3 Le salaire de la peur

(1)

Autour des moyens de transports ; modélisation d’une liaison polarisée

Corrigé

#Rappel : tout exercice de mécanique commence par la définition dusystèmeétudié et duréférentield’étude, du bilandes actions mécaniques extérieures, le tout accompagné d’unschémaoù figure la base ou les bases utilisées et les coordonnées associées.

1 Vol zéro-G

(d’après G2E BCPST 2014)

B(0,zB) x

z

~v0

~ u_x

~ uz

α Système : Avion assimilé à un point matérielMde massem.

Référentiel : terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces extérieures :

• le poidsP~= −mg~uz;

• les frottements sont négligés.

1.1 #on cherche l’équation de la trajectoire, on utilise donc le PFD.

D’après le principe fondamental de la dynamique

m~a=P~ ⇔

½ x¨=0

¨ z= −g

en intégrant pour obtenir la vitesse (CI ˙x(0)=v0cosαet ˙z(0)=v0sin(α))

½ x˙=v0cos(α)

˙

z= −g t+v0sin(α)

en intégrant pour obtenir les équations horaires (CIx(0)=0 etz(0)=zB)

½ x=v₀cos(α)t (1)

z= −¹₂g t+v0sin(α)t+zB (2)

1.2 #On exprime t en fonction de x et on subsitue t dans la seconde équation.

D’après (1)t=_v₀_cos(α)^x . D’après (2)

z= − g

2v₀²cos²(α)x²+tan(α)x+zB

On reconnaît ici l’équation d’une parabole.

1.3 On se souvient que le sommet de la parabole d’équationz=ax²+bx+cse trouve en−_2a^b (c’est l’abscisse annulant la dérivée). Donc

xs=v₀²sin(2α) 2g

(2)

1.4 # on cherche l’instant où l’avion retourne enzB, c’est-à-dire l’instant où

−1

2g tB SG+v0cos(α)=0⇔ tB SG=2v0cos(α) g =29 s

2 Mécanique du vol d’un avion

(d’après Centrale TSI 2015) 2.1 Vol en montée

horizontal

trajectoirede l’avion axe

long itudinal

G ~ux

~ uz

~uxp

~ uzp

~ u_{x A}

~ u_{z A}

p i

A

#figure non demandée Système : Avion assimilé à un point matériel M de masse

m=2, 3 · 10³kg.

Référentiel : de l’air supposé galiléen.

• son poids~P= −mg~uz;

• la force de tractionF_m~u_{x A}de l’hélice ;

• la résultante des forces aérodynamiques, contenue dans le plan de symétrie de l’avion, décom- posée en portance~F_pet traînée~F_t:

- la portance, perpendiculaire au plan contenant les ailes de l’avion, de norme :

~Fp=1

2ρSv²Cp~uz A;

- la traînée, de même direction que la trajectoire mais s’opposant au mouvement de l’avion, de norme :~Ft= −¹₂ρSv²Ct~uxp;

2.1 On suppose ici quei=0 etA=p.

horizontal

trajectoire de l’avion

G A

~P

~Fp

~Fm

~Ft

~ ux

~ uz

~

uxp=~ux A

~

uzp=~uz A

A=p

#la base(~ux A,~uz A), certes inclinée, reste unebase cartésienne, car fixe dans le référentiel de l’air.

2.2 L’avion est en mouvement rectiligne et uniforme. D’après le principe d’inertie

~P+~Fm+~Fp+~Ft=~0 En projetant sur~ux Aet sur~uz A

½ Fm=mgsin(A)+¹₂ρSv²Ct (T)

1

2ρSv²Cp=mgcos(A) (P) 2.3 D’après (P), la vitesse permettant le maintient de l’avion

v=

s2mgcos(A) ρSCp

(3)

2.4 D’après (T), la force de l’hélice est

Fm=mgsin(A)+1

2ρS×2mgcos(A) ρSCp ×Ct

soit

Fm=mg µ

sin(A)+Ct

Cp

cos(A)

¶

Par définition de la puissance

Pm=Fm.v=mg µ

sin(A)+Ct

Cp

cos(A)

¶s

2mgcos(A) ρSCp

On pose

Pm0=Pm(A=0)=mgCt

Cp

s2mg

ρSCp =2, 0 · 10⁴kW

#Du même ordre de grandeur quePmax

Donc

Pm=Pm0

µC_p Ct

sin(A)+cos(A)

¶

pcos(A) 2.5 Faisons un développement à l’ordre 1 dePmpourAfaible

Pm≈Pm0

µCp

Ct

A+1

¶

⇔ A=C_t Cp

µPmax

Pm0 −1

¶

=2, 9^◦

#L’assiette est faible (confirmant l’approximation), mais il faut parcourir une très grande distance pour gagner en altitude.

#On évitera la confusion grossière entre degrés et radians.

2.6 Par définition de la vitesse ascensionnelle

v_z=vsin(A)=

s2mgcos(A) ρSCp

sin(A) =1, 3 m.s⁻¹

#vitesse ascensionnelle faible.

