المبدأ التغايري لإكلاند و بعض تطبيقاته

ﻥﻤ ﺩﺍﺩﻋﺇ :

ﻱﻭﺎﺴﻭﻤ

أأ

ﺔﻨﻴﻤ

ﺵﻁﻴﻌﺒ

أأ

ﺓﺭﻴﻤ

ﻑﺍﺭﺸﺇ ﺕﺤﺘ

: :

اا

ذذ : : يو يو

ﺔﺸﻗﺎﻨﻤﻝﺍ ﺔﻨﺠﻝ :

ﺫﺎﺘﺴﻷﺍ :

ﻡﻴﺭﻜ ﻥﺩﻭﺒ ...

...

) ﻴﺌﺭ ـ ﺴ ﺎ (

ﺫﺎﺘﺴﻷﺍ :

ﻕﺤﻝﺍ ﺩﺒﻋ ﻱﺭﺎﺘﺨﻤ ...

. ).

ﺎﻨﺤﺘﻤﻤ (

ﺫﺎﺘﺴﻷﺍ ﺓ

أ : )... أ

ﺔﻨﺤﺘﻤﻤ (

ﺫﺎﺘﺴﻷﺍ ﺓ

دادو :

دادو

)...

ﺔﻨﺤﺘﻤﻤ (

ﺫﺎﺘﺴﻷﺍ

يو : )... يو

ﺎﻓﺭﺸﻤ (

ﻥﺍﻭﺠ ﺔﻌﻓﺩ ﻥﺍﻭﺠ ﺔﻌﻓﺩ 20152015

République Algérienne Démocratique Populaire

ي ا ا ذ أ ةد ! " ة #$

ﺪﺒﻤﻟﺍ

ي % ا أ ي % ا أ

&

&

' ( ) * و + ,#

' ( ) * و + ,#

ﻲﻤﻠﻌﻝﺍ ﺙﺤﺒﻝﺍﻭ ﻲﻝﺎﻌﻝﺍ ﻡﻴﻠﻌﺘﻝﺍ ﺓﺭﺍﺯﻭ

ﺓﺫﺘﺎﺴﻸﻝ ﺎﻴﻠﻌﻝﺍ ﺔﺴﺭﺩﻤﻝﺍ

ﺔﺒﻘﻝﺍ ﺔﻤﻴﺩﻘﻝﺍ – ﺭﺌﺍﺯﺠﻝﺍ

ﺍ ﻡﺴﻗ ﺕﺎﻴﻀﺎﻴﺭﻝ Ministère de l’Enseignement Supérieur

et de la Recherche Scientifique Ecole Normale Supérieure Vieux Kouba – Alger

Département de mathématique

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ HAKñJmÙÛ@

HAKñJmÙÛ@

01 . . . éÓY®Ó ¹

Èð

B@ ɒ ®Ë@

éJËð@ ÑJëA ®Ó

03 . . . úk.ñËñJ.¢Ë@ ZA ’ ®Ë@

03 . . . øQÖÏ@ ZA ’ ®Ë@

03 . . . øQÓ ZA ’ ¯ ú ¯ HAJËAJJÖÏ@

04 . . . ÐAJË@ øQÖÏ@ ZA ’ ®Ë@

05 . . . ùÒJ ¢ JË@ ú«Aª‚Ë@ ZA ’ ®Ë@

06 . . . ú kA JJ.Ë@ ZA ’ ®Ë@

08 . . . úGQ.ÊìÛ@ ZA ’ ®Ë@

08 . . . úæ…A¾ª KB@ ZA ’ ®Ë@

09 . . . H@QKñÖÏ@ P@QÖރ@

10 . . . éKP@QÖރB@ ­’

11 . . . éÊ “A ®ÖÏ@ éJÊK.A¯

11 . . . éÊ “A ®ÖÏ@ éJÊK.A®Ë@ H@QKñÖÏ@

13 . . . éÊ “A ®ÖÏ@ éJÊK.A®Ë@ ©K.@ñJË@

14 . . . éKQ儮Ë@ ©K.@ñJË@

14 . . . ©JK.ñÊË áÖÞêÖÏ@ H.PA®JË@

15 . . . áKAJ.JË@

16 . . . øPA¾ K@ñK. é JKAJ.JÓ

16 . . . ñʯñË

@ pA JK. éKQ ¢

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ HAKñJmÙÛ@

ÿ AJË@ ɒ ®Ë@

øQ k

@ HAKQ ¢ JK. éKA¯C« ð Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@

20 . . . Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@

21 . . . Y KC¿ B ­Jª ’Ë@

@YJ.ÖÏ@

28 . . . Y KC¿B Q ª’JË@

@YJ.Ó

33 . . . Q.ÊJ ¯ H.ñ ‚K. éJ£ñK

36 . . . úæ‚PA¿ éKQ ¢

36 . . . Y KC¿ @ éKQ ¢ ÈAÔªJƒAK. úæ‚PA¿ éKQ ¢ àAëQK.

