1. Fonctions de Lambert réelles. 2. Etude de W au voisinage de 0. 3. Etude de W au voisinage de

Les fonctions W de Lambert

1. Fonctions de Lambert réelles.

2. Etude de W au voisinage de 0.

3. Etude de W au voisinage de +∞∞. ∞∞ 4. Etude de W au voisinage de – e⁻⁻⁻⁻¹. 5. La fonction W0.

6. Applications géométriques.

7. Applications combinatoires.

8. Equations différentielles.

9. Lambert, Laplace, Stirling, Ramanujan.

10. Fonctions de Lambert complexes.

11. Fonctions de Lambert matricielles.

à mon petit-fils Romain, novembre décembre 2007 Pierre-Jean Hormière ___________

Introduction

La fonction W de Lambert¹ est une des fonctions implicites les plus élémentaires. Elle fait partie des

« Initially known mathematical functions » (en abrégé : inifncs) de Maple, sous le nom de LambertW. Je l’ai rencontrée en 1993 en travaillant sur la méthode de Laplace, notamment sur la formule de Stirling et une formule de Ramanujan. Je me suis aperçu ensuite qu’elle sert à étudier diverses suites et courbes implicites (x^y = y^x, limites de puissances itérées, etc.), et qu’on peut l’introduire dans l’étude du modèle prédateurs-proies de Lotka-Volterra. Mais elle est aussi utile en combinatoire, dans les dénombrements d’arbres, et dans la résolution d’équations différentielles à temps retardé y’(t) = a.y(t − 1).

De façon générale, on nomme “ fonction de Lambert ” toute fonction réciproque de f : z → z.e^z. Dans le domaine réel, f est une surjection de R sur [−e⁻¹, +∞[, mais elle n’est pas injective ; elle donne naissance à deux fonctions de Lambert réelles. Dans le domaine complexe, f est encore une surjection de C sur C, qui donne naissance à une infinité de “ branches ”.

C’est en 1758 que Lambert étudia l’équation transcendante x^α − x^β = (α − β)νx^α+β. Lorsque β → α, cette équation devient ln x = νx^α, qui se « résout » en x = exp

[

−^W(α−α^x)

]

. Euler étudia cette équation en

1 Johann Heinrich LAMBERT (Mulhouse 1728 - Berlin 1777), mathématicien, astronome, physicien et philosophe suisse et allemand d’ascendance française. Né à Mulhouse (alors en Suisse), il quitta l’école dès l’âge de 12 ans pour aider son père qui était tailleur tout en continuant seul ses études, donnant ainsi l’exemple, rare dans la science, d’un autodidacte complet. Il est alors employé aux écritures, puis, à partir de sa dix-septième année, secrétaire bibliothécaire à Bâle. Devenu en 1746, pour une dizaine d’années, précepteur des fils de l’importante famille von Salis à Coire (Grisons), il publie ses premiers travaux qui sont remarqués par Daniel Bernoulli et le font connaître du milieu scientifique européen. Il noue alors des relations durables avec de nombreux savants de son époque, dont Leonhard Euler, avec qui il est en correspondance dès 1758. À partir de 1765, il est membre appointé de la célèbre Académie des sciences de Berlin. Il produisit jusqu’à sa mort plus de 150 publications.

1779 et attribua à Lambert la série grâce à laquelle il résolut le problème. Polya et Szegö furent les premiers à noter W la fonction de Lambert, parfois aussi notée Ω.

1. Fonctions de Lambert réelles.

1.1. La fonction f(x) = x.e^x.

C’est une fonction C^∞, et même dse sur R, car f(x) =

∑

^+∞

=₁( −1)!

n n

n x .

Pour tout n et tout x, f⁽ⁿ⁾(x) = ( x + n ).e^x. f est décroissante concave sur ]−∞, −2], décroissante convexe sur [−2, −1], croissante convexe sur [−1, +∞[. Direction asymptotique Oy en +∞.

Ajoutons que f est la solution de l’équation différentielle f’’(x) − 2.f’(x) + f(x) = 0 , f(0) = 0 , f’(0) = 1.

> f:=x->x*exp(x);factor(diff(f(x),x));factor(diff(f(x),x,x));limit(f(x),x=- infinity);limit(f(x),x=infinity);

>with(plots):F:=plot(x*exp(x),x=-5..3,y=-1..3,color=blue,thickness=2):

T:=plot(x,x=-0.7..0.7):S:=plot([-1,t,t=-exp(-1)..0],color=black):

U:=plot([t,-exp(-1),t=-1..0],color=black):display({F,T,S,U});

Exercice : Montrer que f satisfait l’équation fonctionnelle e⁻¹ f(x + 1) − 2 f(x) + e f(x − 1) = 0.

