G 286 Les cartes magiques

(1)

G 286 Les cartes magiques

Solution proposée par Pierre Renfer

Supposons qu'il existe un symbole  commun à toutes les cartes du jeu.

Pour chaque carte c , soit _k A l'ensembles des _k m1 symboles de c autres que _k . Les ensembles A , pour _k 1kn, sont deux à deux disjoints.

Donc : sn(m1)1.

On va écarter ce cas extrême dans la suite.

Question 1

Supposons qu'un symbole figure sur a cartes c₁ ,c₂ , ,c_a.

Une carte d, ne portant pas le symbole , possède un symbole _k en commun avec la carte c . _k Alors les symboles ₁ ,₂ , ,_a sont distincts.

Donc : am.

Considérons une carte fixée c portant les symboles ₁ ,₂ , ,_m Soit a le nombre de cartes du jeu portant le symbole _k _k

Chacune des n1 cartes du jeu, distincte de c, possède un seul élément commun avec c.

Donc : n 1 (a 1) a m

m

1 k

k m

1 k

k   





 



(1)

En majorant chaque a par m, on obtient : _k nm²m1

Question 2

On garde les mêmes notations que dans la question 1.

En raisonnant comme dans l'introduction, on obtient : sa_k (m1)1

En sommant ces inégalités pour 1km et en utilisant la formule (1), on obtient :

2 m

1 k

k m (m 1) (n 1 m) m (m 1) (n 1) m a

) 1 m (

ms  



           



m m ) 1 n ( ) 1 m

s (    

Question 3

Dans le cas optimal :







 



 







m m ) 1 n ( ) 1 m s (

1 m m

n ²

On en déduit : sm² m1 et sn

(2)

Une analogie très précieuse : Les plans projectifs finis

L'hypothèse que deux cartes ont un et un seul symbole en commun évoque l'hypothèse d'incidence en en géométrie : "Par deux points passe une et une seule droite".

On a donc envie de donner une colorisation géométrique au problème en assimilant les cartes à des points et les symboles à des droites.

On retrouve l'égalité en nombre de points et nombres de droites de la question 3 dans les plans projectifs sur un corps fini de Galois F_q, à q éléments, q étant une puissance de nombre premier.

Un tel plan projectif fini comporte mq1 points par droite.

Le nombre de points n et le nombre de droites s sont égaux : nsq² q1

La dualité dans les espaces projectifs permet d'échanger le rôles des points et des droites.

Il est plus agréable de considérer les cartes comme droites et les symboles leur appartenant comme leurs points.

Question 4

Les cas optimaux pour m3,4,5,6 peuvent être décrits par des plans projectifs puisque q2,3,4,5 sont des nombres primaires.

Les corps finis qui vont intervenir sont les Z / qZ, pour q2,3,5.

Pour q4, le corps F à quatre éléments peut s'obtenir par adjonction à ₄ Z / 2Z, d'une racine j du polynôme X² X1 de Z / 2Z (X), l'autre racine étant j . ²

On va décrire les symboles, c'est-à-dire les points du plan projectifs, à l'aide des coordonnées homogènes (a,b,c), notées simplement abc, dans un repère projectif.

Pour les cartes, c'est-à-dire les droites du plan projectif, on utilera les coordonnées (a,b,c) comme coefficients pour leurs équations : axbycz0

On évitera des coordonnées proportionnelles qui correspondent à un même point..

Pour alléger le travail, on profitera des permutations circulaires sur les trois coordonnées.

Les trois triplets obtenus par permutation circulaire seront sur la même ligne On écrira les triplets de coordonnées dans l'ordre suivant :

- ceux à deux composantes nulles : 100 et ses permutés - ceux à une seule coordonnée nulle : 01c et ses permutés

- ceux sans coordonnées nulle , avec deux coordonnées égales : 11c et ses permutés - ceux à trois coordonnées non nulles distinctes : 1bc et ses permutés

- ceux dont les trois permutés correspondent à un même point : 111 et 1², avec ³ 1 (Le cas d'un racine cubique , distincte de 1, n'intervient que dans F , avec ₄  jouj ²)

On écrira ensuite les équations de droites au-dessus de l'ensemble de leurs points.