37 . . . Q.ÊJ ¯ H.ñ ‚K. éJ£ñK ÈAÔªJƒAK. úæ‚PA¿ éKQ ¢ àAëQK.

38 . . . Õæ®Ë@ XYªJÓ ©K.AK éËAg :úæ‚PA¿ éKQ ¢

39 . . . pA JJ.Ë èYÓA’Ë@ 颮 JË@ éKQ ¢

40 . . . úæ‚PA¿ éKQ ¢ ÈAÔªJƒAK. pA JJ.Ë ‘Ê®JË@ éKQ ¢ àAëQK.

IËAJË@ ɒ ®Ë@

n YªJ.Ë@ ú ¯ éJʾKQKYË éKQKA ªJË@ éËA‚ÖÏ@ Ég

42 . . . YJêÖß

42 . . . H¹(Ω) ZA ’ ®Ë@

42 . . . H⁰¹(Ω) ZA ’ ®Ë@

42 . . . éJƒAƒ@ l.'AJ K

44 . . . ‡JJ.¢

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ HAKñJmÙÛ@

©K.@QË@ ɒ ®Ë@

Y KC¿@ @YJ.Ó ÈAÔªJƒAK. èYÓA’Ë@ 颮 JË@ Èñk èYKYg. HAKQ ¢

50 . . . éJƒAƒ@ l.'AJ K

53 . . . ‡JJ.¢

ÓA mÌ'@ ɒ ®Ë@

pA JK. - P ZA ’ ¯ ú ¯ @YJ.ÖÏ@ ‡JJ.¢

56 . . . YJêÖß

59 . . . éJƒAƒ@ l.'AJ K

60 . . . ‡JJ.¢

€XA‚Ë@ ɒ ®Ë@

HQ.Êë H@ZA ’ ¯ ú ¯ èYÓA’Ë@ 颮 JË@ Èñk éKQ ¢

67 . . . YJêÖß

68 . . . éJƒAƒ@ l.'AJ K

72 . . . ‡JJ.¢

77 . . . éÒKA mÌ'@

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ H@ QJÓQK

H@ QJÓQK

: éJËAJË@ PñÓQË@ ÉÒªJ‚ ,úGAK AÓ É¿ ú ¯ . Õæ ¢ JË@ ^k.k . ùÒʂË@ Z@Ym.Ì'@ ^{(., .)} . úk.ñËñJ.¢Ë@ øñ JJË@ ^E∗ . éKñ JK ð ^E áK. ©K PñJË@ úæ…ñ¯ ^{h., .i}

(Sⁿ) Q¢¯ ^diam(Sn) . ÉKAÖޅ - úÍAK.  Qå… ^(P.S) áKAJ.JË@ à

@ ð ^F ú ¯ øñJm× ^E à@ úΫ éËBYË ^{E ֒→F} I.Jº K , áJÒJ ¢ áKZA ’ ¯ ^F ð ^E @ X@ ^֒→ . QÒJ‚Ó ^F ú ¯ ^E áÓ ú Gñ KA®Ë@

