M28 - Mesures et Intégration: (2016 - 2017)

M28 - Mesures et Intégration:

(2016 - 2017)

Chapitre I:

Espaces mesurables

Allal GHANMI

1

Espaces mesurables

1.1 Clans (Algébres)

Dans toute la suite X désignera un ensemble non vide. On notera parP(X)l’ensemble de parties deX.

Définition 1.1.1. Une classe C de parties de X est appelée clan (ou algèbre de Boole ou tout simplement algèbre) si:

1. ∅ ∈_C.

2. C est stable par passage au complémentaire dans X: si A ∈_C, alors A^{ =X\A ∈_C. 3. C est stable par réunion: si A,B ∈_C, alors A∪B ∈_C.

Exemples 1.1.2. Il y a beaucoup d’algèbres sur un ensemble non vide donné X.

• La plus grosse est l’algèbreP(X).

• La plus petite est{_∅,X}.

• Soit A ⊂ X. La plus petite algèbre contenant A est la collection constituée de∅, A, A^{et X.

• L’intersection de deux algèbresC1etC2sur X, définie par

C1∩_{C2 :}={A ⊂X; A∈ _C1et A ∈_C2}_,

est encore une algèbre sur X. Plus généralement, L’intersection d’une famille quelconque d’algèbres sur X est une algèbre sur X.

Remarque 1.1.3. SoitC un clan de parties de X. Les propriétés suivantes sont immédiates:

1. X ∈ _C.

2. C est stable par différence non symétrique: si A,B ∈_C, alors A\B∈ _C.

3. C est stable par différence symétrique: si A,B∈ _C, alors A∆B:= (A\B)∪(B\A) ∈ _C.

Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15

4. C est stable par réunion finie: si A1,· · · ,An ∈ _C, alors A1∪ · · · ∪An ∈_C. 5. C est stable par intersection finie: si A1,· · · ,An ∈_C, alors A1∩ · · · ∩An ∈ _C.

Il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes dans la définition d’une algèbre. On cite par exemple la définition équivalente suivante:

Définition 1.1.4. C ⊂ P(X)est un clan sur X si et seulement si 1. X ∈ _C non vide.

2. C est stable différence non symétrique.

3. C est stable par réunion.

1.2 Tribus (σ-Algébres)

Définition 1.2.1. Une collectionC de parties de X,C ⊂ P(X), est dite tribu (ouσ-algèbre ou encoreσ-algèbre de Boole) sur X si elle possède les propriétés suivantes:

1. C est non vide.

2. C est stable par passage au complémentaire 3. C est stable par réunion au plus dénombrable.

Exemples 1.2.2. L’ensemble des tribus sur X est évidemment non vide. Les exemples des algèbres sur X cités précédemment sont aussi desσ-algèbres sur X:

• La plus grosse est la tribuP(X).

• La plus petite est{_∅,X}.

• Soit A ⊂X, la plus petite tribu contenant A est{_∅,A,A^{_,X}_..

Remarque 1.2.3. Toute tribu (σ-algèbre) sur X est un clan (algèbre) sur X. En revanche il existe des algèbres qui ne sont pas des tribus. Un des contre-exemples est donné par

C ={A∈ P(X); A ou A^{ =X\A} où X est un ensemble non vide et infini.

Définition 1.2.4. Le couple(X;C)formé d’un ensemble non vide X et d’une tribuC sur X est dit espace mesurable. Les éléments deC sont appelés les partiesC-mesurables de X ou simplement mesurables s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la tribuC.

Remarque 1.2.5. Soit(X;M)un espace mesurable. Alors, on a les propriétés suivantes:

1. M contient nécessairement les parties∅et X.

2. M est stable par intersection dénombrable.

3. M est stable par différence non symétrique et par différence symétrique.

Comme dans le cas des clans, il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes définissant une tribu. Par exemple:

A. Ghanmi Espaces mesurables 2

Définition 1.2.6. C ⊂ P(X)est une tribu sur X si et seulement si 1. X ∈ _C non vide.

2. C est stable par différence non symétrique.

3. C est stable par réunion au plus dénombrable.

1.3 Construction des tribus

1.3.1 Constuction 1: Tribu trace (induite)

SoitM une tribu de parties deX. Pour toute partie fixéeCnon vide deX, on définit MC :={A∩C; A ∈_M}.

AlorsMCestune tribu surC, appelée tribu induite parM (ou encore tribu trace deM) surC.

Attention: Ici, il faut prendre le complémentaire dansC.

