3 Structure hilbertienne de L

Leçon 234 : Espaces L

, 1 6 ^p 6 +∞ . 1 Construction de L

Soit (X,A,µ) un espace mesuré.

Définition 1. Soitp∈[1,∞[, on définit l’espaceL^p(X,A,µ) comme l’en- semble des fonctions mesurablesf telles queR

X|f|^pdµest fini. On note L^p(X,A,µ) le quotient deL^p(X,A,µ) par la relation d’équivalence « éga- litéµ–p.p. ».

On définit pourf ∈L^p(X,A,µ) la quantitékfkp=¡R

X|f|^pdµ¢_p¹ .

Définition 2. Pour f mesurable positive, on définit la quantité ess sup(f)=inf{M>0|µ({f >M})=0}. On posekfk∞=ess sup(|f|) et on noteL^∞(X,A,µ) l’ensemble des fonctions mesurables telles quekfk∞

est fini. On note L^∞(X,A,µ) le quotient deL^∞(X,A,µ) par la relation d’équivalence « égalitéµ–p.p. ».

Remarque3. Siµest la mesure de comptage sur¡

N,P(N)¢

, alors on note

`^p(N).

Définition 4. Soient p,q ∈[1,∞], on dit quep et q sont des exposants conjugués si_p¹+¹_q =1 avec la convention _∞¹ =0.

Proposition 5(Hölder). Soient p,q ∈[1,∞]des exposants conjugués et soient f ∈L^p et g ∈L^q. Alors le produit f g est dansL¹ et on akf gk16 kfkpkgkq.

Proposition 6(Minkowski). Soit p∈[1,∞]et soient f,g ∈L^p. Alors on a l’inégalitékf +gkp6kfkp+ kgkp.

Corollaire 7. Pour tout p∈[1,∞], l’espaceL^p(X,A,µ)est un e.v.n. pour la normek·kp.

Proposition 8.

1. Si la mesureµest finie, alors pour tous16^p6^q6∞, on a l’inclu- sionL^q(µ)⊆L^p(µ).

2. Siµest la mesure de comptage surN, alors pour tous16^p6^q6∞, on a l’inclusion`<sup>p</sup>(N)⊆`^q(N).

Exemple 9. Sur (R,B(R),λ), la fonctionf définie parf(x)=^p1_x1_]0,1](x) est dans L¹mais pas dans L², et la fonctiongdéfinie parg(x)=¹_x1[1,+∞[(x) est dans L²mais pas dans L¹.

Théorème 10. Pour tout p∈[1,+∞], l’espaceL^p(X,A,µ)est complet pour la normek·kp. De plus, si(f_n)converge dansL^palors on peut extraire une sous-suite qui convergeµ–p.p.

Exemple 11. On considère la suite de fonctionsf_n,k=1_[^k

2n;^k+1₂n[pourn∈N etk∈{0, . . . , 2ⁿ−1}. Alorsf_n,kconverge vers 0 dans L^plorsquen→ ∞mais ne converge pas p.p.

Théorème 12. Soit p∈[1,∞[, on se place sur(R,B(R),λ).

1. L’ensemble des fonctions en escalier à support compact est dense dans L^p(R).

2. L’ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans L^p(R).

Corollaire 13. L’espace L^p(R) est séparable pour p ∈ [1,∞[. Par contre L^∞(R)n’est pas séparable.

2 Densité et convolution

Définition 14. On appelle produit de convolution de f etg la fonction f∗g(x)=R

Rf(y)g(x−y) dy, lorsque celle-ci est bien définie.

1

Lemme 15. Soit p∈[1,∞[, alors pour tout f ∈L^p(R), l’application a∈R7→

τaf ∈L^p(R)est uniformément continue.

Proposition 16.

1. Soient p,q∈[1,∞]des exposants conjugués et soient f ∈L^pet g∈L^q. Alors f∗g est bien définie surR, elle est uniformément continue, bor- née etkf∗gk∞6kfkpkgkq. De plus, si p∈]1,∞[, alors f∗g(x)tend vers0lorsque|x|tend vers+∞.

2. Soit p ∈[1,∞] et soient f ∈L¹ et g ∈L^p, alors f ∗g existe p.p. et f∗g∈L^p. Plus précisément,kf∗gkp6kfk1kgkp.

Proposition 17.

1. Soient f ∈L¹(R)et g bornée, dérivable et de dérivée continue bornée, alors f ∗g est dérivable et(f∗g)⁰=f∗(g⁰).

2. Soient f ∈L^∞(R)et g dérivable et intégrable de dérivée continue et intégrable, alors f ∗g est dérivable et(f∗g)⁰=f∗(g⁰).

Définition 18. On dit que (ϕn) est une suite d’approximation de l’unité si :

1. ϕn>0 p.p. pour toutn∈N; 2. R

ϕn=1 pour toutn∈N; 3. pour toutδ>0,R

|x|>δϕntend vers 0 lorsquen→ ∞.

