A454 Des carrés à la douzaine [*** à la main]
Solution
La solution nous est donnée par Diophante en personne, l’un des pères fondateurs de l’arithmétique qui a vécu à Alexandrie au 4ème siècle ap.JC.
On considère 13 entiers naturels qui sont tous des carrés parfaits distincts entre eux :
2 13 2 i 2 2 2
1,a ,...,a ,...,a
a et soit S =
13 i
1 i
2
ai . Alors les 13 nombres rationnels a2i 12
S pour i variant de 1 à 13 sont tels que la somme de douze quelconques d’entre eux donne un carré parfait. Par exemple si on additionne les douze premiers termes, on obtient 132
12 i
1 i
2 i 12
i
1 i
2
i) S a a
12 a
(S
. Pour résoudre le problème, il faut d’une part un entier S suffisamment grand pour que chacun des termes a2i
12
S soit positif et d’autre part S divisible par 12 afin d’obtenir la séquence n des entiers recherchés. i
Supposons que l’on essaye 13 carrés consécutifs a de la forme 2i
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2,(k 5) ,(k 4) ,(k 3) ,(k 2) ,(k 1) ,k ,(k 1) ,(k 2) ,(k 3) ,(k 4) ,(k 5) ,(k 6) 6)
(k
.
On obtient S = 13k22*(149162536)13k2182. Il faut d’abord choisir k tel que (k 6) 0
12
S 2 soit 145 k 0 252 144k k
6) 12(k 182
13k2 2 2 . La valeur k = 146 convient donc.
Il faut ensuite obtenir S divisible par 12. On vérifie aisément que pour k=146, la fraction 12
182 13k2
n’est pas entière mais si l’on remplace la séquence précédente des 13 carrés consécutifs par les treize carrés 4a , on obtient 2i
S = 3
182 13k2
qui prend la valeur entière 92430 pour k = 146.
Les treize entiers recherchés n obéissent alors aux 13 égalités suivantes : i
14030 140
* 4 92430 n
12906 141
* 4 92430 n
11774 142
* 4 92430 n
10634 143
* 4 92430 n
9486 144
* 4 92430 n
8330 145
* 4 92430 n
7166 146
* 4 92430 n
5994 147
* 4 92430 n
4814 148
* 4 92430 n
3626 149
* 4 92430 n
2430 150
* 4 92430 n
1226 151
* 4 92430 n
14 152
* 4 92430 n
2 13
2 12
2 11
2 10
2 9
2 8
2 7
2 6
2 5
2 4
2 3
2 2
2 1
On peut vérifier que les treize sommes de 12 termes sont toutes des carrés parfaits. Par exemple la somme des douze premiers termes donne 78400 = 2802
Cette méthode s’applique quelque soit le nombre N d’entiers >0 et différents entre eux de telle sorte que toute somme de N-1 termes donne un carré parfait.
Avec N= 2006, on considère 2006 carrés a de la forme i2
2 2
2
2,...,(k 1) ,(k 1) ,...,(k 1003) 1003)
(k . Leur somme S est égale à
673691028 2006k
) 1003 ..
9 4 (1
* 2
2006k2 2 2 .
Il convient de choisir k tel que S/2005 > (k1003)2et transformer a en 2i (pai)2 de telle manière que S/2005 soit un entier. La première inégalité est satisfaite si
0 1343357017 4022030k
k2 soit k 4022364 tandis que S/2005 est à coup sûr un entier pour p=2005.
