Electrostatique et magn´etostatique R´esum´e
Formules essentielles
1 R´ epartition volumique des sources
Densit´e volumique de charge : ρ = Σniqi o`uni est la densit´e volumique des porteurs de type ietqi leur charge.
Densit´e volumique de courant : Par d´efinition c’est la charge par unit´e de surface par unit´e de temps ou encore l’intensit´e par unit´e de surface : j=δq/δSdt=δi/dt ;
Elle est reli´ee `a la vitesse des chargesipar : ~j= Σniqi~vi . Intensit´e traversant une surface : δi=~j.δ ~S
Equation de conservation de la charge :´ div~j+∂ρ∂t = 0
• la densit´e de courant est une grandeur locale; une intensit´e est une grandeur qui traverse une surface. Par exemple une densit´e de courant dans un fil, de 30 mA par mm2 ne n´ecessite pas de pr´eciser la valeur de la section du fil. Mais si on souhaite connaˆıtre l’intensit´e qui parcourt le fil, il nous faut absolument connaˆıtre la valeur de la section du fil. C’est pourquoi je conseille de dire intensit´e `a travers telle surface (ici la section du fil), plutˆot que intensit´e dans le fil.
Si la densit´e de courant d´epend des coordonn´ees d’espace, le calcul de l’intensit´e `a travers une sur- face finie peut n´ecessiter un calcul par int´egrale. Il faut donc penser avant tout calcul d’intensit´e
`
a v´erifier que j varie ou non sur la surface qu’il traverse.
• Le terme div~j d´ecrit le transport de charge par unit´e de temps `a travers une surface d´elimitant l’unit´e de volume (compt´e positivement lorsque la charge en sort), et le terme∂ρ∂t d´ecrit la variation de la charge par unit´e de temps de cette unit´e de volume. Si le premier terme est positif, le deuxi`eme est bien n´ecessairement n´egatif pour que la conservation de la charge soit v´erifi´ee.
2 Electrostatique et gravitation ´
Equation de Maxwell-Gauss :´
divE= ρ 0 Th´eor`eme de Gauss en ´electrostatique et en gravitation :
Z
Z
(S)
E.d ~~ S = Qint 0
Z
Z
(S)
G.d ~~ S=−4πGMint
Le th´eor`eme de Gauss est la forme int´egr´ee de l’´equationlocale de Maxwell-Gauss.
Mani`ere d’utiliser l’une ou l’autre des deux formulations, locale ou int´egr´ee, pour l’application `a un calcul de champ, sur l’exemple de la sph`ere de rayon R charg´ee uniform´ement :
• avec l’ ´equation locale on ´ecrira div E~ = ρ
0 pour tout point `a l’int´erieur de la sph`ere et div E~ = 0 pour tout point ext´erieur `a la sph`ere.
Physique PC*
Electrostatique et magn´etostatique R´esum´e
• avec le th´eor`eme de Gauss qui fait intervenir la chargecontenue dans un volumed´elimit´e par la surface de Gauss (surface fictive) , cette charge se calcule en veillant aux diff´erentes valeurs possibles de ρ dans ce volume.
Bien saisir que l’´equation de Maxwell s’applique en un point alors que le th´eor`eme de Gauss s’applique sur une surface ferm´ee
Potentiel ´electrostatique et gravitationnel : dV =−E.d~~ r ou dV =−G.d~~ r
Distribution `a sym´etrie de r´evolution sph´erique: Les champs et potentiels en dehors de la distri- bution sont les mˆemes que si toute la distribution ´etait rassembl´ee au centre.
Energie potentielle d’une charge q dans un potentiel V : Ep=qV
Dipˆole ´electrostatique : le potentiel cr´e´e en un point M par un dipˆole de moment dipolaire~p est :
V(M) = ~p.~u
4π0r2 = pcosθ 4π0r2
L’´energie potentielle d’un dipˆole~p plac´e dans un champ ´electrique est (formule non exigible):
Ep =−~p. ~E
La r´esultante des forces subies par un dipˆole (charge + en P et charge - en N) plac´e dans un champ
´
electrique est (formule non exigible):
F~ =q(E(P~ )−E(N~ )) =−gradE~ p
Le moment du couple subi par un dipˆole~pplac´e dans un champ ´electrique est (formule non exigible):
~Γ =~p∧E~
3 Magn´ etostatique
Equations de Maxwell :´
divB= 0 et rot B=µ0j Remarque : l’´equation avec rot n’est plus valable en r´egime variable
Th´eor`eme d’Amp`ere : le contour doit ˆetre orient´edans un sens arbitraire ; une fois ce sens choisi on compte + les courants I qui traversent ce contour en respectant la r`egle du tire-bouchon , - dans le
cas contraire : I
B.d~l~ =±µ0I
Bien saisir que les ´equations de Maxwell s’appliquent en un point alors que le th´eor`eme d’Amp`ere s’applique sur un contour (ferm´e)
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Electrostatique et magn´etostatique R´esum´e
Le champ magn´etique est un champ `a flux conservatif : Z
Z
(S)
B.d ~~ S= 0
Dipˆole magn´etique : on reprend les formules du dipˆole ´electrique en rempla¸cant moment dipolaire
´
electrique ~ppar moment dipolaire magn´etique M~ ,E parB et 1/0 parµ0
Champs `a connaˆıtre ou `a savoir retrouver
Champ ´electrique cr´e´e par un fil infini charg´e lin´eiquementλ(pouvoir retrouver):
E~ = λ 2π ε0r~ur
Champ ´electrique cr´e´e par un plan infini charg´e surfaciquementσ (savoir par coeur et savoir retrouver) :
E~ = σ
2ε0~nsortant
Champ ´electrique cr´e´e par une sph`ere uniform´ement charg´ee en volume (pouvoir retrouver) :
E~int= ρ 30
r ~ur = Q 4π0R3r ~ur
E~ext= Q 4π0r2~ur
Champ magn´etique cr´e´e par un fil infini parcouru par un courant i(savoir retrouver):
B~ = µ0i 2π r~uθ
Champ magn´etique cr´e´e par un sol´eno¨ıde infini parcouru par un courant i et comportant n spires par unit´e de longueur (savoir par coeur et savoir retrouverBint):
B~ext=~0 B~int=µ0ni ~uz
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