Résoudre cette équation fonctionnelle.

1.2. Les fonctions W et W₀ . Notons ϕ = f^[[−^exp(1, −[^1),+∞^[

+∞

− et ϕ0 = f^[]−^exp(,1−]^1),0[

−

∞

− . Ce sont des bijections continues, l’une strictement croissante, l’autre strictement décroissante, donc des homéomorphismes. Leurs bijections réciproques respectives, notées W et W₀ sont des homéomorphismes W : [− e⁻¹, +∞[ → [−1, +∞[ et W0 : [− e⁻¹, 0 [ → ]−∞, −1], l’un strictement croissant, l’autre strictement décroissant.

De plus ϕ et ϕ0 sont de classe C^∞ de dérivée non nulle sur ]1, +∞[ et ]−∞, −1[. Donc W et W0 sont des C^∞-difféomorphismes : W : ]− e⁻¹, +∞[ → ]−1, +∞[ et W0 : ]− e⁻¹, 0 [ → ]−∞, −1[ .

Proposition 1 : On a ∀y ∈ ]− e⁻¹, +∞[ W’(y) =

)) ( 1 (

) (

y W y

y

W+ . Idem pour W₀ dans ]− e⁻¹, 0 [.

En effet W’(y) = dy dx ₌

dx dy/1 ₌

ex

x 1) ( 1

+ ⁼ x xxe^x ) 1

( + ⁼ (1 ( ))

) (

y W y

y W+ ^. eee

e^x(1 + x) eeee^x(2 + x) :=

f x → x eeee^x 0 ∞

Proposition 2 : W est concave croissante, W₀ est convexe décroissante sur [−e⁻¹,−2e⁻²], et concave décroissante sur [−2e⁻², 0[.

Preuve : Cela découle de ce que W’’(y) = ₃ )) ( 1

²(

)) ( 2 )(

( y W y

y W y W + +

− , calcul identique pour W₀ …

Remarque : La fonction W(x) est notée par Maple LambertW(x) ou LambertW(0, x), et la fonction W₀(x) est notée par Maple LambertW(−1, x), dans les versions récentes.

> p:=plot([t*exp(t),t,t=-1..1.2],color=red,thickness=2):

q:=plot([t*exp(t),t,t=-4..-1],color=green,thickness=2):

display({p,q},scaling=constrained);

> alias(W=LambertW);p:=plot(W(x),x=-exp(-1)..5,color=red,thickness=2):

q:=plot(W(-1,x),x=-exp(-1)..-0.01,color=green,thickness=2):

display({p,q},scaling=constrained);

La « constante Omega », W(1).

x = W(1) ⇔ x.e^x = 1 ⇔ x = e^−x . W(1) est le point fixe de e^−x , et l’on montre facilement que la méthode des approximations successives s’applique à la suite x₀ = 0, x_n+1 = exp(−xn). On trouve

W(1) ≈ 0,5671432904.

W(1) peut être considéré comme le « nombre d’or » des exponentielles, car : exp(− W(1)) = W(1) et W(1) = ln

) 1 1( W ^. La « constante Tau », ττττ = W(1/e).

τ = W(1/e) ⇔ x.e^x = 1/e ⇔ x = e^−x−1 . W(1/e) est le point fixe de e^−x−1 , et l’on montre facilement que la méthode des approximations successives s’applique à la suite x₀ = 0, x_n+1 = exp(−xn − 1). On trouve τ = W(1/e) ≈ 0,2784645428.

On a −1 ≤ x ≤ τ ⇔ −1/e ≤ y = x.e^x ≤ 1/e.

Le calcul approché des valeurs de W et W₀ serait tout un sujet d’étude.

Dérivée, et équation différentielle de W.

> diff(W(y),y);dsolve(y*diff(F(y),y)*(1+F(y))=F(y),F(y));

= ( )

F y W y _C1( ) ( )

W y (1 + W y( ))y

Primitive de W. Je dis que (∀x ≥ − e⁻¹ )

∫

₀^{xW(t).dt = x.}

⁽

W(x) – 1 + ) ( 1 x W

)

– 1.

> expand(int(W(t),t=0..x));

− + x x + − ( )

W x W x x( ) 1

Exercice 1 : Résoudre l’équation 2^x = 5x , à l’aide de W.

> with(plots):

p:=plot(2^x,x=-3..5,color=blue):

q:=plot(5*x,x=-3..5):display({p,q});

> alias(W=LambertW);s:=solve(2^x=5*x);

evalf(s);fsolve(2^x=5*x);

:=

s − ,



 



W −1 5ln 2( )

( )

ln 2 −



 



W -1,−1 5ln 2( ) ( ) ln 2

,

.2354557101 4.488001137 .2354557101 Exercice 2 : Résoudre l’équation 2^x = x² .

