PCSI 1 - Stanislas
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A. MARTINMÉCANIQUE
CALCULATRICES AUTORISÉES
I. Manège pendulaire (facultatif )
L’ensemble du problème sera traité dans le référentiel terrestre R considéré galiléen. Les frottements sont négligés.
Un manège pendulaire est constitué de bras horizontaux de longueur L, placés à une hau- teur h au-dessus du plateau, auxquels sont liées des nacelles par une tige rigide de lon- gueur d et dont la masse est négligeable (les liaisons pivot sont considérées parfaites). Les nacelles sont modélisées comme des points ma- tériels de masse m. On note g l’intensité du champ de pesanteur uniforme.
Le manège est entraîné en rotation à une vi- tesse angulaire ω par rapport au référentiel terrestre, autour de son axe fixe (Oz), le point O étant pris au niveau du plateau. On consi- dère dans toute la suite que cette vitesse angu- laire est constante. On note ( − → u
r, − → u
θ, − → u
z) la base cylindrique orthonormée directe d’axe (Oz).
La fixation permet aux nacelles de basculer dans un plan vertical contenant le bras sus- penseur, l’attache faisant alors un angle α avec la verticale (voir figure 1).
Figure 1 – Manège pendulaire.
On s’intéresse à une nacelle, identifiée par le point M représentant sa position.
1. Définir le caractère galiléen d’un référentiel.
Pourquoi le référentiel terrestre peut-il ici être considéré comme galiléen ? 2. Expliciter le vecteur position −−→
OM de la nacelle M dans la base cylindrique.
Pour une vitesse angulaire ω constante, la nacelle reste avec une inclinaison α constante lorsque le régime stationnaire est atteinte. On se placera dans cette situation dans toute la suite du problème.
3. Quelle est alors la trajectoire décrite par la nacelle dans le référentiel terrestre ? Donner son (ses) équation(s) intrinsèque(s) en coordonnées cylindriques.
4. Exprimer les vecteurs vitesse − → v et accélération − → a de la nacelle de masse m en fonction de L, d, ω et α sur la base cylindrique.
5. Inventorier les forces extérieures exercées sur la nacelle M et les représenter sur un schéma. On admettra que dans les conditions du mouvement, la force exercée par la tige sur la nacelle est colinéaire à la tige.
6. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la nacelle. En déduire l’expression de la norme T de la tension de l’attache reliant la nacelle au bras en fonction de m, g et α.
7. Établir l’équation reliant α et ω. La mettre sous la forme a(1 + b. sin α) = tan α et identifier les quantités a et b. Expliquer qualitativement pourquoi la masse m n’intervient pas.
8. Sur un même graphe, tracer l’allure des courbes tan α et a(1 + b. sin α) (avec a > 0 et 0 < b < 1) en fonction de α pour α ∈ [0, 2π].
En déduire que l’on obtient deux solutions sur α, à identifier sur le graphe précédent, dont les valeurs α
1et α
2sont comprises respectivement sur les intervalles [0, π/2] et [π, 3π/2].
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A. MARTIN9. Représenter schématiquement la nacelle et les forces qui lui sont appliquées dans ces deux positions.
Déterminer dans chaque cas si la position d’équilibre ainsi trouvée est stable ou instable.
Définition : une position d’équilibre est stable (instable) si lorsqu’on en écarte légèrement le système, la somme des forces tend à le ramener vers (l’éloigner de) cette position d’équilibre.
10. On donne L = 10, 0 m, d = 4, 0 m et g = 9, 8 m.s
−2. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire ω amenant à α = 30
◦? Donner cette valeur en rad.s
−1puis en tours par minute (tr.min
−1).
Quelle serait alors, exprimée en « g » , l’accélération subie par les passager ?
II. Looping dans un parc d’attraction
Le looping que nous étudions, représenté ci-dessous, est constitué d’une gouttière de lancement dont le point le plus haut, A, est situé à une hauteur h au-dessus du sol (z = 0). Elle permet de guider un chariot vers un rail circulaire de rayon R <
h2. Dans notre modélisation, la liaison entre le chariot et le rail est unilatérale, c’est-à-dire qu’elle interdit le rapprochement de deux corps au-delà du contact, mais n’empêche pas leur éloignement.