(3)

a) Cas m3, q2, ns7

Points :

100 010 001

011 101 110

111

Droites :

0

x y0 z0



⁰¹⁰^,⁰⁰¹^,⁰¹¹





⁰⁰¹^,¹⁰⁰^,¹⁰¹





¹⁰⁰^,⁰¹⁰^,¹¹⁰



0 z

y  zx0 xy0



¹⁰⁰^,⁰¹¹^,¹¹¹





⁰¹⁰^,¹⁰¹^,¹¹¹





⁰⁰¹^,¹¹⁰^,¹¹¹



xyz0



011 ,101 ,011



b) Cas m4, q3, ns13

Points :

100 010 001

011 101 110

012 201 120

112 211 121

111

Droites :

0

x y0 z0



010 ,001 ,011 ,012





001 ,100 ,101 ,201





100 ,010 ,110 ,120



0

z

y  zx0 xy0



¹⁰⁰^,⁰¹²^,¹¹²^,¹²¹





⁰¹⁰^,²⁰¹^,²¹¹^,¹¹²

 

⁰⁰¹^,¹²⁰^,¹²¹^,²¹¹



0 z 2

y  z2x0 x2y0



¹⁰⁰^,⁰¹¹^,²¹¹^,¹¹¹





⁰¹⁰^,¹⁰¹^,¹²¹^,¹¹¹





⁰⁰¹^,¹¹⁰^,¹¹²^,¹¹¹



0 z 2 y

x   yz2x0 zx2y0



⁰¹¹^,¹⁰¹^,¹²⁰^,¹¹²





¹⁰¹^,¹¹⁰^,⁰¹²^,²¹¹

 

¹¹⁰^,⁰¹¹^,²⁰¹^,¹²¹



xyz0



⁰¹²^,²⁰¹^,¹²⁰^,¹¹¹



(4)

c) Cas m5, q4, ns21

Points :

100 010 001

011 101 110

01 j j 01 1 j 0

01 j² j² 01 1 j² 0

11 j j 11 1 j 1

11 j² j² 11 1 j² 1

111

1 j j²

1 j² j

Droites :

0

x y0 z0



⁰¹⁰^,⁰⁰¹^,⁰¹¹^,^01j^,^01j²





⁰⁰¹^,¹⁰⁰ ^,¹⁰¹^,^j01^,^j²⁰¹





¹⁰⁰^,⁰¹⁰^,¹¹⁰^,^1j0 ^,^1j²⁰



0 z

y  zx0 xy0



¹⁰⁰^,⁰¹¹^,^j¹¹^,^j²¹¹^,¹¹¹





⁰¹⁰^,¹⁰¹^,¹^j¹^,^1j²^1,111

 

⁰⁰¹^,¹¹⁰^,¹¹^j^,^11j² ^,¹¹¹



0 jz

y  zjx0 xjy0



¹⁰⁰^,⁰¹^j² ^,^1j1^,¹¹^j²^,^1j²^j





⁰¹⁰^,^j²⁰¹^,¹¹^j^,^j²¹¹^,^j1j²





⁰⁰¹^,¹^j²⁰ ^,^j¹¹^,^1j²¹^,^j²^j¹



0 z j

y ²  zj²x0 xj²y0



¹⁰⁰^,⁰¹^j^,¹^j²¹^,^11j^,^11j^,1jj²





⁰¹⁰^,^j⁰¹^,¹¹^j² ^,^j11^,^j²¹^j





⁰⁰¹^,¹^j⁰ ^,^j²¹¹^,^1j1^,^jj²¹



0 jz y

x   yzjx0 zxjy0



¹¹⁰^,^j01,^01j²^,^1j²¹^,^j²¹¹





⁰¹¹^,¹^j⁰ ^,^j²⁰¹^,^11j²^,¹^j²¹





¹⁰¹^,⁰^1j^,¹^j²⁰ ^,^j²¹¹^,^11j²



0 z j y

x  ²  yzj²x0 zxj²y0



¹¹⁰^,^j²^01,^01j,^1j1^,^j¹¹





⁰¹¹^,¹^j²⁰^,^j01^,¹^j¹^,¹^j¹

 