Exemple 19. Si ϕest L¹ positive d’intégrale 1 alorsϕn(x)=nϕ(nx) est une approximation de l’unité. Par exemple pourϕ(x)=^p1_2πe^−x

2

2 ou pour ϕ(x)=Cexp(−_1−x¹2)1[−1;1](x) avecCconstante de normalisation.

Théorème 20. Soit(ϕn)une suite d’approximation de l’unité.

1. Si f est continue bornée, alors f∗ϕnconverge uniformément sur tout compact vers f .

2. Soit p∈[1,∞[, si f ∈L^palors f∗ϕnconverge vers f dansL^p.

Corollaire 21. L’ensemble des fonctions C^∞_c est dense dans L^p(R), pour p∈[1,∞[.

3 Structure hilbertienne de L

Proposition 22. SurL²(X,A,µ), on définit la forme sesquilinéaire suivante

〈f |g〉 =R

X f gdµ. Alors la norme associée à cette forme est la normek·k2et L²est un espace de Hilbert.

Théorème 23(projection orthogonale). Soit F un s.e.v. fermé deL². Alors pour tout f ∈L², il existe un uniqueπF(f)∈F qui réalise la distance de f à F . L’élémentπF(f)est l’unique élément de F qui vérifie f−πF(f)⊥F . De plus, l’applicationπF: L²→F est linéaire, continue et surjective. Enfin, on a la décompositionL²=F⊕F^⊥.

Application 24(espérance conditionnelle L²). Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité et soitF une sous-tribu deA. Alors pour toutX∈L²(Ω,A), on appelle espérance conditionnelle deXsachantF la projection ortho- gonale deXsur L²(Ω,F). Cette projection est notéeE[X|F].

Théorème 25(représentation de Riesz). SoitΦ: L²→Cune forme linéaire continue. Alors il existe une unique fonction g∈L²telle que :

∀f ∈L²,Φ(f)= Z

X

f gdµ

Définition 26. SoitI un intervalle deRet soitρ:I→R₊ mesurable. On dit queρest une fonction poids si pour toutn∈N,R

I|x|ⁿρ(x) dxest fini.

On note L²(I,ρ) l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densitéρpar rapport la mesure de Lebesgue.

Muni du produit scalaire〈f |g〉ρ=R

I f(x)g(x)ρ(x) dx, c’est un espace de Hilbert.

Théorème 27. Soit I un intervalle deRetρune fonction poids. On sup- pose qu’il existeα>0tel queR

Ie^α|x|ρ(x) dx est fini. Alors l’ensemble des polynômes est dense dansL²(I,ρ).

2

Corollaire 28. Il existe une unique famille(Pn)_n∈Nde polynômes unitaires orthogonaux deux à deux tels quedegPn =n, obtenue par le procédé de Gram–Schmidt appliqué à la base canonique deC[X]. Sous les hypothèses du théorème précédent, cette famille est une base hilbertienne deL²(I,ρ).

Exemple 29. PourI =Retρ(x)=e^−x2, les polynômes orthogonaux as- sociés sont appelés les polynômes de Hermite, notés (Hn)_n∈N. C’est une base hilbertienne de L²(I,ρ). La famille (Hne^−x

2

2 ) est alors une base hil- bertienne de L²(R) (une fois normalisée).

4 L’espace L

On note e_n(x) = e^inx et on munit L²_2π du produit scalaire 〈f | g〉 =

1 2π

R_2π

0 f(t)g(t) dt.

Définition 30. Pour f ∈L¹_2π, on note cn(f)= ₂¹_πR_2π

0 f(t)e^−intdt sonn–

ième coefficient de Fourier.

Définition 31. On appelle noyau de Dirichlet la fonctionDN=PN n=−Nen. On appelle noyau de Fejér la fonctionKN=_N¹P_N−1

n=0Dn. Sif ∈L¹_2π, on noteσNf =K_N∗f.

Lemme 32. Soit p ∈[1,∞[, alors pour tout f ∈L^p_2π, l’application a∈R7→

τaf ∈L^p_2πest uniformément continue.

Proposition 33. La suite(KN)est une approximation de l’unité dansL_2π^p .

Théorème 34(Fejér).

1. Si f est continue, alorsσNf converge uniformément vers f . 2. Si f ∈L^p_2πavec p∈[1,∞[, alorsσNf converge vers f dansL^p_2π. Corollaire 35. La famille(en)n∈Zest une base hilbertienne deL²_2π.

Corollaire 36(Parseval). Si f ∈L²_2π, alorskfk²₂=P

n∈Z|cn(f)|².

Corollaire 37. L’application qui à f ∈L¹_2πassocie ses coefficients de Fourier est injective.

Développements

1. L^pest complet.[10]

2. Théorème de Fejér.[34]

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Références

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— BREZIS,Analyse fonctionnelle.

— BRIANEet PAGÈS,Analyse – Théorie de l’intégration.

— HIRSCHet LACOMBE,Éléments d’analyse fonctionnelle.

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