Cette équation a trois solutions : 2, 4 et une racine < 0.

with(plots):alias(W=LambertW):

> plot([2^x,x^2],x=-2..5,-0.5..25,thickness=2);

> solve(2^x=x^2,x);fsolve(2^x=x^2,x,-1..0);

Plus généralement, les fonctions W permettent de résoudre les

équations de la forme a^x = x^b ,c’est-à-dire les intersections d’exponentielles et de puissances.

Exercice 3 : Constantes de décalage de chiffres.

Etant donnée une base b > 1 et un entier n, trouver le réel x tel que b^x décale les chiffres de x de n places vers la gauche, autrement dit, tel que : b^x = bⁿ.x , ou encore : x = n + log_b x.

Ci-dessous, on prend b = 10. Pour chaque entier n il y a deux solutions x, selon qu’on choisit W ou W₀.

> alias(W=LambertW):c:=n->solve(10^x=x*10^n,x):c(n);

−



 



W − ln 10( ) e ee e^{(ln 10 n( ) )}

( ) ln 10

> for n from 1 to 5 do [evalf(c(n))];od;

[.1371288574 1., ] [.01023855228 2.375812088, ] [.001002310571 3.550260181, ] [.0001000230338 4.669246832, ] [.00001000023027 5.760456936, ]

> for n from 1 to 5 do [10^([evalf(c(n))][1]),10^([evalf(c(n))][2])];od;

[1.371288574 10., ] [1.023855228 237.5812090, ] [1.002310571 3550.260177, ] -.7666646960

, , 2 4 −2



 



W 1 2ln 2( )

( ) ln 2

[1.000230338 46692.46823, ] [1.000023027 576045.6959, ]

Exercice 4 : A quelle condition sur a et b l’équation e^x = ax + b a-t-elle des solutions ? Les exprimer à l’aide de W. Résoudre et discuter de même l’équation ax.e^x + b.e^x = c .

Réponse : Pour la 1^ère question, a < 0, a = 0 et b > 0, ou a > 0 et b ≥ a − a.ln a.

Si a ≠ 0, la relation ax + b = e^x équivaut à – ( x + a

b₎e^−(x+b/a) = −

a1 e^−b/a, donc x = –

a

b _{− W}(−

a1 e^−b/a) ou – a b _{− W}

0(−

a1 e^−b/a) ( si a > 0 et b ≥ a − a.ln a ).

La 2^ème question est laissée au lecteur. Voici les réponses de Maple :

> solve(exp(x)=a*x+b,x);

− −













W − eeee



 



−b a

a

b a

> solve(a*x*exp(x)+b*exp(x)=c,x);

−













W c eeee



 



b a

a a b

a

Exercice 5 : Résoudre et discuter l’équation e^−x² =

² 1 xa

+ ^.

> solve(exp(-x^2)=a/(1+x^2),x);

− − 1 LambertW(−a eeee^(-1)),− − − 1 LambertW(−a eeee^(-1)) Exercice 6 : Justifier le calcul de

∫

₀^xW(t).dt. Calculer

∫

−−

0

1 ().

e Wt dt. Calculer aussi

∫

₀^xW_t^(t).dt.

Exercice 7 : Montrer que ∀y ≥ − e⁻¹ −1 ≤ W(y) ≤ ln( 1 + y ).

Exercice 8 : Etudier et « résoudre » à l’aide de W les équations xⁿ.e^x = y.

> with(plots):alias(W=LambertW):

> f:=x->x^2*exp(x);plot(f(x),x=-6..2,y=-1..4,thickness=2);

> g:=x->x^3*exp(x);plot(g(x),x=-10..3,-2..4,numpoints=500,thickness=2);

> eq:=solve(f(x)=y,x);

:=

eq 2  ,

 



W 1

2 y 2 

 



W −1 2 y

> p:=plot(2*W(1/2*sqrt(y)),y=0..2,color=blue,thickness=2):

q:=plot(2*W(-1/2*sqrt(y)),y=0..2,color=red,numpoints=200,thickness=2):

r:=plot(2*W(-1,-1/2*sqrt(y)),y=0..2,-5..1,numpoints=200,color=green, thickness=2):display({p,q,r});solve(g(x)=y,x);

, ,

3 

 



W 1

3y^{(1 3/ )} 3 

 



W 1 3



 



− + 1 2

1

2I 3 y^{(1 3/ )} 3 

 



W 1 3



 



− − 1 2

1

2I 3 y^{(1 3/ )}

> h:=y->signum(y)*abs(y)^(1/3);

p1:=plot(3*W(1/3*h(y)),y=-2..2,color=blue,thickness=2):

q1:=plot(3*W(-1,1/3*h(y)),y=-2..2,-8..1,thickness=2):display({p1,q1});

:=

h y → signum y( ) y^{(1 3/ )}

Exercice 9 : Montrer que

∫

₀^{1xx.dx =}

∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n n

n

n . Exprimer la première intégrale à l’aide des fonctions W.