. @QÓ ^F ú ¯ ^E áÓ ú Gñ KA®Ë@ áKAJ.JË@ à

@ ð ^F ú ¯ øñJm× ^E à@ úΫ éËBYË ^֒→֒→

.E úΫ úΫ

B@ YmÌ'@ ^sup

E

.E úΫ ú GX

B@ YmÌ'@ ^infE

.u⁺= sup{u,0} K. é ¯QªÖÏ@ éË@YË@ ^u+

.u⁻=−inf{u,0} K. é ¯QªÖÏ@ éË@YË@ ^u−

.inf{u, v} ñë ^u∧v

.sup{u, v} ñë ^u∨v

.{u∈E : 0≤u} ñë ^E+ . éJʾË@ é«ñÒj.ÒÊË éJ.‚ ËAK. ^K éÒÒJÓ ù ë ^K

c

. Õæ ¢ JËAK. ^u ñm ' H.PA®JK ^(un)n éJËAJJÖÏ@ à

@ ø

@ ^un→u

.u ñm ' ­ª ’. H.PA®JK ^(un)n éJËAJJÖÏ@ à

@ ø

@ ^{un⇀ u} . úæ„Q ¯ Ðñê ®Öß. ‡J ‚ÖÏ@ ^dϕ

.ñKA¯ Ðñê ®Öß. ‡J ‚ÖÏ@ ^Dϕ

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ H@ QJÓQK

. ZA ’ ®Ë@ YªK. ñë ^N IJk ^{2∗ =} _N^2N₋₂ ¬BñK.ñ‚Ë ék.QmÌ'@ èñ®Ë@ ^2∗

.∇ϕ =

∂ϕ

∂x1,_∂x^∂ϕ

2, ....,_∂x^∂ϕ_n

IJk ^∇ϕ K. ½Ë Y» éË QÓQ K ð ^ϕ h.PYK ^gradϕ

.∆u=

n

P

i=1

∂²u

∂xi2 úGBA¿ ¬QªÓ ñë ð €CK.B QKñÓ ^∆u

.U 鮓CÓ ^U

.R Q¢®Ë@ ­’ ð ⁰ Q»QÖÏ@ H@ X èQºË@ é ¯Ag ^{∂B(0, R)}

.Ω úΫ èQÒJ‚ÖÏ@ ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ^C0(Ω) .QÒJ‚Ó ‡J ‚ÖÏ@ ð †A®J ƒCË éÊK.A®Ë@ ð ,^Ω úΫ èQÒJ‚ÖÏ@ ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ^C1(Ω)

.1< p <∞ ©Ó^{RΩ|f(x)|pdx <+∞} ‡®m' úæË@ ð ^Ω úΫ éƒñJ®Ë@ ^{f : Ω−→R} ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ñë ^Lp(Ω)

.H¹(Ω) ={u∈L²(Ω), ∇u∈L²(Ω)} H¹(Ω) .H0¹(Ω) ={u∈H¹(Ω), u|∂Ω = 0} H0¹(Ω) .W^m,p(Ω) ={u∈W^m−1,p(Ω), ∇u∈W^m−1,p(Ω)} W^m,p(Ω)

.W0^m,p(Ω) =

u∈W^m,p, u|∂Ω = 0 W0^m,p(Ω)

. AJÊ¿ éJ. ƒ ½ ƒ

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ éÓY®Ó

éÓY®Ó

ð ú GX

B@ YmÌ'@ Xñk.ð éË

A‚Ó ,Q ª’JË@ ɾ ‚Ó éƒ@PX Y J« áë YË@ úÍ@ à@PXAJ.K àAKXAJJ«@ àB@ñƒ

Ð@Yª K@ é J« i.J K ^u0 颮 K Y J« ú GXB@ èYg éÊ “A ®ÒÊË ÉK.A¯ ^ϕ ©K.AK ¨ñÊK. èXA« .Aê®®m' úæË@ ‘A’ mÌ'@

Ég.

@ áÓ à X@ ,⁽ú GX

B@ èYg ¼PYK èPðQå ”ËAK. Ë⁾ ú GX

B@ áÓ XðYm× ^ϕ àA¿ @ XA ¯ . 颮 JË@ è Yë Y J« ‡J ‚ÖÏ@

‡®m' ð ^{ϕ′(u) = 0} éËXAªÒÊË ^uε úæ.KQ®K Ég Yg.ñK ^ε É¿

infϕ≤ϕ(uε)≤infϕ+ε

? éJ.KQ®JË@ ÈñÊmÌ'@ è Yë Aê®®m' úæË@ éKPðQå ”Ë@  ðQå„Ë@ ù ë AÓ ^• ÉmÌ'@ Xñk.ð ð ék.QmÌ'@ 颮 JË@ , èYÓA’Ë@ 颮 JË@ Xñk.ñK. ‡ÊªJK øQ k

@ éÊJƒ

@ ð È@ ñ‚Ë@ @ Yë úΫ éK.Ag.CË . øQKA ªJË@ èðYJ.Ó (Ivar Ekeland) Y KC¿ @ PA ®K@ ÐY¯ , éJ¢ k Q « éKYg ÉKA‚ÖÏ ­Jª ’Ë@

Q « ÉJÊjJË@ Aî DJK. áÓ HAJ “AKQË@ áKXAJÓ ­ÊJ m× ú ¯ éÓAë YK@ñ ®K.

