité c de propagation de l’onde le long de la corde. Une étude qualitative montre qu’elle peut s’écrire sous la forme c = A.ma.Lb.Tg, avec A une constante sans dimension, m la masse de la corde, L sa longueur et T la tension de la corde.
a) Déterminer a, b, et g par analyse dimensionnelle.
On donne A = 1, conclure en donnant la formule finale de la célérité c en fonction de T et de la masse linéique μ de la corde.
b) Calculer la tension T de la corde mi3 dont la fréquence fondamentale est f1 = 330 Hz.
On donne la longueur de la corde L = 63 cm et sa masse linéique μ = 0,55 g.m−1.
Partie C - Étude spectrale d’un son
Dans l’enregistrement du son produit par une guitare au moyen d’un microphone et d’un amplificateur, c’est la tension produite par l’amplificateur qui est en fait enregistrée. Dans l’étude ci-dessous, la corde de mi1 (de fréquence 82,4 Hz) est frappée près du chevalet.
1) Le premier enregistrement concerne la courbe d’amplitude du signal en fonction du temps.
a) Comment peut-on décrire ce signal ? Est-ce un signal sinusoïdal ?
b) Évaluer la fréquence principale (correspondant à la composante de plus grande amplitude).
2) Le second enregistrement est une analyse spectrale du signal précédent.
a) Comme s’appelle l’opération mathématique qui permet d’obtenir le spectre du signal ? b) Décrire le spectre.
Évaluer la fréquence fondamentale, ainsi que la fréquence principale correspondant à la composante de plus forte amplitude.
Est-ce en accord avec la question 1) b) ?
c) Comment s’y prend le guitariste pour jouer d’autres notes sur cette même corde ?
3) On se propose d’illustrer un moyen commode pour accorder les cordes entre elles en prenant l’exemple de l’accordage de la corde ré2, à partir de la corde la1. Le guitariste s’arrange pour jouer la «même» note sur ces deux cordes (il place ses doigts et pince les cordes comme il faut, les explications ne sont pas nécessaires ici). Ensuite, il règle la tension de la corde ré2 de manière à ce que les deux cordes produisent la même note.
Les figures suivantes représentent la tension délivrée par un microphone (en V) en fonction du temps (un carreau correspond à 100 ms) ainsi que le spectre du signal lors d’un essai d’accordage des cordes la1 et ré2 par la méthode précédente.
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Temps en ms
a) Comment s’appelle le phénomène observé ? De quelle façon se manifeste-t-il dans le son entendu par l’oreille ?
b) Déduire du premier graphique une information quantitative sur les fréquences mises en jeu, à préciser. On détaillera la façon d’obtenir les valeurs numériques.
Montrer que les deux graphiques expérimentaux sont compatibles de manière quantitative.
c) Comment doit-on alors procéder pour accorder les cordes entre elles ? Réponse : y(0, t) = 0 donne j1 = 0 ; y(L, t) = 0 donne kL = np ; 𝜆B='6C
$ donne 𝐿 = 𝑛$'$ ; 𝜆B=D:
$ donne 𝑓B= 𝑛'9: ; 𝑦B(𝑥, 𝑡) = 𝑦3𝑠𝑖𝑛 1B69 𝑥3 𝑠𝑖𝑛 1B6:9 𝑡 + 𝜑'3 ; 𝑓+='9: ; L divisée par 21/12 ; 24 frettes maximum ; 𝑐 = '"#= 95 𝑁 ; Fréquences fondamentale à 80 Hz et principale à 400 Hz ; battements de fréquence 4 Hz.
X Écoute musicale et interférences
La qualité de l’écoute musicale que l’on obtient avec une chaine hi-fi dépend de la manière dont les enceintes sont disposées par rapport à l’auditeur. On dit qu’il faut absolument éviter la configuration représentée sur la figure : présence d’un mur à distance D, trop courte derrière l’auditeur.
Comme représenté sur la figure, l’onde issue de l’enceinte se réfléchit sur le mur. On note c = 3,4.102 m.s-1 la célérité du son dans l’air.