1.3.2 Constuction 2: Tribu image réciproque

Soient Xet Ydeux ensembles non vides et f : X −→ Y uneapplicationdonnée. Si MY

est une tribu surY, alors f⁻¹(MY) =f⁻¹(B);B∈ MY est une tribu surX.

Pour la vérification, on utilise les propriétés suivants

{

f⁻¹(A)= f⁻¹(^{A); f⁻¹(∪_i∈IA_i) = ∪_i∈If⁻¹(A_i) ainsi que f⁻¹(Y) = X.

1.3.3 Constuction 3: Intersection de tribus

La plus part des tribus "intéressantes" sur X sont construites en utilisant le résultat que toute intersection (dénombrable ou non) de tribus de parties de X est encore une tribu de parties de X.

Proposition 1.3.1. SoitF une famille de parties de X. La tribu

\

M tribu de X M ⊃ F

M =_{: σ}(F)

est la plus petite tribu sur X contenantF.

Définition 1.3.2. σ(F est dite la tribu sur X engendrée parF.

Proposition 1.3.3. 1) SoientC etC⁰deux collections de parties de X. Alors,

i) SiC ⊂_C⁰, alorsσ(_C) ⊂σ(_C⁰)(en particulier siC⁰est une tribu, on aσ(_C) ⊂_C⁰).

ii) On aσ(_C)⊂_σ(_C⁰)⇐⇒ _C ⊂_σ(_C⁰).

iii) σ(_C) =_σ(_C⁰)⇐⇒ _C ⊂_σ(_C⁰)etC⁰ ⊂_σ(_C).

Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15

2) Si f : X−→ Y est une application etCY une collection de parties de Y, alors σ(f⁻¹(_CY)) = f⁻¹(_σ(_CY)).

Remarque 1.3.4. On peut avoir σ(_C) = _σ(_C⁰) pour deux classes différentes C et C⁰. Par exemple, on aσ({A}) =_σ({A^{}).

Remarque 1.3.5(Emboitage des Tribus). On rencontrera souvent la situation du cas partic- ulier de la proposition précédente: on aura deux tribusM etM⁰ sur le même ensemble X et on voudra montrer queM ⊂_M⁰. Si on sait queM est engendrée par une collectionC (autrement ditσ(_C) =_M), il suffira alors de prouver queC ⊂_M⁰.

1.3.4 Constuction 4: Tribu produit

Soient(X;MX)et(Y;MY)deux espaces mesurables.

• La tribu produit de MX et MY est la tribu sur le produit cartésien X×Y, noté MX⊗_MY, engendré par les parties A×BoùA ∈_MXet B∈ _MY.

• Le couple(X×Y;MX⊗_MY)est dit espace mesurable produit des espaces(X;MX) et(Y;MY)_.

Remarque 1.3.6. Le produit cartésien des deux tribus,MX×MY, n’est pas une tribu sur X×Y (La stabilité par réunion dénombrable tombe en défaut). Mais on a bien

MX⊗_MY =_σ(_MX×_MY).

1.4 Tribu de Borel

La notion de tribu borélienne est liée à la structure topologique de l’ensemble de base.

Définition 1.4.1 (Topologie). On appelle espace topologique tout couple (X;O) formé d’un ensemble non vide X et d’une familleO de parties de X possédant les propriétés

1. O contient les parties∅et X.

2. O est stable par intersections finies.

3. O est stable par réunions quelconques.

Les éléments deO sont les ouverts de la topologie. Les complémentaires des ouverts sont les fermés de la topologie.

Topologie usuelle surR:

La topologie dite usuelle surRest donnée par la collectionT_R des parties deRqui sont unions d’intervalles ouverts ]a,b[ avec a ∈ _R∪ {−_∞} et b ∈ _R∪ {+_∞}. Cette topologie usuelle, un ensembleO⊂_Rest ouvert si

∀x ∈O, ∃b∈ O, x ∈]a,b[⊂O.

SiOest un ouvert deR, on considère

I ={(ρ,r)∈ _Q×_Q^∗₊; ]ρ−r,ρ+r[⊂O}.

A. Ghanmi Espaces mesurables 4

AlorsI est dénombrable (elle s’injecte dansQ×_{Q) et}

O = ^[

(ρ,r)∈I

]ρ−r,ρ+r[.

Ainsi tout ouvert deRpeut s’écrire comme réunion au plus denombrable d’intervalles ouverts (on peut même se limiter à des intervalles à extrémités rationnelles).