Exercice 10 : Montrer la formule de Victor Adamchik :

∫

₋^+∞_∞(ex₋^dx_x)²+π² =

) 1 (

1 1

+W ^. 1.3. Dérivées successives des fonctions de Lambert.

Proposition 3 : La fonction W satisfait l’équation différentielle du second ordre : W’’(y) + 2.W’(y)² – y.W’(y)³ = 0 , W(0) = 0 , W’(0) = 1.

Preuve : On peut vérifier cela à l’aide de l’expression déjà trouvée de W’(y).

Mais la vraie preuve vient de f’’(x) – 2.f’(x) + f(x) = 0 ; or f’(x) = ) (' 1 y

W et f’’(x) = ₃ ) ( '

) ( '' y W

y

−W _…

Proposition 4 : Pour tout n, W⁽ⁿ⁾(y) = (−1)ⁿ⁻¹ _n ⁿ y

y W )(

1

))2

( 1 (

)) ( ( +ⁿWy ⁿ+

y W

P , où (P_n) est la suite de polynômes définie par P₁ = 1 , P_n+1 = n( X + 3 ).P_n − [( X + 1 ).P_n]’ .

Preuve : par récurrence sur n. Le calcul des Pn(X) pour 1 ≤ n ≤ 6 est ici mené par deux méthodes.

> alias(W=LambertW):derive:=proc(n)

> local k,f,g;

> f:=W(y);for k from 1 to n do

> g:=simplify(diff(f,y)):f:=g;print(f);od;end;

> derive(6);

( ) W y (1 + W y( ))y

− W y( )²(2 + W y( )) (1 + W y( ))³y² ( )

W y ³(9 + 8W y( ) + 2W y( )²) (1 + W y( ))⁵y³

−W y( )⁴(64 + 79W y( ) + 36W y( )² + 6W y( )³) (1 + W y( ))⁷y⁴

( )

W y ⁵(625 + 974W y( ) + 622W y( )² + 192W y( )³ + 24W y( )⁴) (1 + W y( ))⁹y⁵

− W y( )⁶(7776 + 14543W y( ) + 11758W y( )² + 5126W y( )³ + 1200W y( )⁴ + 120W y( )⁵) (1 + W y( ))¹¹y⁶

> polynome:=proc(n)

> local k,f,g;

> f:=W(y);for k from 1 to n do

> g:=simplify(diff(f,y)):f:=g;print(subs(W(y)=X,((-1)^(k-1)*(W(y)+1)^(2*k- 1)*y^k*f/W(y)^k)));od;end;

> polynome(6);

1 + 2 X + + 9 8 X 2 X²

+ + +

64 79 X 36 X² 6 X³

+ + + +

625 974 X 622 X² 192 X³ 24 X⁴

+ + + + +

7776 14543 X 11758 X² 5126 X³ 1200 X⁴ 120 X⁵ On remarque que P_n(X) est à coefficients entiers naturels, de degré n − 1, de la forme : P_n(X) = (n − 1)! Xⁿ⁻¹ + … + nⁿ⁻¹ .

Les polynômes P_n font apparaître un triangle arithmétique, répertorié sur « The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences » de N. J. A. Sloane, sous le n° A042977 (au signe près). Les entiers qui y figurent ont des interprétations combinatoires : ils sont liés à des dénombrements d’arbres. Il est bien connu par exemple que nⁿ⁻¹ est le nombre d’arbres à n sommets. cf. § 7.

Mais je ne sais pas montrer directement (c’est-à-dire à l’aide de la prop. 3) que P_n(0) = nⁿ⁻¹. 2. Etude de W au voisinage de 0.

2.1. Développement limité en 0.

W a un développement limité à tous ordres en 0, pour deux raisons :

• W est C^∞ sur ]− e⁻¹, +∞[. Elle a un dl à tous ordres en vertu du théorème de Taylor-Young : W(y) = ^k

n k

k

k y

∑

W

=0 ) (

! ) 0

( + O(yⁿ⁺¹).

• f est une bijection monotone d’un voisinage de 0 sur un voisinage de 0, qui admet un dl à tous ordres en 0, et f(x) ∼ x au V(0). Du coup, W admet un dl à tous ordres en vertu du théorème de réversion.

Plusieurs problèmes se posent alors :

Comment calculer concrètement ce dl ? On peut le faire par réversion, c’est-à-dire par coefficients indéterminés, ou en utilisant l’équation différentielle

y y W )(

= (1 + W(y)).W’(y).