@YJ.ÖÏ@ @ Yë XA« ,¹⁹⁷² ÐA« èPñê £ Y JÓ , ù®JJ.¢JË@ ÉJÊjJË@ ú ¯ éKñ¯ éÊJƒð ñê ¯ ,ÐAªË@ úÎ “A ®JË@ H.A‚mÌ'@ ,pA JK. H@ZA ’ ¯ éƒY Jë HA®JJ.¢ ,ù ¢ mÌ'@

. èYÓA’Ë@ 颮 JÊË éJ.¯AªJÖÏ@ HAJ.KQ®JË@ AJk.ñËñ JºK ú ¯ ½ ƒ àðX ø ñ¯ ñë A ’

@ úæË@ , è Yë A JKQ» YÓ ú ¯ éKA®JJ.¢ ‘ªK. P@QK.@ ð éJƒ@PX úΫ A KPAJJ k@ ©¯ð Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ éJÒë B @Q ¢ . Èñ’ ¯ éJƒ Õæ ” @YJ.ÖÏA ¯ .AîDË@ èPA ƒB@ Õç' øQ k

@ ð éJƒAƒ

B@ HAKQ ¢ JË@ ú ¯ éÊÒªJ‚ÖÏ@ ÕæëA ®ÖÏ@ Ñë@ ÈðB@ ɒ ®Ë@ ú ¯ ÐY® Jƒ

ZA ’ ®Ë@ áÓ É¿ ­KQªK ÐY® Jƒ @ YË ÐAK ø QÖÏ@ ZA ’ ®Ë@ àA¿ @ X@ ¡® ¯ ð @ X@ ‡J. ¢ Y KC¿B øQKA ªJË@

ZA ’ ®Ë@ àñºË @Q ¢ ð éJ ƒñºË@ HAJËAJJÖÏ@ H.PA®JK. ¡J.KQK ø YË@ ÐAJË@ øQÖÏ@ ð øQÖÏ@ ZA ’ ®Ë@ ,úk.ñËñJ.¢Ë@

HAKQ ¢ JË@ Ñë

@ ð HAJËAJJÖÏ@ H.PA®K ¨@ñ K@ ­ÊJ m× éƒ@PX úÍ@ †Q¢J ƒ ,øQÓ ZA ’ ¯ ñë ùÒJ ¢ JË@ ú«Aª ‚Ë@

. ©JK.ñÊË é JÒJêË@ éKQ ¢ J» éJƒAƒ

B@

é K

@ A JJÊ« ù ® m' B AÒ» .AÒî DJK. é¯CªË@ ð úæ…A¾ª KB@ ZA ’ ®Ë@ ð úGQ.ÊêË@ ZA ’ ®Ë@ áÓ É¾Ë ­KQªK A ’@ ÐY® Jƒ

áÓ l •ñ Jƒ @ YË éÊ “A ®ÖÏ@ éJÊK.A¯ ð éKP@QÒJƒB@ ,AÓ ©K.AK éƒ@PX úΫ èY«A‚ÖÏ@ ð è QÒÖÏ@ ‘A’ mÌ'@ Ñë

@ áK. áÓ Xñk.ñÖÏ@ ñ ¯A¾JË@ úÍ@ Q ‚ ƒ AÒ»⁾ ©K.@ñJË@ ð H@QKñÒÊË éKP@QÒJƒB@ ­’ ð éKP@QÒJƒB@ Ðñê ®Ó éêk.

ð úæ„Q ¯ Ðñê ®Öß. éÊ “A ®ÖÏ@ éJÊK.A¯ úÍ@ †Q¢J ƒ øQ k

@ éêk. áÓð ,⁽Aî DKP@QÒJƒ@ ð éJ¢ mÌ'@ H@QKñÖÏ@ éKXðYm× áK.

. AÒî DJK. é¯CªË@ ð ñKA¯ Ðñê ®Öß.

,P@QÒJƒBAK. áKAJ.JË@ ÉJÓ éJË@ñÖÏ@ Èñ’ ®Ë@ ú ¯ AîDÊ« YÒJª Jƒ ÕæëA ®Ó ð HAKQ ¢ A ’

@ ɒ ®Ë@ @ Yë ú ¯ h.PY J ƒ

©K.AK Ðñê ®Ó @ Y» ð ñʯñË@ pA JK. éKQ ¢ ,PñJ KA¿ éJ£ñK , ¬BñK.ñƒ é JKAJ.JÓ ,ø PA¾ K@ñK. é JKAJ.JÓ ,@QÖÏ@ áKAJ.JË@

ɾ ƒ úΫ ½Ë X P@QK.@ úÍ@ A JK. øXñJƒ AÜØ Èñ’ ®Ë@ Ñ ¢ªÓ ú ¯ ‡J ‚ÖÏ@ á« IjJ.Ë@ éJÊÔ« PQºJƒ AÒ» ;øQ儯

éKA®JJ.¢ ‘ªK. ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ éÓY®Ó . újJ “ñK ÈAJÓ Q ª’JË@

