Soit K le point de [CD] pour lequel L est en A. Si K' est un autre point de CD, on a : CP'/CP = CK'/CK (Thalès dans triangle AKC) et CQ'/CQ = CK'/CK (Thalès dans triangle CKQ). IL en résulte que P'Q' reste parallèle à PQ.
La propriété cherchée sera montrée si nous prouvons que l'angle R'P'Q', égal à l'angle CAQ, vaut 30°, car le triangle R'𝛀Q' sera équilatéral et la tangente en Q' fera bien un angle de 60° + 30°
avec le rayon 𝛀Q'.
Il suffit donc de voir que l'angle BAQ vaut 15°. Or on a dans le triangle ABQ :
tan (BAQ) = BQ/AB = (BM √3)/AB = [(AM – AB)√3]/AB , tan(BAQ) = [(2AB/√3 – AB)√3]/AB = 2 – √3 . Il est alors facile de vérifier que tan(2BAQ) = 1/√3 = tan30°.