Y a-t-il une formule générale donnant les coefficients ? Réponse : oui.

W est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? Réponse : oui.

Avec Maple :

1) Calcul direct, via W préprogrammée.

> alias(W=LambertW):series(W(x),x=0,11);

x x² 3 2x³ 8

3x⁴ 125

24 x⁵ 54

5 x⁶ 16807

720 x⁷ 16384

315 x⁸ 531441

4480 x⁹ 156250 567 x¹⁰

− + − + − + − + − +

( ) O x¹¹

2) Réversion « manuelle » du dl(0) de x.exp(x).

> S:=y+a*y^2+b*y^3+c*y^4+d*y^5;

:=

S y + a y² + b y³ + c y⁴ + d y⁵

> F:=subs(y=x*exp(x),S);DL:=series(F,x=0,6);P:=convert(DL,polynom);

DL x (1 + a x) ² 

 



+ + 2 a 1

2 b x³ 

 



+ + + 2 a 3 b 1

6 c x⁴

+ + + +

:=



 



+ + + + d 4

3a 1 24

9

2b 4 c x⁵ + O x( ⁶)

> s:=solve({seq(coeff(P,x,k)=0,k=2..5)});

:=

s {a = -1,b = 3, , } 2 c = -8

3 d = 125 24

> assign(s);print(S);

− + − + y y² 3

2y³ 8

3y⁴ 125 24 y⁵ 3) Réversion de la série formelle X.exp(X).

> with(powseries);

compose evalpow inverse multconst multiply negative powadd powcos powcreate, , , , , , , , , [

powdiff powexp powint powlog powpoly powsin powsolve powsqrt quotient, , , , , , , , , reversion subtract template tpsform, , , ]

> f:=multiply(powpoly(x,x),powexp(x));w:=reversion(f);tpsform(w,x,12);

:=

f procproc(procproc powparm) ... end procend procend procend proc :=

w procprocprocproc(powparm) ... end procend procend procend proc x x² 3

2x³ 8

3x⁴ 125 24 x⁵ 54

5 x⁶ 16807

720 x⁷ 16384

315 x⁸ 531441

4480 x⁹ 156250 567 x¹⁰

− + − + − + − + − +

2357947691

3628800 x¹¹ + O x( ¹²)

> powcreate(t(n)=(-n)^(n-1)/(n!),t(0)=0);tpsform(t,x,12);

c:=compose(f,t);tpsform(c,x,10);

x x² 3 2x³ 8

3x⁴ 125 24 x⁵ 54

5 x⁶ 16807

720 x⁷ 16384

315 x⁸ 531441

4480 x⁹ 156250 567 x¹⁰

− + − + − + − + − +

2357947691

3628800 x¹¹ + O x( ¹²) :=

c procprocprocproc(powparm) ... end procend procend procend proc +

x O x( ¹⁰)

4) Utilisation de l’équation différentielle.

dl := procprocprocproc( )n local local local

locala k p q s, , , , ; :=

p x + sum(a k[ ]×x k^ ,k = 2 .. n ;) :=

q rem(collect(expand(p x/ − diff(p x, )×(1 + p)),x),x (^ n + 1),x ;) :=

s solve({seq(coeff(q x k, , ) = 0,k = 1 .. n − 1)},{seq(a k[ ],k = 2 .. n)}); ( )

assign s ;

( )

print x + sum(a k[ ]×x k^ ,k = 2 .. n) end proc

end proc end proc end proc

> dl(7);

− + − + − +

x x² 3 2x³ 8

3x⁴ 125

24 x⁵ 54

5 x⁶ 16807 720 x⁷

> dl(11);

x x² 3 2x³ 8

3x⁴ 125

24 x⁵ 54

5 x⁶ 16807

720 x⁷ 16384

315 x⁸ 531441

4480 x⁹ 156250 567 x¹⁰

− + − + − + − + −

2357947691 3628800 x¹¹ +

2.2. Calcul de la réversée.

Si l’on note W(y) = ^k

n k

k y k

∑

a

=0 .

! ^{+ O(y}

n+1), la relation

∫

₀^yW_u^{(u).du = W(y) + W(y}₂^)² donne la relation : a₁ = 1 et a_n = −

21

−1 nn

∑

⁻

= −

1

1 n k

k n k k naa

C pour n ≥ 2.

qui permet un calcul récurrent des a_n. Cette formule montre que (−1)ⁿ⁻¹ a_n ∈ Q*+ . Mais le plus simple est d’écrire que W(x e^x) = ^{k kx}

n k

kxe k

∑

a

=0 .

! ^{+ O(x}

n+1) = x, et d’identifier. Il vient a₀ = 0 , a₁ = 1 et

∑

= n − k

k k n nkak C

1

= 0 pour n ≥ 2.

