Méthode de Laplace.

Méthode de Laplace.

Référence :Zuily-Queffelec, Analyse pour l’agrégation, p339 SoitF(t) =

Z b

a

e^tϕ(x)f(x)dx. Notons I=]a;b[.

Théorème. On suppose : – R

Ie^tϕ(x)|f(x)|dx <+∞;

– ϕ s’annule en un unique pointx0 qui est un maximum global (doncϕ⁰⁰(x0)<0) ; – f(x0)6= 0.

Alors F(t) ∼

+∞

s 2π

−ϕ⁰⁰(x₀)e^tϕ(x0)f(x0)t^−1/2. Démonstration.

•Calculs préliminaires :

Par Taylor à reste intégral, ϕ(x) =ϕ(x0) + (x−x0)²ψ(x) avec ψ ∈ C(I)∩ C²(I\ {x0}) et ψ(x0) = 1

2ϕ⁰⁰(x0).

Commeϕ⁰⁰(x0)<0,∃η tel que ψ <0 surIη=]x0−η;x0+η[⊆I.

Soitu(x) = (x−x₀)p

−ψ(x).u∈ C(I_η)∩ C²(I_η\ {x₀}). On peut prolongerude façonC¹sur Iη avecu⁰(x0) =

r

−1

2ϕ⁰⁰(x0). En effet, pourx6=x0, on aψ(x) =ϕ(x)−ϕ(x0) (x−x₀)² . D’où (x−x0)ψ⁰(x) =ϕ⁰(x)−ϕ⁰(x0)

x−x0

−2ψ(x) −→

x→x0

0.

Ainsi

u⁰(x) =p

−ψ(x)−(x−x0) ψ⁰(x) 2p

−ψ(x) −→

x→x₀

r

−ϕ⁰⁰(x0) 2 . Il existe doncδ < ηtel que u⁰(x)>0 surI_δ=]x₀−δ;x₀+δ[.

Soit enfin la fonction plateauθtelle que θ∈ C_c^∞(I_δ) etθ= 1 sur ]x₀−^δ₂;x₀+^δ₂[.

On écrit alorsF(t) = Z b

a

e^tϕ(x)f(x)θ(x)dx+ Z b

a

e^tϕ(x)f(x)(1−θ(x))dx=F1(t) +F2(t).

•Étude de F1 :

Grâce au support de θ, on peut écrire F1(t) = Z

R

e^{tϕ(x0)+t(x−x0)2ψ(x)}f(x)(1−θ(x))dx. On effectue de changement de variableu =u(x) qui est licite sur supp(θ) d’après les calculs pré- liminaires. Comme c’est un C¹-difféomorphisme, on peut écrire x = g(u) avec g(0) = x₀ et g⁰(0) = −¹₂ϕ⁰⁰(x₀)−1/2

. D’où :

F₁(t) =e^tϕ(x0) Z

R

e^−tu2h(u)du oùh(u) =θ(g(u))f(g(u))g⁰(u) est continue à support compact.

On effectue un second changement de variable y=√

tu. On obtient F₁(t) =e^tϕ(x0)t^−1/2

Z

R

e^−y2h y

√t

dy.

Or e^−y2h y

√t

t→+∞−→ e^−y2h(0) carhest continue.

Et

e^−y2h_y

√ t

≤e^−y2sup

R

|h| ∈L¹carhest continue à support compact.

Par le théorème de Lebesgue, on a donc

√

te^−tϕ(x0)F1(t) −→

t→+∞

Z

R

e^−y2dyh(0) =√ πh(0).

Or h(0) =θ(x0)f(x0)

−1 2ϕ⁰⁰(x0)

−1/2

et θ(x0) = 1. Donc

F₁(t) ∼

+∞

s 2π

−ϕ⁰⁰(x0)e^tϕ(x0)f(x₀)t^−1/2.

•Étude de F2 :

Sur le support de 1−θ, on a |x−x0| ≥ ^δ₂. Comme (ϕ⁰(x) = 0 ⇔ x = x0) et x0 est un maximum, on aϕ⁰(x)>0 pourx < x0 etϕ⁰(x)<0 pourx > x0. Ainsi :

ϕ(x0)−ϕ(x) = ϕ(x0)−ϕ(x0−^δ₂) +ϕ(x0−^δ₂)−ϕ(x)

≥ ϕ(x0)−ϕ(x0−^δ₂)>0 pour x < x0−₂^δ; ϕ(x0)−ϕ(x) = ϕ(x0)−ϕ(x0+^δ₂) +ϕ(x0+^δ₂)−ϕ(x)

≥ ϕ(x0)−ϕ(x0+^δ₂)>0 pour x > x0+₂^δ. Donc∀x∈supp(1−θ),ϕ(x0)−ϕ(x)≥µ >0.

Pour t >1,

tϕ(x) = ϕ(x) + (t−1)ϕ(x)

≤ ϕ(x) + (t−1)ϕ(x₀)−µ(t−1) Donc|F₂(t)| ≤e^{(t−1)ϕ(x0)}e^−µ(t−1)

Z b

a

e^ϕ(x)|f(x)|dx. D’oùe^−tϕ(x0)|F₂(t)| ≤M e^−tµavecM = e^µe^−ϕ(x0)Rb

a e^φ(x)|f(x)|dx <∞par hypothèse. Ce terme décroit de manière exponentielle alors que pourF1 on avait un décroissance ent^−1/2. AinsiF2 est négligeable davantF1 pourt grand d’où le résultat escompté.

Application : Equivalent de Stirling.

On rappelle que Γ(t+ 1) = Z +∞

0

x^te^−xdx= Z +∞

0

e^tlog(x)−xdx. En posantx=ty, on obtient Γ(t+ 1) =

Z +∞

0

e^tlog(y)−tytdy=te^tlog(t) Z +∞

0

et(log(y)−y)dy. On a : – R+∞

0 et(log(y)−y)dy <∞; – ϕ⁰(y) =t

1 y −1

= 0⇔y= 1 etϕ⁰⁰(1) =−1 ; – f ≡1.

D’où Γ(t+ 1) ∼

+∞

r2π

t e^−tt^t+1 ∼

+∞

√

2πte^−tt^t.