Université Claude Bernard Lyon 1 MATHS 4 Mars 2008
DM facultatif
1. Étudier la nature des intégrales suivantes (bien penser à commencer par regarder sur quel intervalle la fonction que l’on intègre est définie et continue) :
Z 1 0
1 +t√ t t2+√
tdt
Z ∞
0
sin2t t2 dt
Z ∞
0
e−
√ tdt
Z 1 0
dt (1−t)√
t
Z ∞
0
t et−1dt
Z 1 0
tlnt 1 +t2 dt
Z ∞
2/π
ln
cos1 t
dt
Z ∞
0
ln(1 +t√ t) t2 dt
Z ∞
0
arctant
t dt
Z ∞
0
sint dt
Z ∞
1
sint
t dt(intégrer par parties (sur [1, a]) pour se ramener à cost2t)
Z ∞
1
cost t dt
Z ∞
1
sin2t
t dt (écriresin2t= 1−cos(2t)2 et utiliser la question précédente) Z ∞
1
sint t
dt (comparer à la précédente)
Z ∞
1
sin(t2)dt(poseru=t2 (sur[1, a]) et intégrer par parties (sur[1, a2]) pour se ramener à cosu3/2u)
2. On considère la fonction F :x7→F(x) = Z ∞
0
dt 1 +x3+t3. 1. Montrer queF est définie surR+.
2. Montrer queF est continue surR+ et décroissante (sans dériverF).
3. On considère la fonction F :x7→F(x) = Z ∞
0
e−tx2 1 +t dt.
1. Justifier que F est définie sur]0,+∞[.
2. Montrer queF est continue sur]0,+∞[(le montrer sur [x0,+∞[d’abord, où x0 >0).
3. Montrer queF est dérivable sur]0,+∞[(le montrer sur[x0, x1]d’abord, où0< x0 < x1).
4. On considère la fonction F :x7→F(x) = Z π
2
0
cost t+xdt.
1. Montrer queF est définie sur]0,+∞[.
2. Montrer queF est continue, et dérivable sur]0,+∞[.