Or une identité portant sur les binomiaux permet de résoudre ce système de Cramer triangulaire.

Proposition :

∑

=

−

− − n k

n nk

k C k

1

1

) 1

1

( = 1 si n = 1 , 0 si n ≥ 2.

Preuve : Il existe plusieurs preuves de cette identité.

Le cas n = 1 est évident. Supposons n ≥ 2 et considérons la fonction f(x) = ( e^x – 1 )ⁿ. Elle est C^∞ sur R comme produit de fonctions C^∞.

Son développement limité en 0 est de la forme f(x) = O(xⁿ).

Comme ce développement est taylorien, f(0) = f’(0) = … = f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).

Par ailleurs, f(x) =

∑

= −

n p

px np pC e

0

) 1

( , donc f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) =

∑

=

− − n p

n px np

pC p e

0

) 1

1

( . Il reste à faire x = 0.

Autre preuve : Supposons n ≥ 2, et écrivons Xⁿ =

∑

= − − +

n

p

p X X

X p n S

0

) 1 )...(

1 ( ) ,

( .

Les S(n, p) sont les nombres de Stirling de 2de espèce, mais peu importe.

∑

=

−

− − s n

s sn

n C n

1

1

) 1

1

( =

∑ ∑

=

−

=

− − − − +

s −

n

s p sn

n C S s pn n n p

1

1

0

1 ( 1, ) ( 1)...( 1) )

1

( =

∑∑

=

− −

= − − −

s n

sn n s

p

p s p S nn C

1

1 1

0

) , 1 )! (

( !

) 1 ( =

∑∑

⁻

=

−

= − − − −

1

0

1 ( 1, )

)!

( !

)!

(

! ! ) 1 (

s p

n s

p n

p s p S nn n s

n s ₌

∑

⁻

∑

=

−

= − − − −

−−

1

0

1

)!

( )!

(

)!

) ( 1 )! (

( ) , 1

s (

p

n s

p

n n p s n

p s p

s p s S

=

∑

⁻

∑

=

−

=

− − −− −

−− −

1

0 0

1

)!

(

! )!

) ( 1 ( ) 1 )! ( (

) , 1

s (

p

h p s

h p

h p s h

p s p

s p s

S = … 0 !

Corollaire : Pour tout k, W^(k)(0) = (−1)^k−1.k^k−1. Par conséquent, pour tout n, W(y) = ^k

n k

k

k y

k

∑

k

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( + O(yⁿ⁺¹) au V(0).

Preuve : L’identité de la prop. précédente s’écrit

∑

=

−

−

− − n k

k n k nk

k C k k

1

1

) 1

1

( = 0 si n ≥ 2.

Il reste à conclure par récurrence forte.

Remarque : les coefficients du développement limité de W se calculent grâce à une formule générale due à Lagrange. Si S est une série formelle, notons c_k(S) le coefficient de X^k.

Théorème de réversion de Lagrange : Soient A =

∑

^+∞

=1 n

nXn

a une série formelle, telle que a₁≠ 0, et B =

∑

^+∞

=1 n

nXn

b sa réversée. Alors pour tout n, b_n = n 1_cn−1

(

(

X )A ⁿ

)

. Preuve : Comtet, Analyse combinatoire, t. 1, p. 159, et ENS 2002.

Appliquons cette formule à A = X.exp X =

∑

^+∞

=1( −1)!

n n

n X .

(X )A ⁿ = exp(−nX) =

∑

^+∞

=

−

0 !

) (

k

k k

k X

n , donc bn = n 1

)!

1 (

)

( ¹

−− ⁻ n

nⁿ

= !

)

( ¹

n nⁿ⁻

− .

Proposition : La réversée de la série A = X.exp X =

∑

^+∞

=1( −1)!

n n

n

X est B = ⁿ

n

n

n X

n

∑

^+∞ n

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( .

2.3. Développement en série entière de W.

Théorème : W admet le développement en série entière suivant au V(0) : ∀y ∈ [−e⁻¹ , e⁻¹] W(y) = ⁿ

n

n

n y

n

∑

^+∞ n

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( .

En particulier, W admet le développement limité en 0 : W(y) = ^k

n k

k

k y

k

∑

k

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( + O(yⁿ⁺¹).

Preuve : 1) La série entière ⁿ

n

n

n y

n

∑

^+∞ n

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( a pour rayon de convergence 1/e, et converge normalement sur [−e⁻¹ , e⁻¹], comme le montre Maple :

> a:=n->n^(n-1)/n!;limit(simplify(a(n+1)/a(n)),n=infinity);

eee e

> asympt(a(n)*exp(-n),n,2);

1 + 2

(-1)^{(n − 1)} 2 

 



1 n

(3 2/)

π



 



O 

 



1 n

(5 2/ )

Notons w(y) la somme de cette série entière.