¹⁰¹^,⁰^1j² ^,¹^j⁰ ^,^j11^,^11j



xyz0



⁰¹¹^,¹⁰¹^,¹¹⁰ ^,^1jj²^,¹^j²^j



xjyj²z0



⁰¹^j² ^,^j²⁰¹^,¹^j²⁰ ^,¹¹¹^,^1jj²



xj²yjz0



⁰¹^j^,^j⁰¹^,¹^j⁰ ^,¹¹¹^,^1j²^j



(5)

d) Cas m6, q5, ns31

Points :

100 010 001

011 101 110

012 201 120

013 301 130

014 401 140

112 211 121

113 311 131

114 411 141

123 312 231

132 213 321

111

Droites :

0

x y0 z0



⁰¹⁰^,⁰⁰¹^,⁰¹¹^,⁰¹²^,⁰¹³^,⁰¹⁴





⁰⁰¹^,¹⁰⁰^,¹⁰¹^,²⁰¹^,³⁰¹^,⁴⁰¹

 

¹⁰⁰^,⁰¹⁰^,¹¹⁰^,¹²⁰^,¹³⁰^,¹⁴⁰



0 z

y  zx0 xy0



100 ,014 ,114 ,141 ,123 ,231





010 ,401 ,411 ,114, 312,213

 

001 ,140 ,141 ,411 ,231 ,321



0 z 2

y  z2x0 x2y0



100 ,012 ,112 ,131 ,312,231





010 ,201 ,211 ,113 ,231 ,123

 

001 ,120 ,121 ,311 ,123 ,312



0 z 3

y  z3x0 x3y0



¹⁰⁰^,⁰¹³^,¹²¹^,113^,213^,³²¹





⁰¹⁰^,³⁰¹^,¹¹²^,³¹¹^,³²¹^,¹³²

 

⁰⁰¹^,¹³⁰^,²¹¹^,¹³¹^,¹³²^,²¹³



0 z 4

y  z4x0 x4y0



¹⁰⁰^,^011,²¹¹^,^311,⁴¹¹^,¹¹¹





⁰¹⁰^,¹⁰¹^,¹²¹^,¹³¹^,¹⁴¹^,¹¹¹

 

⁰⁰¹^,¹¹⁰^,¹¹²^,¹¹³^,¹¹⁴^,¹¹¹



0 z 2 y

x   yz2x0 zx2y0



⁰¹²^,^301,¹⁴⁰^,^211,¹²¹^,¹¹⁴





²⁰¹^,¹³⁰^,⁰¹⁴^,¹²¹^,¹¹²^,⁴¹¹

 

¹²⁰^,⁰¹³^,⁴⁰¹^,¹¹²^,²¹¹^,¹⁴¹



0 z 3 y

x   yz3x0 zx3y0



201 ,013,140,312 ,132 ,111





120 ,301, 014 ,231 ,213 ,111

 

012 ,130 ,401 ,123,321 ,111



0 z 4 y

x   yz4x0 zx4y0



011 ,101,140 ,112 ,123 ,213





101 ,110, 014 ,211 ,312 ,321

 

110 ,011 ,401 ,121 ,231 ,132



0 z 3 y 2

x   y2z3x0 z2x3y0



⁰¹¹^,^201,^120,¹³¹^,¹¹⁴^,³²¹





¹⁰¹^,¹²⁰^,⁰¹²^,¹¹³^,⁴¹¹^,¹³²

 

¹¹⁰^,⁰¹²^,²⁰¹^,³¹¹^,¹⁴¹^,²¹³



0 z 2 y 3

x   y3z2x0 z3x2y0



⁰¹¹^,^301,^130,¹¹³^,¹⁴¹^,³¹²





¹⁰¹^,¹³⁰^,⁰¹³^,³¹¹^,¹¹⁴^,²³¹

 

¹¹⁰^,⁰¹³^,³⁰¹^,¹³¹^,⁴¹¹^,¹²³



xyz0



⁰¹⁴^,⁴⁰¹^,¹⁴⁰^,^113,³¹¹^,¹³¹

