A20059. Une hors du cercle unit´e Montrer que l’´equation

A20059. Une hors du cercle unit´ e

Montrer que l’´equationx⁴−x³−1 = 0 a une seule racine de module sup´erieur

` a 1.

Solution

Soitf(x) =x⁴−x³−1. Pourx >0,f(x)/x⁴ = 1−1/x−1/x⁴ est croissante et s’annule une seule fois, enx1 >4/3 car f(4/3) =−17/81.

Pourx <0,f(x) est d´ecroissante et s’annule une seule fois, enx2 de l’inter- valle (−1,−4/5) carf(−1) = 1 etf(−4/5) =−49/625.

Les deux autres racines, complexes, ont pour carr´e du module

−1/x₁x2<15/16<1, elles sont int´erieures au cercle unit´e commex2.

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