Tribu de Borel

Définition 1.4.2. Soit(X;O)un espace topologique. La tribu de parties de X engendrée par la familleO est appelée tribu de Borel ou encore tribu des boréliens de X.

Remarque 1.4.3.

• On noteB(X)la tribu borélienne de l’espace topologique(X;O), s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la topologie mise sur X.

• Les ouverts et les fermés, les intersections dénombrables d’ouverts, les réunions dénom- brables de fermés sont des éléments deB(X), dits des boréliens de X.

Théorème 1.4.4. Soit B(_R) := _σ(_TR) la trbu borélienne de R, où T_R est la collection de parties deRqui sont unions d’intervalles ouverts. Alors,B(_R) est aussi la tribu engendrée par l’un des classes suivantes

1. La collectionJ1 :={]a,+_∞[; a∈ _R}. 2. La collectionJ2 :={]a,+_∞[; a∈ _Q}. 3. La collectionJ3 :={[a,+∞[; a∈ R}. 4. La collectionJ4 :={[a,+_∞[_; a∈ _Q}.

5. La collectionJ5 :={]a,b[; a,b ∈_R}des intervalles ouverts bornés deR.

Preuve:

• Pour toutk=1, 2, 3, 4, 5, on aJk ⊂_TRet donc

σ(_Jk) ⊂σ(_TR) =:B(_R).

• Il est clair queJ2⊂_J1 ⊂_TR ⊃_J3 ⊃_J4. Il en résulte que

σ(_J2) ⊂σ(_J1) ⊂σ(_TR) =: B(_R) ⊃σ(_J3) ⊃σ(_J4).

• La preuve sera achevée en montrant

B(_R) :=σ(_TR) ⊂σ(_J2) et B(_R) :=σ(_TR) ⊂σ(_J4) Pour ceci, il suffit alors de vérifier que

TR⊂σ(_J2) et TR ⊂σ(_J4).

Montrons par exemple queTR ⊂ σ(_J2): Comme tout ouvert de Rest une réunion au plus denombrable d’intervalles de la forme]a,b[aveca <b eta,b ∈ _R∪ {−_∞,+_∞}, il suffit alors de montrer que ces derniers sont dansσ(_J2).

Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15

• Pour touta,b∈ _R∪ {−_∞,+_∞}aveca<b, il existe deux suites(an)et(bn)dansQ vérifiant

– (an)est décroissante et(bn)est croissante aveca< an <bn <b – an →aetbn →b

telles que

]a,b[= ^[

n

]an,bn[

• Or on a

]an,bn[=]−_∞,bn[∩











]−_∞,an]

z }| {

\

k≥1

]−_∞,an+¹ k[











{

∈_σ(_J2).

Remarques 1.4.5. • TR ⊂σ(_J4)s’établit de manière analogue.

• Une démonstration directe deTR ⊂σ(_J1) =_M1est la suivante – Par construction, on a]a,+_∞[∈ _J1⊂_M1pour tout a ∈ _R.

– Par intersection dénombrables d’éléments de M1 et passage au complémentaire, on a aussi

]−_∞,a[= ([a,+_∞[)^{ = ^\

n∈_N

]a−¹ n,+_∞[

!_{

∈ _M1.

– Comme intersection de deux éléments deM1, on a

]a,b[=]−_∞,b[∩]a,+_∞[∈ _M1; a<b.

On conclut alorsM1contient tous les ouverts deRetM1⊃B(_R).

• La preuve de TR ⊂ σ(_J5), est immédiate du fait que tout ouvert est réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts bornés (voir le rappel topologique).

1.5 Exercices supplémentaires et devoir à rendre

Exercices supplémentaires

Exercice 1 Soient X et Y deux ensembles non vides et f une application de X dansY.

On définit les applications f_d :P(X) −→ P(Y)et f_r⁻¹ :P(Y) −→ P(X)par f_d(A) = {f(x); x∈ A} et f_r⁻¹(B) = {x; f(x)∈ B}.

A. Ghanmi Espaces mesurables 6

1. Montrer que f_det f_r⁻¹vérifient les formules suivantes (dites de Hausdorff):

(a) f_r^{−1 [}

i∈I

B_i

!

= ^[

i∈I

f_r⁻¹(B_i);

(b) f_r^{−1 \}

i∈I

Bi

!

= ^\

i∈I

f_d(Bi); (c) f_r⁻¹(A^c) =f_r⁻¹(A_i)^c. (a⁰) f_d ^[

i∈I

A_i

!

= ^[

i∈I

f_d(A_i);

(b⁰) f_d ^\

i∈I

Ai

!