2) Formellement w(x.e^x) = ^{p px}

p

p

p x e

p

∑

^+∞ p

=

− −

−

1

1 1

) ! 1

( =

∑ ∑

^+∞

= +∞

=

− −

−

0 1

1 1

! ) ( ) !

1 (

q q p

p

p p

q x px p

p

= ^{p q}

p

q p p p

q x p

p ₊

+∞

=

−

− + +∞

∑∑

= −

1

1 1

0 ( 1) ! ! = ⁿ

n

n k n k

k x n k

k ).

)!

( ) ! 1 ( (

1

1 1 1

∑ ∑

^+∞

=

− −

= − − ^{= x.}

en vertu de la prop du § 2.2. Pour justifier l’interversion des sommations, il suffit de montrer que la famille (u_p,q) = ((−1)^p−1. ^{p q}

q p

q x p p ⁺⁻ ₊

!

!

1

) est sommable pour |x| < W(e⁻¹).

En effet

∑∑

^+∞

= +∞

= 1 0

, p q

q

up = ^{p q}

p

q p

q

q x p

p +

+∞

=

− +∞ +

∑∑

= 1

1

0 ! ! ⁼

x p p p

p

e p x

∑

^+∞ p

=

−

1 1

! < +∞ pour |x| < W(e⁻¹).

En effet la règle de d’Alembert s’applique alors :

p p

a a+1

= ( 1 + p

1 ₎^p _{|x| e}^|x| _{→ e |x| e}^|x| _{< 1.}

3. Etude de W au voisinage de +∞∞. ∞∞ 3.1. Les trois premiers termes.

Partons de W(y) + ln W(y) = ln y.

W(y) est un infiniment grand quand y → +∞. Passons à l’équivalent : W(y) ∼ ^{ln y.}

W(y) − ln y = − ln W(y) ∼ − ln ln y (des infiniment grands équivalents ont des log équivalents).

W(y) − ln y + ln ln y = ln ln y − ln W(y) = ln

(

1 + ) (

) ( ln

y W

y W

)

_∼

) (

) ( ln

y W

y

W ∼ ln( ) ) ln(

ln y

y . D’où : Proposition 1 : W(y) = ln y − ln ln y +

) ln(

) ln(

ln y

y + o

(

) ln(

) ln(

ln y

y

)

au V(+∞) .

Ainsi W(y) = ln y − ln ln y + o(1) : on a une courbe asymptote à W. De plus, on montre facilement que : Proposition 2 : Pour tout y ≥ e , ln y − ln ln y ≤ W(y) ≤ ln y.

> p:=plot(W(y),y=-1..10,color=red,thickness=2):q:=plot(ln(1+y),y=- 0.5..10,color=blue):r:=plot(ln(y)-

ln(ln(y)),y=1.1..10,color=green):s:=plot([t,t,t=- 0.5..0.5],color=black):display({p,q,r,s});

Exercice 1 : Convergence et calcul de l’intégrale

∫

₀^+∞ (2). y dy

y

W .

Exercice 2 : Convergence de l’intégrale I =

∫

₀^+∞W_y^(3/y2).dy.

Montrer que I = dx

x x an

W .

² cos

)

² cot 2 (

∫

0^{π = dx}

xe x

x. 1

∫

0^{+∞ + = 2 2π .}

Solution avec Maple :

> with(student):alias(W=LambertW):

> changevar(W(y)=x,Int(W(y)*y^(-3/2),y=0..infinity),x);

changevar(W(y)=x,int(W(y)*y^(-3/2),y=0..infinity),x);

Exercice 3 : Convergence et calcul éventuel des intégrales impropres

∫

₀^+∞W_x^(xs)rdx.

Solution avec Maple :

> simplify(changevar(W(y)=x,Int(W(y)^r/y^s,y=0..infinity),x));

⌠ d

⌡





0

∞

x^r(x eeee^x)^(−s)(1 + x e)eee^x x

> int(x^(r-s)*(x+1)*exp((1-s)*x),x=0..infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> -1+s

Will now try indefinite integration and then take limits.

+

(− + 1 s)^{(− + − r s 1)}Γ − + (r s 1) (− + 1 s)^{(− − + 2 r s)}Γ + − (2 r s)

Au vu de ces calculs, on montrera sans peine que l’intégrale converge ssi 1 < s < r + 1, et qu’elle vaut alors r(s − 1)^s−r−2.Γ(r − s + 1).

Exercice 4 : Nature des séries

∑

^+∞

=1

) (

n s

r

n n

W . Equivalents de

∑

= n

k k

k W

1

) ( et

∑

^+∞

+

= 1 2

) (

n

k n

n W .