2.7 Par définition du facteur de charge

η=Fp

P =cos(A)<ηmax

#L’avion n’est pas endommagé.

v(A=0)=

s2mg

ρSCp =2, 7 · 10¹m.s⁻¹

#faible par rapport aux avions de ligne, mais comparable aux vitesses de planeurs et des ULM.

(4)

2.2 Vol en virage

Système : Avion assimilé à un point matérielMde massem=2, 3 · 10³kg.

Référentiel : de l’air supposé galiléen.

• son poids~P= −mg~uz;

• la force de tractionFm~u_θde l’hélice ;

• la résultante des forces aérodynamiques, contenue dans le plan de symétrie de l’avion, décomposée en portance~Fpet traînée~Ft:

- la portance, perpendiculaire au plan contenant les ailes de l’avion, de norme :~Fp=¹₂ρSv²Cp~uz1; - la traînée, de même direction que la trajectoire mais s’opposant au mouvement de l’avion, de

norme :~Ft= −¹₂ρSv²Ct~u_θ;

2.8 #On privilégieradeux vues planes(de dessus et de dos) facilitant les projections et on évitera une vue 3D source d’erreurs.

O+ R G

~ ur

~Fm

~Ft

~ u_θ

x y

θ

#vue de dessus

z

R

O ~u_θ⊗

G

φ

~ u_r

~ uz

~Fp

P~

~ u1

~ u2

#vue de dos

2.9 Déterminons l’expression desvecteurs cinématiquesau cours de cemouvement circulaire et uniforme

position −−→

OM=R~ur

vitesse ~v=v~u_θ accélération ~a= −v²

R ~ur

D’après le principe fondamental de la dynamique

m~a=P~+~Fm+~Fp+~Ft

En projetant sur les axes~ur,~u_θet~uz, on obtient







−m^v_R² = −¹₂ρSv²Cpsin(φ) (R) 0 = F_m−¹₂ρSv²C_t (T) 0 = −mg+¹₂ρSv²Cpcos(φ) (P) 2.10 D’après (R)

R= 2

ρSv²Cpsin(φ)×mv² D’après (P)

(5)

1

2ρSv²Cp= mg cos(φ) D’où

R= v² gtan(φ) 2.11 Par définition du facteur de charge

η= Fp

mg = 1 cos(φ)

2.12 La conception structurale de l’avion impose une borne supérieure au facteur de chargeηmax. Donc η≤ηmax⇔cos(φ)> 1

ηmax =φmin

Donc

R> v²

gtan(φmin)= v²cos²(φmin) gp

1−cos²(φmin)= v² g

qη²max−1 C’est-à-dire

R>Rmin= v² g

qη²max−1

=4, 5 · 10²m

#raisonnable pour un avion.

(6)

3 Le salaire de la peur

(adapté d’ENSTIM 2006)

#on vérifiera que zeest bien inférieur à L0, puisque le véhicule appuie sur le ressort.

On applique le principe fondamental de la dynamique d~p

d t =P~+~Fr+~Ff

en projetant sur l’axe~uzet en considérant la masse du véhicule constante

(7)

mz¨= −mg−k(L−L0)−α( ˙z−z˙1) ⇔ mz¨= −mg−k((z−z1

| {z }

L

)−L0)−α( ˙z−z˙1)

# longueur du ressort est la différence des altitudes de ses deux extrémités

⇔ md²(Z+z_e) d t²

| {z }

¨ z

= −mg−k(Z+z_e

| {z }

z

−z₁−L₀)−α







d(Z+z_e) d t

| {z }

˙ z

−z˙₁







⇔ mZ¨=(−mg+kL0)+kze

| {z }

=0

−k Z−kz1−αZ˙+αz˙1

⇔ mZ¨+αZ˙+k Z=αz˙1+kz1

| {z }

F(t)

# F(t) est homogène à une force. C’est unepseudo-force d’inertie. Dans le référentiel non galiléen de la roue, elle modélise une force d’excitation s’ajoutant au bilan des forces extérieures.

Dans la suite,z₁(t) étant sinusoïdale, on considéra cette excitation elle-même sinusoïdale (linéarité de son expression). On se placera en régime sinusoïdal forcé.

(8)

# Sikest très élevé, la pulsation propre∧0est très supérieur àω(x¿1), on est dans labande passantedu filtre mécanique, où legain réel vaut 1. Il n’y a pas d’atténuation.

# Le gain en dB à la résonance vaut 8 dB, soit une amplification d’un facteur 2,5.

# Si la vitesse est très élevé, la pulsationωest grande devant la pulsation propreω0(xÀ1), on est dans labande atténuéedu filtre mécanique, où legain en dBdécroît de 40 dB par décade. Il a atténuation des oscillations.

(9)

4 Freinage d’urgence

(d’après CCINP PSI 2019)

Système : Voiture assimilé à un point matérielMde massem#1e3 kg.