⊂^\

i∈I

f_d(Ai).

2. On suppose que f est bijective. Ecrire f_r⁻¹en terme de f⁻¹.

Exercice 2 SoitXun ensemble non vide, et(An)_n∈_Net(Bn)_n∈_Ndeux suites de parties deX. Montrer que

[

n∈_N

An

!

\ ^[

n∈_N

Bn

!

⊂ ^[

n∈_N

(An\Bn).

Exercice 3 Pour une collection(An)_n≥1de parties deX, on définit

lim infAn := ^[

n≥1

\

k≥n

A_k

!

et lim supAn := ^\

n≥1

[

k≥n

A_k

! .

1. Montrer que lim infAn ⊂lim supAn.

2. Montrer que lim infAn =_{lim supAn lorsque}(_An)_n≥1est croissante (décroissante).

3. Montrer que(lim supAn)^c =lim inf(A^c_n)et(lim infAn)^c =lim sup(A^c_n).

Exercice 4 SoientAetBdeux parties non vides d’un ensemble non videX. Déterminer la tribu engendrée par la collection{A,B}.

Exercice 5: Soitnun entier,n∈ _N^∗_{, etMn} =_σ({I_n^k; k=_{0, 1, 2,}· · · _{, 2}ⁿ−₁})la tribu sur ]0, 1[engendrée par les









 I_n⁰ :=

0, 1

2ⁿ

I_n^k := k

2ⁿ,k+1 2ⁿ

, k ∈ {1, 2,· · · , 2ⁿ−1} .

Montrer que la suite (_Mn)_n est croissante mais que leur union n’est pas une tribu sur ]0, 1[.

Exercice 6 SoitXun ensemble non vide et considérons les collections

C :={A⊂X : Aou A^c est fini} _{et M :}={A ⊂X : Aou A^c est fini ou dénombrable}_.

Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15

1. Montrer queC est un clan surX. Est-elle une tribu surX?

2. Montrer queM est une tribu surX.

Exercice 7 (Tribu engendrée par une partition):SoitXun ensemble non vide.

1. Soit (A_i)_i∈I une partition dénombrable de X. Décrire la tribu engendrée par cette partition.

2. Montrer que toute tribu finie de parties deXest la tribu engendrée par une partition finie deX.

3. Montrer que si X est dénombrable, toute tribu surX est engendrée par une parti- tion.

Exercice 8 (Une tribu infinie est non dénombrable): Montrer que toute tribu infinieM sur un ensemble (infini)Xest non dénombrable.

Devoir à rendre:

Exercice 1 (Caractérisation de la tribu engendrée).SoientAetCdeux collections de parties d’un ensembleE.

1. On note par Z l’ensemble des parties deP(E) stables par différence et stables par union dénombrable disjointe. Montrer qu’il existeD ∈ Z tel queC ⊂ Det :

A ∈ Z; C ⊂ A =⇒ D ⊂ A.

Dans la suite, on note toujoursD cette partie deP(E). On suppose maintenant queCest stable par intersection finie et queE∈ C.

2. Pour A∈ P(E), on noteD_A ={D ∈ D tel queA∩D∈ D}.

(a) SoitA ∈ P(E). Montrer queD_Aest stable par union dénombrable disjointe et stable par différence.

(b) SoitA ∈ C. Montrer queC ⊂ D_A. En déduire queD_A =D.

(c) SoitA ∈ D. Montrer queD_A =D. En déduire queDest stable par intersection finie.

3. Montrer queDest une tribu. En déduire que Dest la tribu engendrée parC_. Exercice 2 (Tribu borélienne deR²).

On note T la tribu (sur R²) engendrée par {A×_B;A;B∈ B(_R)}. L’objectif est de montrer que

T =B(_R²).

1. Montrer que tout ouvert de R² est réunion au plus dénombrable de produits d’intervalles ouverts deR. [S’inspirer d’une Preuve analogue faite pourRau lieu deR².] En déduire queB(_R²) ⊂T.

2. Soit Aun ouvert deRetT1 = B∈ B(_R); A×B ∈ B(_R²) . Montrer que T1est une tribu (surR) contenant les ouverts (deR). En déduire queT₁ =B(_R)_.

3. SoitB∈ B(_R)etT₂ =A ∈ B(_R); A×B∈ B(_R²) . Montrer que T₂=B(_R). 4. Montrer queT ⊂ B(_R²)(et donc queT=B(_R²)).

A. Ghanmi Espaces mesurables 8