La réflexion sur le mur ne s’accompagne d’aucun déphasage pour la surpression acoustique, grandeur à laquelle l’oreille est sensible.
1) Une source sonore vibre à une pulsation w en imposant une surpression à son voisinage ps(t) = p0 cos(wt). On néglige l’atténuation de l’onde. En déduire la forme de l’onde après avoir parcourue une distance r, notée p(r,t). On veillera à ne faire apparaître que des paramètres définis dans l’énoncé.
2) On se place en un point M atteint par deux ondes issues de la source sonore (onde directe et onde réfléchie), mais ayant parcouru des distances r1 et r2 différentes. On donne : 𝑐𝑜𝑠𝑝 + 𝑐𝑜𝑠𝑞 = 2𝑐𝑜𝑠*2;' 𝑐𝑜𝑠E0;' .
a) Montrer que l’onde résultante peut se mettre sous la forme pr(t) = 2p0.h(r2 – r1).g(t) où h et g sont des fonctions à expliciter.
b) En déduire qu’il existe des endroits où l’amplitude sonore résultante est nulle et d’autres où elle est maximale. Exprimer les différentes conditions portant sur r2 – r1 en fonction de w et c.
On pourra éventuellement introduire la longueur d’onde l à condition de la relier aux paramètres de l’énoncé. Comment qualifie-t-on les interférences dans chaque cas ?
3) Dans le cas décrit au début de l’énoncé, que vaut r2 − r1 ?
4) Expliquer pourquoi il y a un risque d’atténuation de l’amplitude de l’onde pour certaines fréquences. Exprimer ces fréquences en fonction d’un entier n.
5) Quelle condition devrait vérifier D pour qu’aucune de ces fréquences ne soit dans le domaine audible ? Est-elle réalisable ? 6) Expliquer qualitativement pourquoi on évite l’effet nuisible en pratique en éloignant l’auditeur du mur.
Réponse : p(r, t) = p0 cos(wt – r/c) ; ℎ(𝑟'− 𝑟+) = 𝑐𝑜𝑠F(8%:28&) et 𝑔(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 1𝑡 −(8%':08&)3 ; interférences constructives si r2 – r1 = nl et destructives si r2 – r1 = nl + l/2 avec k = w/c = 2p/l ; r2 - r1 = 2D ; 𝑓B='%: 1𝑛 ++'3 ; 𝐷 <=D:
#'( soit D < 4,3 mm.
XI Contrôle actif du bruit dans une conduite
Afin d'éliminer le bruit dans une conduite généré par une pompe ou un ventilateur par exemple, on utilise le système représenté ci-contre : le bruit est capté par le micro numéro 1, qui envoie un signal vers le contrôleur électronique. Le contrôleur commande alors le haut-parleur de façon que les ondes interfèrent destructivement au point A, et en aval de A.
1) De quel intervalle de temps Dt dispose le contrôleur pour faire le calcul ? Le temps de propagation des signaux électriques dans les câbles est négligeable.
A.N. : L = 1,00 m ; l = 10 cm et c = 340 m.s-1 (vitesse de propagation de l’onde sonore dans la conduite).
2) On suppose que le bruit est un son pur (sinusoïdal) de fréquence f. On appelle j1 la phase à l’origine du signal détecté par le micro 1 et jHP celle du signal émis par le haut-parleur. Exprimer la valeur que doit avoir Dj = jHP – j1 en fonction de l, L, f et c.
3) On cherche maintenant à corriger un bruit périodique mais non sinusoïdal.
Quelle différence fondamentale existe-t-il entre un signal acoustique quelconque et un signal sinusoïdal au niveau de son spectre ? On dispose de circuits électroniques déphaseurs, introduisant un déphasage réglable j(w).
Expliquer en quoi ce dispositif répond au problème posé.
4) A quoi peut bien servir le micro 2 ? Réponse : ∆𝑡 ≤92I: ; ∆𝜑 = 𝜋 +'6D(I29): .