@YJ.Ó ð é ®Jª ’Ë@ ð éKñ®Ë@ éJJ ªJ’. Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ ÈðA JJ ƒ áK

@ ú GAJË@ ɒ ®Ë@ úÍ@ ék.ñJ JË . éJ¢ mÌ'@ ©K.@ñJË@ P@QÒJƒ@ ð PñJ KA¿ éJ£ñK ,I.KQË@ é¯C« úΫ ½Ë X ú ¯ áKY J‚Ó éʒ ®Ó áë@QK. ©Ó é J« l.'A JË@

. éKXðYjÖÏ@ ð Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ áK. èYJ£ð é¯C« Xñk.ñË ÉKAÖޅ - úÍAK.  Qå… Õç'Y®K A JJÊ« àñºJƒ ð Aî EAëQ.K. Q.ÊJ ¯ - H.ñ ‚K. éJ£ñK Qª Jƒ Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ ú ¯ èXñk.ñÖÏ@ ½ÊJË éÊKAÜØ  ðQå„. ð øQ k

@ èQÓ ð Q.ÊJ ¯ - H.ñ ‚K. éJ£ñK ÈAÒªJƒAK. èQÓ áJ®KQ¢. AîDJ.J ƒ úæË@ úæ‚PA¿ éKQ ¢ ð ɒ ®ÖÏ@

àñºJƒ Y KC¿B ­Jª ’Ë@ øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ É ’ ®K. é K

@ ­J» l •ñ Jƒ AÒ» ,Y KC¿B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ ÈAÒªJƒAK.

. Õæ®Ë@ XYªJÓ ©K.AK éËAg ú ¯ úæ‚PA¿ éKQ ¢ àAëQK. A JJÊ« ÉîD„Ë@ áÓ ú GAJË@ A Jʒ ¯ éKAî E ù ® ¯ ,½Ë Y» é K@ B@ èYÓA’Ë@ 颮 JÊË éKQ ¢ J» éJÊ« áʪK ÕË Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ à

@ ©Ó ð éKQ ¢ ‡JJ.¢K. éKQ ¢ JË@ è Yë áëQ. Jƒ AÒ»

@YJ.ÒÊË Qå…AJ.Ó ‡JJ.¢K. pA JJ.Ë èYÓA’Ë@ 颮 JË@ éKQ ¢ áëQ. Jƒ

. úæ‚PA¿

½Ë X Qê ¢ à

@ B

@ A JK.

@ ½Ë YË , éKQKA ªJË@ ÉKA‚ÖÏ@ Ég ú ¯ A gAm. ' Q»

@ Y KC¿ B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ ÈAÒªJƒ@ iJ.“

@ . Y KC¿ B øQKA ªJË@ @YJ.ÖÏ@ úΫ XAÒJ«BAK. éJʾKQKX éË

A‚Ó Ég ÈC g áÓ IËAJË@ A Jʒ ¯ ú ¯ 颮 JË@ éKQ ¢ ú ¯ éÓAêË@ ÉKAƒñË@ Yg@ Q.JªK Y KC¿B øQKA ªJË@

@YJ.ÖÏ@ à@ ­J» áJ. ‚ ¯ ©K.@QË@ ɒ ®Ë@ ú ¯ AÓ@

.(P.S)  Qå… ÈAÒªJƒ@ àðYK. ù¢ mÌ'@ Q « ÉJÊjJË@ ð ék.QmÌ'@

HAJ.KB pA JK. - P ZA ’ ¯ ñë ð B

@ I.KQÓ pA JK. ZA ’ ¯ úΫ YÒJª Jƒ áK

@ ÓA mÌ'@ ɒ ®Ë@ ú ¯ éêk.ñË@ Q ª JË . éJ¢ k Q « éKYg ÉKA‚ÖÏ I.k.ñÖÏ@ ÉmÌ'@ Xñk.ð àAëQ.Ë é®J.¢ Õç' ,éJ ¯ Y KC¿B Q ª’JË@

@YJ.Ó @YJ.ÖÏ@ áÊÒªJ‚Ó úGQ.Êë ZA ’ ¯ ú ¯ èYÓA’Ë@ 颮 JË@ Èñk èYKYg. HAKQ ¢ Õæ ” ɒ ®K. @ Yë A JJm'. Õæ j JË

. éJʾKQKYË éKYg éË

A‚ÖÏ é ®Jª ’Ë@ ÈñÊmÌ'@ XAm.'B HAKQ ¢ JË@ è Yë ‡J.¢ ƒ ð Y KC¿B ­Jª ’Ë@ øQKA ªJË@