Référentiel : terrestre supposé galiléen.

• le poidsP~= −mg~u_z ne travaillant pas ;

• la réaction normale du support→−R_N=R_N~u_zne travaillant pas ;

• la réaction tangentielle−→

RT= −RT~ux= −f RN~ux.

4.1 On observe des traces de gomme sur toute la longueur du freinage. On peut considérer qu’il y a glissement tout au long du freinage. On utilise alors le modèle de frottement de Coulomb

−

→RT= −f RN~ux

Recherchons l’expression deR_Npuis deR_T. Il n’y a pas de mouvement sur l’axe~u_z, le principe fondamental

(10)

avec

W(RT)= −RT.dfreinage et ∆Ec= −1 2mv_i² oùdfreinage est la distance de freinage à estimer etvila vitesse initiale recherchée.

Pour estimer la distance de freinage, on compte le nombre de trait sur le coté gauche (ou droit) : dfreinage=7dtrait+6dintervalle=42 m

On évalue donc

vi=q

2f g dfreinage =26 m.s⁻²=92 km.h⁻¹

Le conducteur est donc enexcès de vitesse, les départementales étant limitées à 80 km.h⁻¹.

Les éléments légaux de marquage au sol sont représentés sur la figure 7.

On rappelle qu’en cas de glissement, la réaction du sol sur les pneumatiques est décrite par la loi de Coulomb, à savoir :−→

R=−→ RN+→−

RT, avec→−

RT =f−→ RN.→−

RTet−→

RNsont respectivement les composantes tangentielle et normale de la force→−

R exercée par le support,f est le coefficient de frottement solide entre les pneumatiques et le revêtement de la chaussée. Par temps sec, on a :f =0, 8.

(11)

5 Modélisation d’une liaison polarisée

Système : AtomeM2assimilé à un point matériel de chargeδe.

Référentiel : lié àM1supposé galiléen.

• force électrostatique dérivant de l’énergie potentielleEp(r)=_r^A9−₄^δ_πε²^e₀²_r ;

• poids négligé ;

• forces dissipatives négligées.

5.1 À courte distance, l’énergie potentielle s’écrit Ep(r) ∼

r→0

A

r⁹ et F(r) ∼

r→0−d d t

µA r⁹

¶

=9 A r¹⁰>0

Elle correspond à uneforce répulsive à courte distance,traduisant l’impossibilitédes deux atomes à s’interpénétrer.

À longue distance, l’énergie potentielle s’écrit Ep(r)_r ∼

→+∞− δ²e²

4πε0r et F(r)_r ∼

→+∞−d d t

µ

− δ²e² 4πε0r

¶

= − δ²e² 4πε0r²<0

On reconnaît ici l’interaction coulombienne attractiveentre deux points matériels de charges opposées

±δe.

5.2 Traçons les deux termes précédents, où le terme en 1/r⁹(en tirets) décroît beaucoup plus vite que le terme en 1/r (en pointillés).

r Ep

req

Ep,min

On remarque l’existence d’unpuits de potentiel, c’est-à-dire d’une position d’équilibre stable, expliquant la stabilité de la liaison ionique.

5.3 Par définition de la position d’équilibre dEp

d r (r_eq)=0 ⇔ −9A

r_eq¹⁰+ δe 4πε0r_eq² =0

⇔ r_eq⁸

9A =4πε0

δ²e² avec req6=0 donc req=

µ36Aπε0

δ²e²

¶1/8

en ne conservant que la racine positive

(12)

5.4 Par définition l’énergie de dissociationDde la molécule est l’énergie qu’il faut apporter pour briser la liaison, c’est-à-dire l’énergie qu’il faut apporté àM2pour le passer dans un état libre. Il s’agit donc de l’opposé de l’énergie au fond du puits de potentiel

D= −Ep,min = −Ep(req)

= A

r_eq⁹ − δ²e² 4πε0req

= 1 req

µ δ²e²

36πε0−δ²e² 4πε0

¶

= δ²e² 36πε0×

µ2δ²e² 9Aπε0

¶^1/8

5.5 Au voisinage de la position d’équilibre, le puits de potentiel peut être assimilé à un puits harmonique d’éner- gie potentielle

E˜p(r)=Ep(r_eq)+1

2k(r−req)² avec k=d²Ep

d r² (r_eq)= 2δ²e²

πε0r_eq³ >0 la raideur du ressort équivalent La fréquence propre de l’oscillateur harmonique équivalent est

f₀=ω0

2π= 1 2π

s k m= 1

2π

s 2δ²e² πε0r_eq³ m Calculons l’ordre de grandeur de cette fréquence

f0#1 10

s

1²×(10⁻¹⁹)²

10⁻¹¹×(10⁻¹⁰)³×10⁻³⁰#10¹⁵−10¹⁶Hz Excitable par un photon de longueur d’onde

λ= c f0

#=10⁻⁷−10⁻⁸nm soit unphoton ultra-violet.