3.2. Développements à tous ordres.

Nous allons utiliser pour les trouver la méthode des approximations successives. Notons L = ln.

On a aussitôt W(y) = L(y) – L(W(y)) . Formons la suite F₀(x) = L(y) , F_n+1(y) = L(y) – L(F_n(y)).

Proposition : W(y) – F_n(y) ∼ (−1)ⁿ⁻¹. _n y L

y LL

) (

)

( au V(+∞) .

Preuve par récurrence sur n. Pour n = 0, cf. 3.1. Supposons le résultat vrai au rang n.

Alors W(y) – F_n+1(y) = L(F_n(y)) − L(W(y)) = L (W(y) + (−1)ⁿ. _n y L

y LL

) (

)

( + o( _n y L

y LL

) (

)

( )) − L(W(y))

= L(1 + (−1)ⁿ. _n y L y W

y LL

) ( ).

( )

( + o( _n

y L y W

y LL

) ( ).

( )

( )) ∼ (−1)ⁿ. _n

y L y W

y LL

) ( ).

( )

( ∼ (−1)ⁿ. ₁ ) (

) (

+

yn

L y

LL . cqfd.

2 2 π

d

⌠

⌡







0

∞

+ 1 x x eeee^x

x

Or F_n(y) a un développement asymptotique de la forme F_n(y) ÷ L(y) – LL(y) +

∑

^+∞

=1 ,

) (

! )) ( (

k k

k n

Ly k

y LL

P ,

où le symbole ÷ signifie ici « à tous ordres obtenu par troncature de la série formelle. »

> alias(L=ln);alias(W=LambertW);

> asympt(W(y),y);series(W(y),y=infinity);

> F:=proc(n,y)

> if n=0 then y else y-L(F(n-1,y));fi;end;

:=

F procprocprocproc(n y if, )ifififn = 0thenthenthenthenyelseelseelseelsey − L(F(n − 1 y, ))end ifend ifend ifend ifend procend procend procend proc

> DA:=proc(n)

> local da,pa,c,k;

> da:=asympt(F(n,y),y,n);pa:=convert(da,polynom);pa:=subs(L(y)=a,pa);

> for k from 1 to n do c[k]:=subs(a=L(L(y)),simplify(coeff(pa,y^(-k))));od;

> L(y)-L(L(y))+convert([seq(c[k]/L(y)^k,k=1..n)],`+`);end;

> for n from 1 to 5 do DA(n);od;

− ( )

L y L(L y( ))

− +

( )

L y L(L y( )) L(L y( )) ( ) L y

4. Etude de W au voisinage de – e⁻⁻⁻⁻¹. 4.1. Calcul par réversion.

Rappelons que x = W(y) et x.e^x = y. Posons x = −1 + h.

y + e⁻¹ = e⁻¹

[

(−1 + h)

(

1 + h + 2² h ₊

6 h3

+… +

! n hⁿ

+ O(hⁿ⁺¹)

)

+ 1

]

= e⁻¹

[

2² h ₊

3 h3

+ 8 h4

+… + n n

hⁿ

! 2

( − ^{+ O(hn+1)}

]

D’où 2e ( y + e⁻¹ ) = h²

[

1+

3 2h ₊

4² h ₊

15 h3

+ ... +

) 2 (

! 2

+ n n

hⁿ

+ O(hⁿ⁺¹)

]

, Et finalement 2e(y+e⁻¹) = h.

[

1+

3 2h ₊

4² h ₊

15 h3

+ ... +

) 2 (

! 2

+ n n

hⁿ

+ O(hⁿ⁺¹)

]

^1/2

.

Il suffit donc de calculer ce développement limité et de le réverser.

Posant u = 2e(y+e⁻¹), il vient h = u − 3² u ₊ 3

7211u ₋

54043 _u⁴ ₊

17280769 _u⁵ _{+ O(u}⁶_{) .}

Théorème : Au voisinage de –e⁻¹, la fonction W admet un développement asymptotique à tout ordre dans l’échelle des u^n/2 (n ∈ N) , où u = 2e(y+e⁻¹). Les premiers termes sont donnés par :

W(y) = − 1 + u − 3²

u ₊ 3

7211u −

54043 _u⁴ ₊

17280769 _u⁵ _{+ O(u}⁶) , où u = 2e(y+e⁻¹). ( )

W y ( )

W y

( )

L y L(L y( )) L(L y( )) ( ) L y

−L(L y( )) + 1

2L(L y( ))² ( )

L y ²

− + +

− +

( )

L L y( ) 3

2L(L y( ))² 1

3L(L y( ))³ ( )

L y ³

+ ^{−L(L y( )) + 3 (L L y( )) − +}

2 11

6 L(L y( ))³ 1

4L(L y( ))⁴ ( )

L y ⁴ +