Le chariot et ses occupants totalisent une masse m = 10 × 10
3kg. L’ensemble formé du chariot et de ses occupants est assimilé à un point matériel C. Le champ de pesanteur est uniforme, vertical et orienté vers le bas, de norme g = 9, 81 m.s
−2. L’étude du mouvement sera toujours menée dans le référentiel terrestre R
0, considéré galiléen.
Dans un premier temps, le modèle adopté pour la liaison entre le rail et les roues du chariot est celui de la liaison sans frottement solides. De plus, les frottements de l’air sur les passagers et le wagon sont négligés.
1. Gouttière de lancement.
Le chariot est abandonné sans vitesse initiale au point A. Exprimer sa vitesse lorsqu’il arrive en B , en fonction de h et de la norme du champ de pesanteur g.
À quelle altitude h le chariot devrait-il démarrer pour atteindre les 120 km/h en B ? 2. Mouvement dans le rail circulaire.
Pour la deuxième partie du mouvement du chariot, à partir du point B, le chariot est repéré par ses coordonnée polaires R et θ. On utilise la base polaire ( − → u
r, − → u
θ).
a) En utilisant un théorème énergétique, exprimer la vitesse angulaire ˙ θ du chariot sur le rail circulaire en fonction de θ, g, h, et R.
b) Exprimer la norme N de la réaction − →
N exercée par le rail sur le chariot, en fonction uniquement de l’angle θ auquel se trouve le chariot dans le rail circulaire, de m, g h et de R.
c) Quelle est la condition sur N pour que le looping soit effectué ? En déduire la relation que doit satisfaire h/R pour cela.
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A. MARTINPrise en compte des frottements.
Désormais, les hypothèses simplificatrices d’absence de frottements fluides et solides sont abandonnées.
Une simulation numérique du mouvement permet d’obtenir les courbes suivantes. Sont représentées (dans le désordre) : l’évolution au cours du temps de l’énergie cinétique E
cdu chariot, de son énergie potentielle E
p, de son énergie mécanique E
m, et l’évolution de la réaction normale N du rail sur le chariot. Les énergies sont représentées en unité MJ, et la force en 10
5N. À l’instant t = 0, on abandonne le chariot sans vitesse initiale.
3. Associer à chaque courbe la grandeur représentée, en justifiant chacune des réponses.
4. Utiliser les courbes pour déterminer les grandeurs suivantes.
a) Mesurer la vitesse maximale v
maxatteinte par le chariot.
b) Mesurer également la hauteur initiale h. Comparer à la situation sans frottement étudiée précédemment.
c) Déterminer à quelle date le mobile quittera le rail.
d) Déterminer combien de tours complets a effectué le chariot dans cette simulation avant de décrocher.
5. a) Pour un mouvement circulaire, exprimer l’accélération radiale a
rsubie par les passagers du chariot en fonction de l’énergie cinétique E
cet des constantes nécessaires.
b) Pour des questions de sécurité et éviter des pertes de connaissances dues à de trop fortes accélérations, la loi internationale fixe à 5 × g l’accélération maximale le long du corps d’un passager dans un grand huit.
Déduire des courbes fournies la valeur maximale atteinte par l’accélération radiale (en valeur absolue) que subissent les passagers du chariot. À quel moment cela se produit-il ? Dans la simulation envisagée ici, les passagers risquent-ils de perdre connaissance (voile noir) ?
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A. MARTINIII. Bifurcation mécanique
Un point matériel M de masse m se déplace sans frottement sur l’axe horizontal (Ox) sous l’action de deux ressorts identiques, de raideur k et de longueur à vide `
0. Ces deux ressorts sont fixés en deux points, disposés symétriquement sur l’axe vertical (Oz) de part et d’autre de O, à la distance a de ce point.
1. a) Etablir, en la justifiant, une équation différentielle du pre- mier ordre vérifiée par x(t).
b) En déduire l’équation du mouvement, d’ordre 2, vérifiée par x(t).
a
a z
O
M x
2. Déterminer les positions d’équilibre et étudier leur stabilité, en fonction des valeurs des paramètres.
On supposera que `
06= a.
3. a) Déterminer la pulsation des petites oscillations autour de la/des position(s) d’équilibre stable.
On posera
ω
0= lim
a→0
